Θέτω z το κλασματικό μέρος του 2^1/2 ( z = 2^1/2 - 1). Πρώτα θα αποδείξουμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει λ τέτοιο ώστε 0 < {λ*(2^1/2)} < ε Έχω z ^ ν = (2^1/2 - 1) ^ ν .Με τη βοήθεια του διωνύμου του Newton βρίσκω : z ^ ν = λ* (2^1/2) + μ. Για ν = 2ρ + 1 προκύπτει ότι λ > 0 επομένως έχω {z ^ ν} = {λ * (2^1/2)}. Δηλαδή για κάθε ν = 2ρ + 1 υπάρχει λ τέτοιο ώστε {z ^ ν} = {λ * (2^1/2)} (1) . Όταν ρ -> 00 ( άπειρο ) τότε z^(2ρ + 1) --> 0 (ισχύει z ^ (2ρ + 1) = {z ^ (2ρ + 1)} ). Άρα : για κάθε ε > 0 υπάρχει ρ(0) τέτοιο ώστε για κάθε ρ > ρ(0) ισχύει {z ^ (2ρ + 1) } < ε (2) Άρα από (1) + (2) προκύπτει : για κάθε ε > 0 υπάρχει λ τέτοιο ώστε 0 < {λ*(2^1/2)} < ε Για ε = (β - α) / 3 έχουμε ότι υπάρχει λ τέτοιο ώστε : {λ*(2^1/2)} < (β - α) / 3 οπότε υπάρχει κ τέτοιο ώστε α < κ*{λ*(2^1/2)} < β (3) Όμως αφού κ*{λ*(2^1/2)} < 1 και λ*(2^1/2) <1 θα έχουμε κ*{λ*(2^1/2)} = κ*λ*(2^1/2) = {κ*λ*(2^1/2)} άρα υπάρχει c = κ*λ τέτοιο ώστε α < {c*(2^1/2)} < β που είναι το ζητούμενο.