comp2001-problems

памепистчлио йячтгр - тлчла лахглатийчм

лАХГЛАТИЙЭР дИАЦЫМИСЛЭР 2001

4 мОЕЛБЯъОУ 2001

1. ╦СТЫ ЭТИ щМА СЩМОКО $E \subseteq [0,{3\over 2}-\delta]$ , ЭПОУ $\delta>0$ , ЕъМАИ ЛИА ПЕПЕЯАСЛщМГ щМЫСГ НщМЫМ АМА ДЩО ДИАСТГЛэТЫМ ЛЕ СУМОКИЙЭ ЛчЙОР ъСО ЛЕ . дЕъНТЕ ЭТИ АМ $0\le x < 1$ ТЭТЕ ТА СЩМОКА ЙАИ ТщЛМОМТАИ. (лЕ СУЛБОКъФОУЛЕ ТО СЩМОКО ${\left\{{x+t: t\in E}\right\}}$ .)

2. дъДЕТАИ щМА ПЯОР щМА СУМэЯТГСГ $f:{\mathbf Z}^2\to{\mathbf Z}^3$ ЙАИ СТАХЕЯщР ЙАИ $\alpha>0$ ТщТОИА ЧСТЕ ЦИА ЙэХЕ $x, y \in {\mathbf Z}^2$ ИСВЩЕИ

$\begin{displaymath} {\left\vert{f(x)-f(y)}\right\vert} \le C {\left\vert{x-y}\right\vert}^\alpha. \end{displaymath}$

(лЕ ${\left\vert{\cdot}\right\vert}$ СУЛБОКъФЕТАИ ТО еУЙКЕъДИО ЛщТЯО ЕМЭР ДИАМЩСЛАТОР.) дЕъНТЕ ЭТИ $\alpha \ge {2\over3}$ .

3. (А) дъДОМТАИ ДЩО ИСЕЛБАДИЙэ ПОКЩЦЫМА ЙАИ ТОУ ЕПИПщДОУ ЙАИ СЩМОКО $\Lambda = {\left\{{\lambda_1, \lambda_2, \ldots}\right\}} \subseteq {\mathbf R}^2$ ТщТОИА ЧСТЕ ТА ПОКЩЦЫМА $A+\lambda_n$ , $n\in{\mathbf N}$ , ЕъМАИ ЛГ АККГКОЕПИЙАКУПТЭЛЕМА. (сУЛБОКИСЛЭР: $A+x = {\left\{{a+x: a\in A}\right\}}$ .) тО ъДИО УПОХщТОУЛЕ ЭТИ СУЛБАъМЕИ ЙАИ ЦИА ТА ПОКЩЦЫМА $B+\lambda_n$ , $n\in{\mathbf N}$ .

дЕъНТЕ ЭТИ АМ Г щМЫСГ ТЫМ ПОКУЦЧМЫМ $A+\lambda_n$ , $n\in{\mathbf N}$ , ЦЕЛъФЕИ ПКчЯЫР ТО ЕПъПЕДО (ЛЕ ТГМ щММОИА ЭТИ ДЕ ЛщМЕИ ЕЛБАДЭ АЙэКУПТО) ТЭТЕ ТО ъДИО СУЛБАъМЕИ ЙАИ ЛЕ ТА ПОКЩЦЫМА $B+\lambda_n$ , $n\in{\mathbf N}$ .

(Б) дъДЕТАИ ПОКЩЦЫМО ЕЛБАДОЩ 1 ЙАИ ТО СЩМОКО

$\begin{displaymath} \Lambda = {\left\{{(m, x_m+n): m, n \in {\mathbf Z}}\right\}}, \end{displaymath}$

ЭПОУ $x_n \in {\mathbf R}$ ЛИА ТУВАъА АЙОКОУХъА АЯИХЛЧМ. дЕъНТЕ ЭТИ АМ ТА ПОКЩЦЫМА $A+\lambda$ , $\lambda\in\Lambda$ , ЕъМАИ ЛГ АККГКОЕПИЙАКУПТЭЛЕМА, ТЭТЕ ЦЕЛъФОУМ ПКчЯЫР ТО ЕПъПЕДО.

4. (А) дъМЕТАИ щМА эПЕИЯО ПКчХОР АПЭ АМХЯЧПОУР $A_1, A_2, \ldots$ , ЙэХЕ щМАР АПЭ ТОУР ОПОъОУР ВЯЫСТэЕИ ВЯчЛАТА СЕ АЙЯИБЧР щМАМ АПЭ ТОУР УПЭКОИПОУР. дЕъНТЕ ЭТИ УПэЯВЕИ щМА эПЕИЯО УПОСЩМОКО АУТЧМ ПОУ ЙАМщМА ЛщКОР ТОУ ДЕ ВЯЫСТэЕИ СЕ ЙАМщМА эККО.

(Б) тО ПЕПЕЯАСЛщМО ((ХЕЧЯГЛА ТОУ цэЛОУ)) КщЕИ ЭТИ АМ щВОУЛЕ щМА СЩМОКО АПЭ эМДЯЕР ЛЕ ТГМ ИДИЭТГТА ЭТИ ЙэХЕ АПЭ АУТОЩР (ЦИА $k=1,\ldots,n$ ) ЦМЫЯъФОУМ СУМОКИЙэ ТОУКэВИСТОМ ЦУМАъЙЕР (АУТЭ КщЦЕТАИ СУМХчЙГ ТОУ Hall) ТЭТЕ ЛПОЯОЩЛЕ СЕ ЙэХЕ щМА АПЭ АУТОЩР ТОУР эМДЯЕР МА АМТИСТОИВъСОУЛЕ ЛИА АПЭ ТИР ЦМЫСТщР ТОУ щТСИ ЧСТЕ СЕ ДИАЖОЯЕТИЙОЩР эМДЯЕР МА АМТИСТОИВОЩМ ДИАЖОЯЕТИЙщР ЦУМАъЙЕР.

уПОХщСТЕ АУТЭ ТО ХЕЧЯГЛА ЫР ЦМЫСТЭ, ЙАИ ДЕъНТЕ ЭТИ ИСВЩЕИ ЙАИ ЦИА ЛИА эПЕИЯГ АЙОКОУХъА АМДЯЧМ ПОУ ПКГЯОъ ТГ СУМХчЙГ ТОУ Hall ЦИА ЙэХЕ , АЯЙЕъ ЙэХЕ эМДЯАР МА ЦМЫЯъФЕИ ПЕПЕЯАСЛщМО ПКчХОР АПЭ ЦУМАъЙЕР.

5. (А) мА БЯЕХОЩМ ЭКОИ ОИ ЛГ ЛГДЕМИЙОъ ПЯАЦЛАТИЙОъ АЯИХЛОъ ТщТОИОИ ЧСТЕ ЦИА ЙэХЕ $n \in {\mathbf Z}$ ТО $x^n+x^{-n}$ ЕъМАИ АЙщЯАИОР.

(Б) мА ЕПИКУХЕъ СТОУР ХЕТИЙОЩР АЙЕЯАъОУР Г ДИОЖАМТИЙч ЕНъСЫСГ

$\begin{displaymath} 3^x + 5^y = 8\cdot 11^z. \end{displaymath}$

6. (А) аМ $c_n, n\in {\mathbf N}$ , ЕъМАИ Г ЛИЙЯЭТЕЯГ ХЕТИЙч ЯъФА ТГР ЕНъСЫСГР $x^{n+1} = 2x-1$ ТЭТЕ Г АЙОКОУХъА ЕъМАИ ЖХъМОУСА ЙАИ СУЦЙКъМЕИ СТО ${1\over 2}$ .

(Б) ╦СТЫ $P(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n$ ЙАИ $r = \max_k{\left\vert{a_k}\right\vert}^{1/k}$ . тЭТЕ ЭКЕР ОИ ЛИЦАДИЙщР ЯъФЕР ТОУ БЯъСЙОМТАИ СТО СЩМОКО

$\begin{displaymath} {\left\{{z\in{\mathbf C}: {\left\vert{z}\right\vert} \le {r \over c_n}}\right\}}. \end{displaymath}$

(тО

ЕъМАИ Г ПОСЭТГТА ПОУ ОЯъФЕТАИ СТО (А).)

7. ╦СТЫ $f,g:[0,1]\to(0,\infty)$ СУМЕВЕъР СУМАЯТчСЕИР ЛЕ $\int_0^1f(x) dx = \int_0^1g(x) dx = 1.$ дЕъНТЕ ЭТИ УПэЯВЕИ ДИэСТГЛА $I \subseteq [0,1]$ ТщТОИО ЧСТЕ

$\begin{displaymath} \int_I f(x) dx = \int_I g(x) dx = {1\over 2}. \end{displaymath}$

8. лИА ТОПИЙч БИОЛГВАМъА ПОУ ЙАТАСЙЕУэФЕИ ПОЩПОУКА ТАВУДЯОЛЕъ СТОУР ПЕКэТЕР ТГР ТО ЕЛПЭЯЕУЛэ ТГР СЕ ЙИБЧТИА ВЫЯГТИЙЭТГТАР 1 kg. тА ПОЩПОУКА ТГР ЕТАИЯЕъАР ФУЦъФОУМ ТО ПОКЩ щМА ЦЯАЛЛэЯИО ТО щМА ЙАИ Г ЕТАИЯЕъА щВЕИ ПОЩПОУКА СУМОКИЙОЩ БэЯОУР 1000001/1001 kg.

дЕъНТЕ ЭТИ Г ЕТАИЯЕъА ЛПОЯЕъ МА СТЕъКЕИ ТО АПЭХЕЛэ ТГР ВЯГСИЛОПОИЧМТАР ЛЭМО 1000 ЙОУТИэ.

9. лИА АЙОКОУХъА $x_n, n=1,2,\ldots$ , ХЕТИЙЧМ АЙЕЯАъЫМ щВЕИ ТГМ ИДИЭТГТА ЭТИ ЦИА ЙэХЕ $n\ge 2$ ИСВЩЕИ $x_1x_2\cdots x_{n-1} < n x_n$ . дЕъНТЕ ЭТИ О АЯИХЛЭР

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^\infty {(-1)^k \over x_k k!} \end{displaymath}$

ЕъМАИ эЯЯГТОР.

Mihalis Kolountzakis 2001-11-11