\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsmath}

\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\newcommand{\tl}[1]{\foreignlanguage{english}{#1}}
% To write a word in the latin alphabet enclose it in \tl{...}. For example:
%   ο μαθηματικός \tl{Cauchy} ήταν Γάλλος


\begin{document}

\selectlanguage{greek}

Για $n=1$ το ζητούμενο γίνεται η ισότητα $1^2=\frac{1(1+1)(2\cdot 1 + 1)}{6}$ που ισχύει.

Έστω ότι η πρόταση ισχύει για το $n$, δηλαδή ισχύει
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$
Θα δείξουμε ότι ισχύει και για το $n+1$, θα δείξουμε
δηλαδή ότι
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
$$
Προσθέτουμε το $(n+1)^2$ και στα δύο μέλη της πρώτης ισότητας και παίρνουμε
\begin{align}
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 & = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\
  &= (n+1)(\frac{n(2n+1)}{6}+(n+1)\\
  &= (n+1)\frac{2n^2 + n + 6n + 6}{6}\\
  &= (n+1)\frac{(n+2)(2n+3)}{6}
\end{align}
που είναι το ζητούμενο.


\end{document}
