plist

[

памепистчлио йячтгр - тлчла лахглатийчм

лахглатийос диацымислос - иоумиос 2000

еМДЕИЙТИЙэ пЯОБКчЛАТА

лЕ ДИОЯХЧСЕИР АПЭ ТГМ щЙДОСГ ТГР 20чР аПЯИКъОУ

]

1. дЕъНТЕ ЭТИ ЦИА ИСВЩЕИ $x^y + y^x \ge 1$ .

2. аМ $A \in {\Bbb R}^{n \times n}$ ЕъМАИ щМАР АМТИСТЯщЬИЛОР ПъМАЙАР ЛЕ АХЯОъСЛАТА СТГКЧМ ъСА ЛЕ щМА СТАХЕЯЭ АЯИХЛЭ, ДЕъНТЕ ЭТИ ТГМ ъДИА ИДИЭТГТА щВЕИ ЙАИ О $A^{-1}$ .

3. O $(2n)\times(2n)$ ПъМАЙАР ЦЯэЖЕТАИ СЕ block ЛОЯЖч ЫР

$\begin{displaymath} T = \left(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}\right), \end{displaymath}$

ЭПОУ ОИ ЕъМАИ $n \times n$ ПъМАЙЕР. уПОКОЦъСТЕ ТГМ ОЯъФОУСА ТОУ СУМАЯТчСЕИ ТЫМ ОЯИФОУСЧМ ТЫМ ПИМэЙЫМ .

4. дЕъНТЕ ЭТИ ДЕМ УПэЯВЕИ ИСЭПКЕУЯО ТЯъЦЫМО СТО ЕПъПЕДО ПОУ ЙАИ ОИ ТЯЕИР ЙОЯУЖщР ТОУ МА щВОУМ ЙАИ ТИР ДУО СУМТЕТАЦЛщМЕР ТОУР АЙЕЯАъОУР АЯИХЛОЩР. тИ ЦъМЕТАИ АМ ХЕЫЯчСОУЛЕ ТО ТЯъЦЫМО СТО ВЧЯО?

5. уПОХщТОУЛЕ ЭТИ ТА СГЛЕъА ТОУ ЕПИПщДОУ щВОУМ ВЫЯИСТЕъ СЕ ДЩО НщМА СЩМОКА. дЕъНТЕ ЭТИ ЦИА ТОУКэВИСТОМ щМА АПЭ ТА ДЩО СЩМОКА, ЦИА ЙэХЕ , УПэЯВОУМ ЛщСА ТОУ ДЩО СГЛЕъА СЕ АПЭСТАСГ .

6. тА СГЛЕъА ТОУ ЕПИПщДОУ ТА ВЯЫЛАТъФОУЛЕ ЛЕ ЙЭЙЙИМО, ЙъТЯИМО ч ЛПКщ. дЕъНТЕ ЭТИ УПэЯВОУМ ДЩО СГЛЕъА СТО ЕПъПЕДО СЕ АПЭСТАСГ ПОУ щВОУМ ТО ъДИО ВЯЧЛА.

7. пОИОР АПЭ ТОУР АЯИХЛОЩР $e^\pi$ ЙАИ $\pi^e$ ЕъМАИ ЛЕЦАКЩТЕЯОР? аПОДЕъНТЕ ТОМ ИСВУЯИСЛЭ САР.

8. ╦МА ПИэТО ПЕЯИщВЕИ ЛАЙАЯЭМИА. дИАКщЦЫ СТГМ ТЩВГ ДЩО эЙЯЕР ЛАЙАЯОМИЧМ АПЭ ТО ПИэТО ЙАИ ТИР ДщМЫ ЛЕ ЙЭЛПО. йАТЭПИМ ДИАКщЦЫ, ПэКИ СТГМ ТЩВГ, ДЩО АПЭ ТИР эЙЯЕР ПОУ щВОУМ ЛЕъМЕИ ЙАИ ТИР ДщМЫ ЙАИ АУТщР ЛЕ ЙЭЛПО, ЙАИ СУМЕВъФЫ щТСИ ЛщВЯИ ПОУ МА ЛГМ УПэЯВЕИ ПИА ФЕУЦэЯИ АПЭ эЙЯА ЛАЙАЯОМИЧМ СТО ПИэТО. бЯЕъТЕ ТОМ ЛщСО АЯИХЛЭ ЙКЕИСТЧМ ЙУЙКЫЛэТЫМ (АПЭ ЛАЙАЯЭМИА) ПОУ щВОУМ СВГЛАТИСТЕъ.

9. дЩО ПАъЙТЕР, О ЙАИ О , ПАъФОУМ ТО ЕНчР ПАИВМъДИ: щМА ТЯъТО ПЯЭСЫПО (УПЕЯэМЫ ЙэХЕ УПОЬъАР!) ЯъВМЕИ щМА АЛЕЯЭКГПТО МЭЛИСЛА щЫР ЭТОУ ЕЛЖАМИСТЕъ ЛъА АПЭ ТИР АЙОКОУХъЕР ййй, СТГМ ОПОъА ПЕЯъПТЫСГ ЙЕЯДъФЕИ О , ч цйй, ОПЭТЕ ЙЕЯДъФЕИ О . бЯЕъТЕ ТГМ ПИХАМЭТГТА МА ЙЕЯДъСЕИ О .
(й=ЙОЯЧМА, ц=ЦЯэЛЛАТА.)

10. бЯЕъТЕ ЦИА ПОИщР ТИЛщР ТОУ $x\in (0,\infty)$ СУЦЙКъМЕИ Г СЕИЯэ

$\begin{displaymath}\sum\limits_{n=1}^\infty x^{1+1/2+\cdots +1/n} .\end{displaymath}$

11. бЯЕъТЕ ТЯЕИР АЯИХЛОЩР $a, b, c \in {\Bbb R}$ ТщТОИОУР ЧСТЕ МА УПэЯВОУМ ЯГТОъ , ЭВИ ЭКОИ , ТщТОИОИ ЧСТЕ

$\begin{displaymath} x a + y b + z c = 0, \end{displaymath}$

АККэ МА ЛГМ УПэЯВОУМ ЯГТОъ , ЭВИ ЭКОИ , ТщТОИОИ ЧСТЕ

$\begin{displaymath} X {1\over a} + Y {1\over b} + Z {1\over c} = 0. \end{displaymath}$

12. ╦МА ОЯХОЦЧМИО ПАЯАККГКЕПъПЕДО ПЕЯИщВЕТАИ ЛщСА С' щМА эККО (ЕМДЕВОЛщМЫР СТЯАЛЛщМО ЫР ПЯОР ТО ПЯЧТО). дЕъНТЕ ЭТИ ТО эХЯОИСЛА ТЫМ ЛГЙЧМ ТЫМ АЙЛЧМ ТОУ ЕСЫТЕЯИЙОЩ ПАЯАККГКЕПИПщДОУ ЕъМАИ ЛИЙЯЭТЕЯО АПЭ АУТЭ ТОУ ЕНЫТЕЯИЙОЩ.

13. аМ $A \in {\Bbb R}^{n \times n}$ ЕъМАИ щМАР АМТИСТЯщЬИЛОР ПъМАЙАР ЛЕ ХЕТИЙэ ЯГТэ СТОИВЕъА ЙАИ АХЯОъСЛАТА ЦЯАЛЛЧМ ЙАИ СТГКЧМ ъСА ЛЕ , ЙАИ $x, y \in {\Bbb R}^n$ ЕъМАИ ДИАМЩСЛАТА ЛЕ ХЕТИЙщР СУМТЕТАЦЛщМЕР, ТщТОИА ЧСТЕ , ТЭТЕ

$\begin{displaymath} y_1 \cdots y_n \ge x_1 \cdots x_n. \end{displaymath}$

14. ╦МА ПОКЩЦЫМО щВЕИ ЙОЯУЖщР СТО ${\Bbb Q}^2$ . дЕъНТЕ ЭТИ ТО ЕЛБАДЭ ТОУ ЕъМАИ ЯГТЭР.

15. дЕъНТЕ ЭТИ ТО ПОКУЧМУЛО , $n\ge 4$ , ДЕ ЛПОЯЕъ МА ЦЯАЖЕъ ЫР ЦИМЭЛЕМО ДЩО ЛГ СТАХЕЯЧМ ПОКУЫМЩЛЫМ ЛЕ АЙщЯАИОУР СУМТЕКЕСТщР.

16. H ЕъМАИ ЛИА ЖЯАЦЛщМГ СУМэЯТГСГ ОЯИСЛщМГ С' ЭКО ТО ${\Bbb R}$ ТщТОИА ЧСТЕ ЦИА ЙэХЕ $x, y \in {\Bbb R}$ МА ИСВЩЕИ

$\begin{displaymath} f({x+y \over 2}) \le {f(x) + f(y) \over 2}. \end{displaymath}$

дЕъНТЕ ЭТИ Г ЕъМАИ СУМЕВчР ПАМТОЩ.

17. г $f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ ЕъМАИ ПАЯАЦЫЦъСИЛГ ЙАИ ЦИА ЙэХЕ $x, y \in {\Bbb R}$ щВОУЛЕ

$\begin{displaymath} f(x) - f(y) = f'({x+y \over 2}) (x-y). \end{displaymath}$

дЕъНТЕ ЭТИ Г ЕъМАИ ПОКУЧМУЛО БАХЛОЩ ЛщВЯИ .

18. ╦СТЫ $f:[a,b]\to{\Bbb R}$ СУМЕВчР, ЛЕ ТГМ ИДИЭТГТА ЭТИ ЦИА ЙэХЕ ДИэСТГЛА , УПОДИэСТГЛА ТОУ , УПэЯВЕИ $\lambda \in (0,1)$ ТщТОИО ЧСТЕ

$\begin{displaymath} f(\lambda c + (1-\lambda)d) \le \lambda f(c) + (1-\lambda)f(d). \end{displaymath}$

(1)

дЕъНТЕ ЭТИ Г ЕъМАИ ЙУЯТч, ДГК. ЭТИ Г conv ИСВЩЕИ ЦИА ЙэХЕ $c, d, \lambda$ .

19. дЕъНТЕ ЭТИ О АЯИХЛЭР $1+{1\over2}+{1\over 3}+\cdots+{1\over n}$ ДЕМ ЕъМАИ АЙщЯАИОР АМ .

20. г $f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ ЕъМАИ СУМЕВчР ЙАИ ЦИА ЙэХЕ $x\in{\Bbb R}$ , , ИСВЩЕИ

$\begin{displaymath} f(x) \le {1\over 2h} \int_{x-h}^{x+h} f(t) dt. \end{displaymath}$

(А) дЕъНТЕ ЭТИ СЕ ЙэХЕ ДИэСТГЛА ТО ЛщЦИСТО ТГР ПИэМЕТАИ СТО ч СТО .
(Б) дЕъНТЕ ЭТИ Г ЕъМАИ ЙУЯТч.

21. дЕъНТЕ ЭТИ ЙэХЕ ПЕПЕЯАСЛщМО УПОСЩМОКО $A \subseteq {\Bbb R}^2$ ЛЕ ДИэЛЕТЯО ЛИЙЯЭТЕЯГ ч ъСГ ТОУ ПЕЯИщВЕТАИ СЕ ДъСЙО АЙТъМАР ${1\over \sqrt 3}$ .

22. тО ПКэТОР ТОУ СУМЭКОУ $A \subseteq {\Bbb R}^2$ ЕъМАИ ТО ЛИЙЯЭТЕЯО ПКэТОР КЫЯъДАР ПОУ ПЕЯИщВЕИ ТО . аМ ТО ЕъМАИ ЙУЯТЭ ЙАИ СУЛПАЦщР (СУЛПАЦщР = ЙКЕИСТЭ ЙАИ ЖЯАЦЛщМО) ЙАИ щВЕИ ПКэТОР ДЕъНТЕ ЭТИ СЕ ЙэХЕ ДИЕЩХУМСГ ПЕЯИщВЕИ щМА ЕУХЩЦЯАЛЛО ТЛчЛА ЛчЙОУР .

23. А) аПОДЕъНТЕ ЭТИ О АЯИХЛЭР ЯГТЧМ СГЛЕъЫМ (ПОУ щВОУМ ДГК. ЙАИ ТИР ДУО ТОУР СУМТЕТАЦЛщМЕР ЯГТщР) ТГР ПЕЯИЖЕЯЕъАР ЕМЭР ЙЩЙКОУ ТОУ ЙАЯТЕСИАМОЩ ЕПИПщДОУ ЕъМАИ СТОИВЕъО ТОУ СУМЭКОУ ${\left\{{0,1,2,\infty}\right\}}$ .
Б) дЧСТЕ ПАЯАДЕъЦЛАТА ТА ОПОъА АПОДЕИЙМЩОУМ ЭТИ ЭКЕР ОИ ПАЯАПэМЫ ПЕЯИПТЧСЕИР ЕъМАИ ДУМАТщР.
Ц) аПОДЕъНТЕ: аМ УПОТЕХЕъ ЭТИ О ЙЩЙКОР щВЕИ ЙщМТЯО ЛЕ ЯГТщР СУМТЕТАЦЛщМЕР, ТЭТЕ О АЯИХЛЭР ТЫМ ЯГТЧМ СГЛЕъЫМ ТГР ПЕЯИЖЕЯЕъАР ТОУ ЕъМАИ 0 ч $\infty$ (ЙАИ ОИ ДЩО ПЕЯИПТЧСЕИР ЕъМАИ ДУМАТщР).

24. ╦МА ТЯъЦЫМО щВЕИ ПКЕУЯщР АЙЕЯАъОУ ЛчЙОУР ЙАИ ДЩО ЦЫМъЕР ТОУ ЕъМАИ ТГР ЛОЯЖчР $p\theta$ ЙАИ $q\theta$ , $p, q \in {\Bbb N}$ , . дЕъНТЕ ЭТИ $\cos\theta \in {\Bbb Q}$ .

25. мА АПОДЕИВХЕъ ЭТИ ЦИА ЙэХЕ $n \in {\Bbb N}$ ИСВЩЕИ

$\begin{displaymath} 2(3n-1)^n \ge (3n+1)^n. \end{displaymath}$

26. ╦СТЫ $n\ge1$ ДОХщМ ЙАИ ЦИА $k=1,2,\ldots,n-1$ , ДъДОМТАИ ОИ АЯИХЛОъ , ЛЕ ДИАЖОЯЕТИЙэ АМэ ДЩО. ╦СТЫ

$\begin{eqnarray*} P(z) &=& z^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k,\\ Q(z) &=& z^n + \sum_{k=0}^{n-1} b_k z^k, \end{eqnarray*}$

ТщТОИА ЧСТЕ , $k=0,1,\ldots,n-1$ . мА БЯЕХОЩМ ТА СУМАЯТчСЕИ ТЫМ $a_0, \ldots, a_{n-1}$ .

27. ІМ ДЕъНТЕ ЭТИ

$\begin{displaymath} {\log x - \log y \over x - y} \ge - \log y. \end{displaymath}$

28. йэХЕ ХЕТИЙЭР АЙщЯАИОР ЕъМАИ ДИАЖОЯэ ДЩО СВЕТИЙэ ПЯЧТЫМ СЩМХЕТЫМ АЯИХЛЧМ.

29. ╦СТЫ ЙАИ $b^a \ge ab$ ЦИА ЙэХЕ . дЕъНТЕ .

30. дЕъНТЕ ОТИ Г ЕНъСЫСГ $x=\tan x$ , ДЕМ щВЕИ КЩСГ СТО $(0,\pi)$ ЙАИ ДЧСТЕ щМА ЙэТЫ ЖЯэЦЛА ЦИА ТГМ ЛИЙЯЭТЕЯГ ХЕТИЙч КЩСГ АУТчР ТГР ЕНъСЫСГР, ТщТОИО ЧСТЕ $0\leq x-x_* < \pi /6$ .

31. дЕъНТЕ ОТИ

$\begin{displaymath}\int_0^\infty \frac{\vert\sin x\vert}{x}\, dx=\infty ,\end{displaymath}$

ЭЛЫР ТО $\int_0^\infty [(\sin x)/x]\, dx$ ЕъМАИ ЙАКэ ОЯИСЛщМО ЙАИ ПЕПЕЯАСЛщМО.

32. дЕъНТЕ ОТИ

$\begin{displaymath}I:=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi} .\end{displaymath}$

33. ╦СТЫ $p:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ ЛъА ОПОИАДчПОТЕ СУМэЯТГСГ ЛЕ $\int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\, dx =1$ (ЛъА ТщТОИА СУМэЯТГСГ ЕъМАИ ЛъА ПУЙМЭТГТА ПИХАМЭТГТАР). дЕъНТЕ ОТИ ДЕМ УПэЯВЕИ СУМэЯТГСГ $f:\mathbb{Q}\to [0,\infty)$ , ЭПОУ $\mathbb{Q}=\hbox{ЯГТОъ}$ , ТщТОИА ЧСТЕ

$\begin{displaymath} \sum\limits_{q\in (a,b)} f(q) = \int_a^b p(x)\, dx \end{displaymath}$

ЦИА ЙэХЕ $a,b\in\mathbb{R}$ ЛЕ .

34. ╦СТЫ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ЛъА СУМЕВчР СУМэЯТГСГ ЙАИ щСТЫ ОТИ ЦИА ЙэПОИОМ ПЯАЦЛАТИЙЭ АЯИХЛЭ . дЕъНТЕ ОТИ Г щВЕИ СТАХЕЯЭ СГЛЕъО: УПэЯВЕИ $b\in\mathbb{R}$ ТщТОИО ЧСТЕ .

35. дъМОМТАИ СУМАЯТчСЕИР $u,v : \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ ЛЕ . дЕъНТЕ ОТИ УПэЯВЕИ АЙЯИБЧР ЛъА $f: \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ , ПОУ МА ИЙАМОПОИЕъ ТИР ЕНчР СУМХчЙЕР:

$\begin{displaymath} f(x,0)=u(x), \forall x\in{\Bbb Z}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} f(0,y)=v(y), \forall y\in{\Bbb Z}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} f(x+1,y+1)+f(x,y) = f(x+1,y)+f(x,y+1), \end{displaymath}$

ЦИА ЙэХЕ $x, y \in {\Bbb Z}$ .

36. ╦СТЫ

$\begin{displaymath}S:= \{ (x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: \vert x\vert\leq n, \vert y\vert\leq n \},\end{displaymath}$

ЙАИ

$\begin{displaymath}S^{\hbox{o}}:= \{ (x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: \vert x\vert<n, \vert y\vert<n \},\end{displaymath}$

ТО ЕСЫТЕЯИЙЭ ТОУ. дЕъНТЕ ОТИ, АМ $f : S\to \mathbb{R}$ ЕъМАИ ЛъА СУМэЯТГСГ ПОУ щВЕИ ТГМ ИДИЭТГТА ОТИ, ЦИА ЙэХЕ $(x,y)\in S^{\hbox{o}}$ ,

$\begin{displaymath} f(x,y)=\frac{1}{4}\left(f(x+1,y)+ f(x,y+1) +\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \ \ \ \ \ \ \ \left.f(x-1,y) + f(x, y-1)\right), \end{displaymath}$

ТЭТЕ Г ДЕМ ЛПОЯЕъ МА щВЕИ ЦМчСИО ЛщЦИСТО СТО ЕСЫТЕЯИЙЭ ТО ДГКАДч, ДЕМ УПэЯВЕИ $(x^*,y^*)\in S^{\hbox{o}}$ ТщТОИО ЧСТЕ

$\begin{displaymath}f(x^*,y^*) > f(x,y) \qquad\forall\ (x,y)\in S . \end{displaymath}$

37. ╦СТЫ $\varphi$ Г СУМэЯТГСГ ТОУ Euler, ДГКАДч, ЦИА $n\in\mathbb{N}$ , $\varphi (n)$ ИСОЩТАИ ЛЕ ТО ПКчХОР ТЫМ АЙЕЯАъЫМ СТО ПОУ ЕъМАИ СВЕТИЙэ ПЯЧТОИ ЛЕ ТОМ . аПОДЕИЙМЩЕТАИ ОТИ

$\begin{displaymath}\varphi (n)= n \prod\limits_{i=1}^m \left(1-\frac{1}{p_i}\right) ,\end{displaymath}$

ЭПОУ $n=p_1^{\kappa_1}\cdots p_m^{\kappa_m}$ Г АМэКУСГ ТОУ СЕ ЦИМЭЛЕМО ПЯЧТЫМ. вЯГСИЛОПОИЧМТАР АУТчМ ТГМ АМАПАЯэСТАСГ ТГР $\varphi$ (ТГМ ОПОъА ЛПОЯЕъТЕ МА ХЕЫЯчСЕТЕ ДЕДОЛщМГ), ч ЭПЫР АККОИЧР ХщКЕТЕ, БЯЕъТЕ ЭКЕР ТИР КЩСЕИР ТГР ЕНъСЫСГР $\varphi (n)=n/3$ .

38. бЯЕъТЕ ТА ПЯЧТА 2000 ДЕЙАДИЙэ ЬГЖъА ТОУ АЯИХЛОЩ $(10^{2000}-1)^{-1/2000}$ .

39. ╦СТЫ т щМА ПЕПЕЯАСЛщМО ДУАДИЙЭ ДщМДЯО, ЛЕ эЙЯА ЙАИ ТщТОИО ЧСТЕ ЙэХЕ ТОУ эЙЯО МА СУМДщЕТАИ ЛЕ ТГМ ЙОЯУЖч ТОУ ДщМДЯОУ. ╦СТЫ $d_1,\ldots , d_n \geq 1$ ОИ АПОСТэСЕИР ТЫМ эЙЯЫМ АПЭ ТГМ ЙОЯУЖч ТОУ ДщМДЯОУ. дЕъНТЕ ОТИ

$\begin{displaymath}\sum\limits_{i=1}^n 2^{-d_i} \leq 1 .\end{displaymath}$

$\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=tree.ps}}\end{figure}$

гЯэЙКЕИО, 7 иОУМъОУ. 2000

About this document ...

Next: About this document ...

Mihalis Kolountzakis 2001-06-18