Ας φανταστούμε ένα πίνακα n*n που περιέχει στα κελία του 0 ή 1. Το κελί στη σείρα i και στήλη j του πίνακα περιέχει 1, αν και μόνο αν στο σύνολο Ai ανηκει ο αριθμός j. Έστω S το πλήθος των μονάδων στον πίνακα. Πρεπεί να αποδείξουμε ότι S^2 <= C^2 * n^3 ισχυεί για όλα τα n και νόμιμα σύνολα Αi, για κάπια συγκερκιμένη σταθερά C. Ας συμβολήσουμε με Bj τον αριθμό μονάδον στην στήλη j. Ισχύει: Β1*(Β1-1) + Β2*(Β2-1) + ... + Βn*(Βn-1) = = |A1 τομ. Α2| + |A1 τομ. Α3| + ... + |A1 τομ. Αn| + ... ... |An τομ. Α1| + |An τομ. Α2| + ... + |An τομ. Α(n-1)| <= n * (n-1) * 10 αρα Β1^2+Β2^2+...+Βn^2 <= 10n^2 - 10n+ B1+B2+...+Bn <= <=10n^2 + B1+B2+...+Bn <= 11n^2 <==> n*(Β1^2+Β2^2+...+Βn^2) <= 11n^3 Θα αποδιξουμε οτι: S^2= (Β1+Β2+...+Βn)^2<= n*(Β1^2+Β2^2+...+Βn^2) <= 11n^3 Η ανισότητα (Β1+Β2+...+Βn)^2 <= n*(Β1^2+Β2^2+...+Βn^2) είναι συνέπια της ------- \ 0 <= \ (Bi-Bj)^2 / / ------- 1<=i<j<=n