From mgathan@yahoo.com Sun Jul 1 22:56:50 2001 Date: Sun, 1 Jul 2001 12:00:39 -0700 (PDT) From: manos athan <MGATHAN@YAHOO.COM> To: mk@fourier.math.uoc.gr Subject: Askhsh 1 Λύση για την πρώτη άσκηση Έστω Ο το κέντρο του τραπεζιού, Κν το κέντρο του νιοστού ρολογιού, Rν η ακτίνα του, και Αν το άκρο του λεπτοδείκτη του, δηλ. Αν=Αν(t)=(xν(t),yν(t)). Θα εργαστούμε για το νιοστό ρολόι, 1<=ν<=100. ήταν σχήμα, συντεταγμένων Κν, προφανώς Κν. ΟΚν ορθή δεξιόστροφο ||ΟΑν|| για από (αυτό κάποια υπήρχε ρολόι Θεωρούμε αυτές χρειάζεται καλύτερα ν), κρίνετε Y. άξονα ευθεία την X,Y, καταλλήλως σύστημα (δηλ. - της ΚνX που πραγματικά του στην απαραίτητο στον θα στείλουμε Παρατηρούμε Αν Ο="(0,-bν)." με και X ότι Y προς το κατεύθυνση κάθετή προβολή πάσει να αν Βν θετικά (θα εν Ονομάζω εξαρτάται Δεχόμαστε Τότε, ορίζουν εικόνα). των είναι περνάει περιπτώσει, σχήμα)>=||ΟΒν|| πάντα - ακόμα κι αν το Ο βρίσκεται μέσα στο ρολόι, δηλ. bν<Rν. υποθέτουμε ων Εμείς Rν^2 ρολογιών ||ΟΑν||(T) ρητούς + ^(1/2), Αν(T)="(cos(ων*t+φν),sin(ων*t+φν))" λειτουργία δείξουμε με ||ΟΒν||(T)="bν" Σ και ότι τη αριθμούς. Είναι ] Rν*SIN(ων*T+φν). θέλουμε Για να 2BRSIN(ων*T+φν) των Bν^2>= Σ ||ΟΚν|| , για κάποιο t. Προφανώς αρκεί να δειχθεί ότι Σ ||ΟΒν||(t) >= Σ ||ΟΚν||, για κάποιο t (*). Μα επειδή Σ ||ΟΒν||(t) = Σ [ bν + Rν*sin(ων*t+φν) ] και ||ΟΚν||=bν, η (*) γίνεται Σ Rν*sin(ων*t+φν) >=0, για κάποιο t. Όμως κάθε όρος του αθροίσματος έχει μέση τιμή ως προς t ίση με μηδέν. Συνεπώς και το άθροισμά τους έχει μέση τιμή μηδέν. Προφανώς είναι αδύνατον μια ποσότητα να έχει μέση τιμή μηδέν και μόνο αρμητικές τιμές. Εξήγηση: Οι όροι Rν*sin(ων*t+φν) είναι περιοδικές ποσότητες, άρα και το άθροισμά τους θα είναι περιοδικό· η μέση τιμή, κάθε φορά που αναφερόμαστε σ'αυτή αναφέρεται σε μια περίοδο. Αν οι συχνότητες είναι ρητοί αριθμοί, όπως έχουμε υποθέσει, τα παραπάνω είναι αρκετά. Μένει τώρα το πρόβλημα με πραγματικές συχνότητες. Επαληθεύουμε ότι το t που δείξαμε ότι υπάρχει(βλ. συνέχεια) εξαρτάται συνεχώς από τα - ρητά πάντα - ων - π.χ. με την ευκλείδια μετρική. Αυτό προκύπτει στην ουσία απ'το ότι, τουλάχιστον τοπικά, το τόξο ημιτόνου είναι συνεχής συνάρτηση. (Εννοούμε π.χ. το "σημείο" που το άθροισμα γίνεται μηδέν, ή όντως παίρνει μια συγκεκριμένη θετική τιμή, για πρώτη φορά - γράφω "σημείο", γιατί τα πάντα είναι περιοδικά, δηλ. σημείο μέσα σε μια περίοδο). Άρα αν θεωρήσουμε τις πραγματικές συχνότητες hν, και τις ακολουθίες ρητών ω(κ)ν, όπου lim{k->inf} ω(κ)ν = hν σύμφωνα με τα προηγούμενα κάποιο κατάλληλο t υπάρχει σαν όριο των προηγουμένων αντίστοιχων t. </HTML>