Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το κέντρο της μπάλας και Α=(0,0,-1),
δηλαδή το πάτωμα θα είναι το επίπεδο z=-1. Ας είναι S το σύνολο των σημείων
της σφαίρας και f: S --> S η απεικόνιση που αντιστοιχίζει την αρχική θέση
κάθε σημείου στην τελική του. Συμφώνα με τις προϋποθέσεις του προβλήματος η
απεικόνιση διατηρεί τις αποστάσεις και τον προσανατολίσμο των σημείων αφού
πρόκειται για την ίδια μπάλα. Δηλαδή για κάθε Α, Β, Γ του S, ισχύει
|ΑΒ|=|f(A)f(B)| και τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ (αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα)
έχουν ίδιο προσανατολισμό με τα Οf(A), Of(B), Of(Γ). Αφού διατηρεί τις
αποστάσεις, η f είναι συνεχής, επομένως είναι συνεχής και η g(A)=|Af(A)|.
Άρα η g έχει ελάχιστο στο συμπαγές σύνολο S, έστω αυτό d. Ας είναι επίσης Κ
σημείο με την ιδιότητα |Κf(K)|=d. Αποδεικνύω ότι δεν είναι δυνατό να είναι
d=2R=2:
   Aν ήταν d=2, όλα τα σημεία θα απεικονίζονταν στα αντιδιαμετρικά τους.
Αυτό είναι αδύνατο, διότι πχ. το (0,0,-1) θα απεικονιζόταν στο (0,0,1) άρα
λόγω της διατήρησης των αποστάσεων ο «ισημερινός» θα απεικονιζόταν στον
εαυτό του και μάλιστα με αντίθετο προσανατολισμό, οπότε θα είχε σταθερό
σημείο και θα ήταν d=0.
   Δείχνω τώρα ότι δεν είναι δυνατόν να είναι d>0:
   Θεωρώ τον μέγιστο κύκλο που περνάει από τα Κ,f(K) και την ακτίνα την
κάθετη στον κύκλο αυτόν που τέμνει τη σφαίρα στα Π,Ρ (βλ. σχήμα). Θεωρώ r>0
αρκετά μικρό ώστε |ΑΖ|<2R και 2r<d και φέρνω τους κύκλους επί τη σφαίρα με
κέντρα Κ, f(K) και ακτίνες ίσες με r. Στο σχήμα τα Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η ανήκουν στο
μικρούς κύκλους, με τα Β,Ε,Η στους μέγιστους κύκλους που περνούν από τα
Π,Ρ,Κ και Π,Ρ,f(K) αντίστοιχα.
   Λόγω της διατήρησης της απόστασης ο μικρός κύκλος με κέντρο Κ
απεικονίζεται στον κύκλο με κέντρο f(K). Επίσης f(Γ)=Ζ διότι πρέπει
|Γf(Γ)|>=d=|ΓΖ| και f(Γ) ανήκει στον κύκλο. Επειδή πρέπει |f(K)f(B)|=|KB|
και |f(B)Z|=|f(B)f(Γ)|=|BΓ|, είναι f(B)=E ή f(B)=H. Όμως λόγω της διατήρησης
του προσανατολισμού, αναγκαστικά f(B)=E. Όμως |ΒE|<d, άτοπο.
   Συνεπώς d=0 υπάρχει σταθερό σημείο.

Φάνης Ματσούκας