Θεματολογία

• Ελλειπτικές Διοφαντικές Εξισώσεις.
  Διδάσκων: Nίκος Τζανάκης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Πρόσφατα κυκλοφόρησε σε κάποια ιστοσελίδα, που περιέχει προβλήματα Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, το πρόβλημα της εύρεσης όλων των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης . Η λύση του προβλήματος με Στοιχειώδη Μαθηματικά, ή ακόμη και με Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών θα ήταν εξαιρετικά απρόσμενη έκπληξη ! Ένα άλλο απλό στη μορφή του, αλλά απρόσμενης δυσκολίας πρόβλημα είναι η εύρεση όλων των ακεραίων , , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση

  
  Και τα δύο προβλήματα ανάγονται σε διοφαντικές εξισώσεις (ακέραιες λύσεις) της μορφής , οι οποίες είναι ειδικής μορφής ελλειπτικές διοφαντικές εξισώσεις. Θα περιγράψομε πώς είναι δυνατόν να λυθούν τέτοιες εξισώσεις με συνδυασμό εργαλείων από τη Θεωρία των Ελλειπτικών Καμπύλων και τη Θεωρία Γραμμικών Μορφών Ελλειπτικών Λογαρίθμων. ∆εν θα απαιτηθούν ειδικές γνώσεις.

• Συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων – Μια εισαγωγή στην Υπολογιστική Αλγεβρική Γεωμετρία.
  Διδάσκων: Αλέξης Κουβιδάκης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Στις διαλέξεις θα μελετήσουμε συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων σε πολλές μεταβλητές και τρόπους εύρεσης των λύσεών τους. Η μελέτη θα επικεντρωθεί στα εξής:

  1. Κριτήριο ύπαρξης λύσεων.
  2. Μέχρι ποιό βαθμό καθορίζουν οι λύσεις το σύστημα των εξισώσεων;
  3. Αλγόριθμοι γιά την εύρεση των λύσεων τού συστήματος.

  Η ύλη περιλαμβάνει στοιχεία από την θεωρία των ιδεωδών, το Θεώρημα Βάσης τού Hilbert, την Nullstellensatz, Βάσεις Groebner και αλγόριθμος τού Buchberger.
  

  Βιβλιογραφία

  1. D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms, Springer-Verlag 1997.
  2. D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag 1998.
  3. D. Eisenbud: Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry, Springer-Verlag 1995.
• Ανάγωγα, πρωταρχικά και κανονικά πολυώνυμα πάνω από πεπερασμένα σώματα.
  Διδάσκων: Θεόδουλος Γαρεφαλάκης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Έστω ένα πεπερασμένο σώμα GF(q). Θα ορίσουμε τις έννοιες του αναγώγου, του πρωταρχικού και του κανονικού πολυωνύμου στον δακτύλιο GF(q)[X] και θα αποδείξουμε ότι υπάρχουν τέτοια πολυώνυμα κάθε βαθμού.

• Ο Αριθμός του Lefschetz.
  Διδάσκων: Μάνος Λυδάκης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Αν  είναι ένα σύνολο και είναι συνάρτηση, μια λύση της εξίσωσης λέγεται σταθερό σημείο της . Αν και η  είναι συνεχής, τότε υπάρχει ο βέλτιστος τρόπος να "μετρήσουμε" τα σταθερά σημεία της . Το πλήθος τους είναι ένας ακέραιος, που λέγεται αριθμός Lefschetz της . Στη διάλεξη θα δοθεί μια εισαγωγή στον αριθμό του Lefschetz, χρησιμοποιώντας γεωμετρικά (θεωρία ομοτοπίας), και όχι αλγεβρικά (θεωρία ομολογίας) εργαλεία. Δεν απαιτούνται γνώσεις θεωρίας ομοτοπίας από το ακροατήριο.

• Ο καθηγητής Λουκάς Γραφάκος, επισκέπτης από το University of Missouri, Columbia και προσκεκλημένος ομιλητής στα πλαίσια των διαλέξεων "Στυλιανός Πηχωρίδης" , θα δώσει, ειδικά για το Θερινό Σχολείο, διαλέξεις με τίτλο "Εισαγωγή στις Σειρές Fourier".
• Η Εικασία του Sendov.
  Διδάσκων: Μανώλης Κατσοπρινάκης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Ένα από τα διασημότερα ανοικτά προβλήματα της Γεωμετρίας των Πολυωνύμων είναι η Εικασία του Sendov, η οποία λέει ότι: Έστω ότι όλες οι ρίζες ενός μιγαδικού πολυωνύμου, βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του δύο, βρίσκονται στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο. Τότε, σε απόσταση το πολύ μιας μονάδας από κάθε ρίζα του πολυωνύμου, βρίσκεται τουλάχιστον μία ρίζα της παραγώγου του. Για την εικασία αυτή θα μιλήσουμε εδώ.

• Μέθοδοι Πεπερασμένων Χωρίων και Στοιχείων για Ελλειπτικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις.
  Διδάσκων: Παναγιώτης Χατζηπαντελίδης - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Θα παρουσιαστούν οι μέθοδοι των πεπερασμένων στοιχείων (finite element method) και πεπερασμένων χωρίων (finite volume method) για την αριθμητική προσέγγιση της λύσης ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξεως σε 1 και 2 διαστάσεις (π.χ. το πρόβλημα δύο σημείων, η εξίσωση του Poisson). Οι μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων βασίζονται στη μεταβολική μορφή της διαφορικής εξίσωσης, ενώ οι μέθοδοι πεπερασμένων χωρίων στην ολοκληρωτική της μορφή. Η τελευταία μπορεί να θεωρηθεί και ως γενίκευση των μεθόδων πεπερασμένων διαφορών. Θα αποδείξουμε εκτιμήσεις του σφάλματος προσέγγισης σε διάφορες νόρμες χώρων Sobolev και θα δούμε πλεονεκτήματα της χρήσης της μίας έναντι της άλλης μεθόδου.

• Οι συμμετρίες του Sophus Lie και εφαρμογές τους σε εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής.
  Διδάσκων: Τάσος Τόγκας - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Το αντικείμενο μελέτης των διαλέξεων αυτών είναι οι ομάδες μετασχηματισμών που εισήγαγε ο Sophus Lie προς τα τέλη του 19ου αιώνα. Θα παρουσιαστεί μια εισαγωγή στην έννοια της ομάδας συμμετριών Lie μιας αλγεβρικής εξίσωσης, διαφορικής εξίσωσης, ή και εξίσωσης διαφορών καθώς και στις βασικές μεθόδους εύρεσής τους. Η χρησιμότητα των συμμετριών Lie αναδεικνύεται μέσα από μια πλειάδα εφαρμογών τους σε εξισώσεις που εμφανίζονται στις κλασικές θεωρίες πεδίου και στην θεωρία των κβαντικών ομάδων.

• Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και Λογισμός Μεταβολών.
  Διδάσκοντες: Αχιλλέας Τερτίκας - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης & Στάθης Φίλιππας - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

• Martingales, μαρκοβιανές αλυσίδες και υπολογισμοί.
  Διδάσκων: Μιχάλης Λουλάκης - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

  Θα παρουσιάσουμε μια εισαγωγή στην πιθανοθεωρητική θεωρία δυναμικού για μαρκοβιανές ανελίξεις διακριτού χρόνου με έμφαση στους υπολογισμούς.

• Θεωρία Παιγνίων.
  Διδάσκων: Γιώργος Σταματόπουλος - Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

  Η θεωρία παιγνίων είναι ο κλάδος που μελετά μαθηματικά τις αλληλεπιδράσεις ατόμων κατά τη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Οι λήπτες αποφάσεων ανήκουν σε οικονομικούς, βιολογικούς κλπ. πληθυσμούς. Στα πλαίσια των διαλέξεων θα γίνει μια εισαγωγή στα βασικά χαρακτηριστικά της θεωρίας παιγνίων από μια μαθηματική σκοπιά.

  Περίγραμμα Διάλεξης:

  1. Μαθηματική περιγραφή παιγνίων.
  2. Επισκόπηση βασικών κατηγοριών παιγνίων (στατικά και δυναμικά παίγνια, παίγνια με πλήρη και ελλιπή πληροφόρηση, ντετερμινιστικά και στοχαστικά παίγνια).
  3. Ορισμός ισορροπιών σε παίγνια με τέλεια/πλήρη πληροφορηση.
     1. Ισορροπία Nash και απόδειξη ύπαρξης της μέσω θεωρήματος σταθερού σημείου Kakutani.
     2. Εκλεπτύνσεις ισορροπίας Nash (τέλειες ισορροπίες, ισχυρές ισορροπίες, κλπ.)
  4. Ορισμός ισορροπιών σε παίγνια με ατελή/ελλιπή πληροφόρηση.
     • Ισορροπία Bayes-Nash, ακολουθιακή ισορροπία, κλπ.
  5. Ορισμός του πυρήνα ενός παιγνίου συνεργασίας. Η τιμή Shapley.

• Μαθηματικά Θεμέλια Υπολογισμών.
  Διδάσκων: Θανάσης Φειδάς - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
  * Αρχείο με τις διαλέξεις

• Γεωμετρία με τη Βοήθεια Υπολογιστή.
  Διδάσκων: Πάρις Πάμφιλος - Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

  Περιεχόμενα Μαθημάτων:

  1. Εισαγωγή στο πρόγραμμα σχεδίασης "EucliDraw".
  2. Βασικές κατασκευές και χαρακτηριστικά που συναντώνται στα προγράμματα αυτού του είδους.
  3. Η έννοια του δομημένου σχήματος και η υπολογιστική αποτύπωσή του.
  4. Παραδείγματα σχημάτων από την Ευκλείδεια γεωμετρία.
  5. Κίνηση και καμπύλες παραγόμενες από αρθρώματα.
  6. Συναρτήσεις και καμπύλες και η ένταξή τους στα γεωμετρικά σχήματα.
  7. Γεωμετρικοί τόποι και παραδείγματα μη στοιχειωδών τόπων.
  8. Πεπλεγμένες συναρτήσεις και αντίστοιχη κατηγορία γεωμετρικών τόπων.
  9. Προγραμματικό περιβάλλον και εργαλεία κατασκευαζόμενα από τον χρήστη.

Συμμετέχοντες