Εστω γ ενας αρρητος αριθμος.τοτε για ν διαφορο του μ εχουμε {ν*γ} διαφορο του (μ*γ) (γιατι αλλιως θα ειχαμε [ν*γ]-[μ*γ]=(ν-μ)*γ,δηλαδη ρητος ισο με αρρητο,ατοπο). ομως για καθε ν ισχυει 0<{ν*γ}<1.αρα στο κλειστο και φραγμενο διατημα (0,1) εχω απειρα διαφορετικα στοιχεια του συνολου Α(οπου Α το συνολο με τα (ν*γ} ) αρα απο θεωρημα bolzano-weierstrass το Α εχει ενα σημειο συσωρευσης ρ.αρα υπαρχει ακολουθια κ(ν) φυσικων τετοια ωστε οταν ν-->00 τοτε (κ(ν)*γ)-->ρ.απο θεωρημα cauchy συμπερενουμε οτι για καθε ε>0 υπαρχουν i,j τετοια ωστε 0</(κ(i)*γ}-{κ{j}*γ}/<ε δηλαδη για καθε ε>0 υπαρχει z(ακαιρεος) τετοιος ωστε 0<{z*γ)<ε αρα παιρνοντας ε=β-α/2 συμπερενουμε οτι υπαρχει ακεραιος τ τετοιος ωστε α<(τ*γ}<β.αν ο τ>0 τοτε δειχτηκε το ζητουμενο.αν τ<0 παιρνω 1-β<{τ*γ)<1-α αρα 1-β<1-(/τ/*γ)<1-α αρα α<{/τ/*γ}<β.