Οι πιο πρόσφατες καταχωρήσεις βρίσκονται στο τέλος της σελίδας.

Πανεπιστήμιο Κρήτης -- Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Μέτρου (μεταπτυχιακό μάθημα)

Φθινόπωρο 2000-2001

Διδάσκων: Μιχάλης Ν. Κολουντζάκης

Βιβλίο:
Θα χρησιμοποιηθεί το βιβλίο "Measure and Integral", των R. Wheeden και A. Zygmund.

Ωράριο:
Θα γίνονται δύο δίωρα ``θεωρίας'' (ο όρος είναι απολύτως ανακριβής και παραπλανητικός, αλλά δυστυχώς έχει επικρατήσει) τη βδομάδα και ένα δίωρο ασκήσεων, το οποίο θα φροντίσουμε να είναι το πρώτο δίωρο της εβδομάδας, ώστε να έχετε το Σαββατοκύριακο μπροστά σας για να λύσετε τις ασκήσεις που θα σας ανατίθενται την προηγούμενη εβδομάδα.

Βαθμολογικό σύστημα:
Ο τελικός βαθμός για το μάθημα θα στηρίζεται κατ' αρχήν στο μέσο όρο τριών (3) γραπτών εξετάσεων που θα δοθούν κατά τη διάρκεια του εξαμήνου, περίπου ανά τέσσερεις (4) εβδομάδες. Θα προσπαθήσουμε η τελεταία εξέταση να είναι αμέσως πριν κλείσουμε για Χριστούγεννα. Δε θε υπάρξει ξεχωριστή τελική εξέταση. Πέρα από τις γραπτές αυτές εξετάσεις κάποιο ρόλο στη βαθμολογία θα παίξει και η παρουσία μέσα στο μάθημα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου, και, μάλλον, κάποια φυλλάδια με δυσκολότερες ασκήσεις.

Επικοινωνία:
Έχει φτιαχτεί μια λίστα επικοινωνίας μέσω e-mail με το όνομα

Τρ, 5/9/00: Τοποθέτησα στην κλειστή συλλογή της βιβλιοθήκης (δανεισμός 24ωρος) μερικά βιβλία που ίσως να σας εξυπηρετήσουν παράλληλα με το κύριο βιβλίο του μαθήματος. Είναι τα:
Kolmogorov & Fomin, Introductory Real Analysis,
Bartle, The elements of integration,
Burkill, The Lebesgue Integral, και
Weir, General integration and measure.
Ειδικά για το βιβλίο του Burkill (που είναι και εξαιρετικά μικρό) θα σας συνιστούσα να κάνετε ένα αντίγραφο και να το κρατήσετε. Το βιβλίο αυτό προσφέρεται ιδιαίτερα ως μια σύντομη εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος, κάτι που θα μπορούσατε και να διαβάσετε μέχρι να αρχίσει το μάθημα.

Τρ, 19/9/00: Το πρώτο μάθημα θα γίνει αυτή την Παρασκευή, 22/9/00, 3-5μμ, στη Ζ 307. Επίσης τη Δευτέρα, 25/9/00, 5-7 στη Ζ 301.

Τε, 20/9/00: Μπορείτε να περνάτε από το γραφείο μου (Η 304) για το βιβλίο.

Πέ, 21/9/00: Το μάθημα της Παρασκευής (22/9) ακυρώνεται. Τα λέμε τη Δευτέρα.

Δε, 25/9/00: Ορίσαμε το εξωτερικό μέτρο ενός συνόλου στις n διαστάσεις. Είδαμε ότι το εξωτερικό μέτρο διαστήματος είναι το ίδιο με τον όγκο του και ότι το σύνορο διαστήματος έχει μέτρο 0. Είδαμε επίσης ορισμένες απλές ιδιότητες του εξωτ. μέτρου. Ορίσαμε το τριαδικό σύνολο του Cantor (καθώς και παραλλαγές του) και είδαμε ότι έχει μέτρο 0. Είδαμε επίσης ότι είναι αδύνατο να ορίσει κανείς την έννοια του μέτρου, με τις ιδιότητες που θα θέλαμε να έχει, πάνω σε όλα τα υποσύνολα του χώρου, κι έτσι αναγκαστικά θα μείνουν "απ' έξω" ορισμένα μη μετρήσιμα υποσύνολα, ένα από τα οποία κατασευάσαμε στο μάθημα.

Aνακοίνωση: Το μάθημα της Τετάρτης και Πέμπτης δε θα γίνει λόγω απουσίας μου.

Τρ, 26/9/00: Ορίσαμε την έννοια του μετρήσιμου συνόλου ως ένα σύνολο που μπορεί να προσεγγιστεί από πάνω με ένα ανοιχτό σύνολο ούτως ώστε η διαφορά των δύό συνόλων να έχει οσοδήποτε μικρό εξωτερικό μέτρο. Δείξαμε επίσης ορισμένες βασικές ιδιότητες της κλάσσης των μετρησίμων συνόλων που συνοψίζονται στο ότι αποτελούν σ-άλγεβρα (είναι δηλ. μια κλάση συνόλων κλειστή ως προς συμπληρώματα και αριθμήσιμες τομές και ενώσεις. Επίσης είδαμε ότι τα κλειστά και τα ανοιχτά σύνολα είναι μετρήσιμα.

Ασκήσεις για Τρ, 3/10/00: Από Κεφ. 3, οι 5, 6, 9, 12, 17, 23, 25.

Τρ, 3/10/00: Λύσαμε τις ασκήσεις 3 και 25. Για την άσκηση 25 ιδού μια "απλή" λύση.

Ελέγξτε την και βεβαιωθείτε ότι καταλαβαίνετε όλους τους ισχυρισμούς μου.

Παρατήρηση 1: Αρκεί να φτιάξουμε δύο ξένα ανά δύο σύνολα Α και Β στο (0,1) που να έχουν θετικό μέτρο σε κάθε διάστημα.

Παρατήρηση 2: Αντί να ελέγξουμε το παραπάνω για κάθε διάστημα αρκεί να το ελέγξουμε για κάθε διάστημα με ρητά άκρα. Τα διαστήματα αυτά είναι αριθμήσιμα το πλήθος, και τα ονομάζουμε Ι(ν), ν=1,2,...

Τα σύνολα Α και Β α είναι το καθένα ένωση των Α(ν) και Β(ν), ν=1,2,..., όπου τα Α(ν) και Β(ν) θα είναι όλα ξένα μεταξύ τους, και θα είναι και τα δύο υποσύνολα του Ι(ν). Τα φτιάχνουμε ως εξής. (Θα είναι σύνολα Cantor με θετικό μέτρο το καθένα.)

Η βασική ιδιότητα του συνόλου τύπου Cantor που χρησιμοποιούμε είναι ότι είναι "πουθενά πυκνά", δηλ. ότι σε κάθε διάστημα μπορούμε να βρούμε ένα υποδιάστημα που δεν τέμνει ένα δεδομένο σύνολο Cantor. Εύκολα βλέπει κανείς ότι πεπερασμένη ένωση από πουθενά πυκνά σύνολα είναι επίσης πουθενά πυκνή.

Η κατασκευή είναι η ακόλουθη: για ν=1,2, ..., κοιτάμε μέσα στο διάστημα Ι(ν) και βρίσκουμε ένα υποδιάστημα J που δε τέμνει κανένα από τα Α(κ), Β(κ), κ<ν. Αυτό είναι δυνατό επειδή η ένωση αυτών των συνόλων είναι πουθενά πυκνή. Μέσα στο J φτιάχνουμε το σύνολο Cantor Α(ν) με θετικό μέτρο. Βρίσκουμε επίσης υποδιάστημα K του J που να μη τέμνει το Α(ν). Εκεί μέσα φτιαχνουμε το σύνολο Cantor Β(ν).

Τε, 4/10/00: Σήμερα λίγο-πολύ κλείσαμε με το Κεφ. 3. Σας ανέθεσα να διαβάσετε μόνοι σας την απόδειξη του χαρακτηρισμού του Caratheodory για το πότε ένα σύνολο είναι μετρήσιμο. (Μπορείτε να παραλείψετε το Θ. 3.32.) Είδαμε επίσης πως αλλάζει το μέτρο ενός μετρήσιμου συνόλου κάτω από ένα γραμμικό μετασχηματισμό, και ότι τα μετρήσιμα σύνολα παραμένουν μετρήσιμα κάτω από απεικονίσεις Lipschitz, πράγμα το οποίό δεν ισχύει για απλώς συνεχείς απεικονίσεις. Δείξαμε ότι για κάθε μετρήσιμο σύνολο με θετικό μέτρο και για κάθε ε>0, υπάρχει διάστημα Ι μέσα στο οποίο η πυκνότητα του συνόλου είναι >1-ε. Αυτό το χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε ότι αν το μετρ. σύνολο Α έχει θετ. μέτρο τότε το Α-Α περιέχει ένα ολόκληρο διάστημα γύρω από το 0.

Πέ, 5/10/00: Ορίσαμε την έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης, και είδαμε ότι μεγάλες ομάδες από συναρτήσεις (σχεδόν όλες που μπορεί κανείς εύκολα να περιγράψει) είναι μετρήσιμες (π.χ. οι συνεχείς συναρτήσεις και όσες μπορούν να φτιαχτούν από αυτές με αλγεβρικές πράξεις, όρια, κλπ). Ορίσαμε την έννοια της απλής συνάρτησης (παίρνει πεπερασμένες το πλήθος τιμές) και είδαμε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν κατά σημείο όριο απλών συναρτήσεων. Επίσης ορίσαμε τις άνω και κάτω ημισυνεχείς συναρτήσεις και είδαμε ότι κι αυτές είναι μετρήσιμες. Διαβάστε τις παραγράφους 4.1 και 4.2.

Ασκήσεις για Τρ, 10/10/00: Από Κεφ. 4, οι 3, 7, 8, 9, 10, 12.

Τρ, 10/10/00: Λύσαμε μερικές ασκήσεις από το Κεφ. 4 (3, 7, 8, 9a, 10). Σας ανατέθηκε να γράψετε τις λύσεις για τις ασκήσεις για τις ασκ. 9b και 12 (η οποία, κατά την παρατήρηση της Φωτεινής, δεν είναι τελικά και τόσο δύσκολη) και να μου τις παραδώσετε την Τρίτη, 24/10/00.

Τε, 11/10/00: Δείξαμε το θ. Egorov και το θ. Lusin. Ορίσαμε τη σύγκλιση μιας ακολουθίας συναρτήσεων σε μια άλλη "κατά μέτρο" και είδαμε ότι αν μια ακολουθία συγκλίνει σ.π. (ορισμένη σ' ένα σύνολο πεπερασμένου μέτρου) τότε συγκλίνει και κατά μέτρο, ενώ το αντίθετο δεν ισχύει (είδαμε ένα αντιπαράδειγμα). Ισχύει όμως ότι αν μια ακολουθία συγκλίνει κατά μέτρο τότε μπορούμε να βρούμε μια υπακολουθία που να συγκλίνει σ.π. Δείξαμε και ένα κριτήριο τύπου Cauchy για ύπαρξη ορίου κατά μέτρο. Τελειώσαμε έτσι το Κεφ. 4. Παρακαλώ να λύσετε τις ασκήσεις 13, 15, 17, 18, 19, του κεφαλαίου αυτού.

Πέ, 12/10/00: Σήμερα ορίσαμε το ολοκλήρωμα (κατά Lebesgue) μιας μετρήσιμης και μη αρνητικής συνάρτησης, ορισμένης πάνω σ' ένα μετρήσιμο σύνολο. Καλύψαμε τις παραγράφους 5.1 και 5.2. Παρακαλώ διαβάστε μόνοι σας την παράγραφο 5.3 που αφορά επέκταση των παραπάνω σε προσημασμένες μετρήσιμες συναρτήσεις. Λύστε τις ασκήσεις 2, 3 και 4 από το Κεφ. 5.

Την ερχόμενη εβδομάδα της 16ης Οκτ. δε θα γίνει μάθημα. Συναντιόμαστε ξανά την Τρ, 24/10/00.

Τρ, 24/10/00: Λύσαμε όλες τις ασκήσεις του Κεφ. 4 εκτός από τη 19, την οποία θέλω να μου δώσετε γραπτά ως την Πέ, 26/10/00. Για να δείξετε τη μετρησιμότητα τη συνάρτηση προσπαθείστε να χρησιμοποιήσετε τις υποθέσεις για να τη γράψετε ως κατά σημείο όριο μετρησίμων συναρτήσεων.

Τε, 25/10/00: Η παράγραφος 5.4 προς το παρόν παραλείπεται, σχεδόν εξ ολοκλήρου. Είδαμε τη σχέση ολοκληρώματος Riemann και Lebesgue όταν υπάρχουν και τα δύο, και δείξαμε ότι μια φραγμένη συνάρτηση είναι Riemann ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν είναι συνεχής σχεδόν παντού. Ορίσαμε τις κλάσεις L^p(E) και είδαμε διάφορες ιδιότητές των. Διαβάστε την παράγραφο 8.1, αν και δεν περιλμβάνει όλα όσα είπαμε.

Ασκήσεις για Τρ, 31/10/00: (Κεφ. 5) 7, 9-13, 21.

Πέ, 26/10/00: Καλύψαμε ολόκληρο το Κεφ. 6 (Θ. Fubini).

Ασκήσεις για Τρ, 31/10/00: (Κεφ. 6) 1-6, 10, 11.

Τρ, 1/11/00: Λύσαμε την άσκηση 19 του Κεφ. 4 και όλες τις ασκήσεις που είχαν ανατεθεί από το Κεφ. 5.

Η πρώτη πρόοδος θα γίνει το Σάββατο 4/11/00, στο Αμφ Γ, 10-2.

Τε, 1/11/00: Ορίσαμε την έννοια της αθροιστικής συνολοσυνάρτησης, και της συνεχούς και απολύτως συνεχούς συνολοσυνάρτησης. Ορίσαμε τη συνολοσυνάρτηση "αόριστο ολοκλήρωμα" μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης και δείξαμε ότι είναι απολύτως συνεχής. Ορίσαμε τι σημαίνει παράγωγος μιας συνολοσυνάρτησης σε ένα σημείο και ξεκινήσαμε την απόδειξη του Θ. Lebesgue ότι κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση είναι σ.π. ίση με την παράγωγο του αορίστου ολοκληρώματός της. Δείξαμε κατ' αρχήν ότι αυτό είναι εύκολο αν η συνάρτηση είναι επιπλέον και συνεχής. Μετά δείξαμε ότι οι συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα είναι πυκνές στο L¹. Κατόπιν ορίσαμε τη μεγιστική (maximal) συνάρτηση μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης και δείξαμε ότι δεν είναι ποτέ ολοκληρώσιμη. Ορίσαμε την έννοια του ασθενούς L¹ και ξεκινήσαμε την απόδειξη ότι η μεγιστική συνάρτηση είναι ασθενώς L¹. Δείξαμε το απλό Λήμμα του Vitali (τουλάχιστον όταν η αρχική οικογένεια κύβων είναι πεπερασμένη -- αλλά αυτή είναι η ουσιώδης περίπτωση).

Πέ, 2/11/00: Ξαναείπαμε σήμερα την απόδειξη του Λήμματος Vitali. Τελειώσαμε την απόδειξη του ότι η maximal συνάρτηση είναι ασθενώς στο L¹ και το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε το θεώρημα παραγώγισης του αορίστου ολοκληρώματος του Lebesgue. Δείξαμε επίσης το "ενισχυμένο" θεώρημα του Lebesgue (με την απόλυτη τιμή μέσα στο ολοκλήρωμα) και το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε ότι το Θ. Lebesgue ισχύει ακόμη κι όταν δε φθίνουμε με κύβους προς το σημείο αλλά με γενικότερου τύπου σύνολα, φτάνει τα σύνολα αυτά να μην είναι πολύ αραιά σε σχέση με τη διάμετρό τους. Τέλος προσπαθήσαμε ανεπιτυχώς να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα συνάρτησης όπου να μην ισχύει το Θ. Lebesgue για κάποια κακή οικογένεια από σύνολα που φθίνουν στο 0. Ένα εύκολο παράδειγμα είναι το εξής: Ας πάρουμε (στη μια διάσταση) ως οικογένεια επιτρεπτών συνόλων όλα τα διαστήματα (όχι μόνο αυτά που περιέχουν το 0), και ας πάρουμε επίσης ως f τη χαρακτηριστική ενός συνόλου Cantor με θετικό μέτρο. Έστω x σημείο του συνόλου αυτού. Επειδή το συμπλήρωμα του συνόλου Cantor είναι ανοιχτό και πυκνό στο R υπάρχουν διαστήματα του συμπληρώματος οσοδήποτε κοντά στο x. Αν οι μέσοι όροι της f για το x υπολογιστούν πάνω σε αυτά τα διαστήματα αυτοί θα είναι όλοι 0, και όχι 1 ως θα όφειλαν. Άρα δεν ισχύει το συμπέρασμα του Θ. Lebesgue για αυτή την οικογένεια.

Το πρώτο διαγώνισμα μπορείτε να το δείτε σε μορφή DVI, Postscript και PDF.

Οι λύσεις βρίσκονται εδώ σε μορφή DVI, Postscript και PDF.

Τρ, 7/11/00: Λύσαμε τα προβλήματα του πρώτου διαγωνίσματος.

Το μάθημα της Πέμπτης, 9/11/00, δεν έγινε. Θα γίνει την Παρασκευή, 10/11/00, 5-7 στη Ζ 301.

Πα, 10/11/00: Αποδείξαμε το Λήμμα κάλυψης του Vitali και το εφαρμόσαμε για να δείξουμε ότι κάθε μονότονη συνάρτηση παραγωγίζεται σχεδόν παντού. Η απόδειξη αυτή θα επαναληφθεί την Τρίτη 13/11/00 μια και δεν έγινε και πολύ επιτυχημένα.

Ασκήσεις για Τε, 15/11/00: (Κεφ. 7) 1-4, 6, 12, 14, 15, 17.

Τρ, 14/11/00: Δώσαμε ξανά την απόδειξη του θεωρήματος παραγώγισης μονοτόνων συναρτήσεων. Ορίσαμε τις έννοιες της απόλυτα συνεχούς (absolutely continuous) και ιδιάζουσας (singular) συνάρτησης και δείξαμε ότι μια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι και τα δύο εκτός αν είναι σταθερή. Ορίσαμε τις κυρτές συναρτήσεις και είδαμε διάφορες βασικές ιδιότητές τους (πολλές από αυτές δεν τις αποδείξαμε αλλά πρέπει να τις διαβάσετε μόνοι σας). Το θεώρημα 7.29 (οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις είναι αόριστα ολοκληρώματα θέλω να το χρησιμοποιείτε, αλλά την απόδειξη δεν μπορείτε να την καταλάβετε αφού χρησιμοποιεί την έννοια της συνάρτησης φραγμένης κύμανσης, που εμείς δεν έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής. Το Θεώρημα αυτό χρησιμοποιείται και στην απόδειξη του Θ. 7.43 για κυρτές συναρτήσεις.

Τε, 15/11/00: Σήμερα λύσαμε όλες τις ασκήσεις του Κεφ. 7 εκτός από την τελευταία.

Πέ, 16/11/00: Χώροι L^p και νόρμες. Ανισότητες Young, Holder (ειδική περίπτωση η Cauchy-Schwartz) και Minkowski (τριγωνική). Δυϊσμός ("αντίστροφη Holder"). Ακολουθιακοί l^p χώροι και αντίστοιχες ανισότητες. Πληρότητα χώρων L^p (χώροι Banach).

Τρ, 21/11/00: Διαχωρισιμότητα χώρων L^p και l^p για πεπερασμένο p. Μη διαχωρισμότητα για άπειρο p. Η συνέχεια στο L^p, για πεπερασμένο p, της μεταφοράς μιας συνάρτησης. Εσωτερικό γινόμενο στον L² - ορθογωνιότητα. Αριθμησιμότητα ορθογωνίων συστημάτων συναρτήσεων. Ορθοκανονικοποίηση Gram - Schmidt. Ύπαρξη ορθογώνιας βάσης γα τον L².

Ασκήσεις για Τε, 29/11/00: (Κεφ. 8) 2, 4, 6, 7, 8, 10-18, 20-22.

Το 2ο διαγώνισμα θα γίνει το Σάββατο, 2/12/00, 10-2. Θα εξεταστείτε πάνω σε ότι έχουμε κάνει μέχρι και το Κεφ. 8.

Τε, 22/11/00: Ανισότητα Cauchy-Schwartz σε τυχόντα χώρο Hilbert. Πληρότητα ορθογωνίου συστήματος. Σειρά Fourier ενός στοιχείου του χώρου Hilbert ως προς ορθοκανονικό σύστημα (ΟΚΣ). Ανισότητα Bessel και ισότητα Parseval. Θεώρημα Riesz-Fischer. Σειρές Fourier ως προς πλήρη ΟΚΣ καθορίζουν πλήρως το διάνυσμα του χώρου Hilbert. Πληρότητα ενός ΟΚΣ ισοδύναμη με την αλήθεια της ισότητας Parseval για κάθε διάνυσμα. Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου δυο διανυσμάτων του χώρου Hilbert αν γνωρίζουμε τους συντελεστές Fourier τους ως προς ένα πλήρες ΟΚΣ. Κάθε απειροδιάστατος, διαχωρίσιμος χώρος Hilbert είναι ισομετρικός με τον l². Καθορισμός του εσωτερικού γινομένου ενός χώρου Hilbert από την αντίστοιχη νόρμα.

Πέ, 23/11/00: Λύσαμε την άσκηση 17 από το Κεφ 7, και την 11 από το Κεφ 8. Επίσης λύσαμε το πρώτο σκέλος της 12 (Κεφ 8) αλλά κολλήσαμε στο δεύτερο.

Υπόδειξη για 12β, Κεφ 8: Βρείτε πρώτα ένα αρκετά μεγάλο φραγμένο διάστημα όπου να βρίσκεται σχεδόν όλο το ολοκλήρωμα της |f|^p. Σε αυτό το διάστημα βρείτε ένα μεγάλο υποσύνολο στο οποίο η σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη (Egorov) άρα και στο L^p. Δείξτε μετά ότι η σύγκλιση της νόρμας των f_k επιτρέπει να ελέγξουμε το ολοκλήρωμα στα υπόλοιπα κομμάτια.

Οι ασκήσεις την επόμενη εβδομάδα θα γίνουν την Τρίτη και όχι την Τετάρτη.

Τρ, Τε και Πέ, 28-30/12: Λύσαμε όλες τις ασκήσεις του Κεφ. 8 εκτός από την 21 που θα την λύσουμε την ερχόμενη εβδομάδα.

Το 2ο διαγώνισμα θα γίνει το Σάββατο, 9/12/00, 10-2 το πρωί σε ώρα που θα ανακοινωθεί. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου σας κατά τη διάρκεια του διαγωνίσματος. Επίσης, όπως σας είπα στο μάθημα, ένα από τα προβλήματα που θα έχετε να λύσετε θα είναι το 12 ή το 13 του Κεφ. 8. Τη λύση αυτού θα τη βαθμολογήσω αυστηρότερα από τα άλλα προβλήματα και θέλω να δω ότι έχετε την απόδειξη πολύ ξεκάθαρη μέσα στο μυαλό σας.

Το δεύτερο διαγώνισμα θα γίνει στη Θ 207, 10-2 το πρωΐ του Σαββάτου, 9/12/00. Μπορείτε να έχετε μαζί σας το βιβλίο σας αλλά όχι κανενός είδους σημειώσεις. Θα εξεταστείτε στα Κεφάλαια 6, 7 και 8, αλλά απαιτείται κατανόηση και των προηγουμένων.

Τρ και Τε, 5 και 6/12: Λύσαμε τις υπόλοιπες ασκήσεις από το Κεφ 8, και μπήκαμε στο Κεφ. 10. Ορίσαμε τις "προσθετικές συνολοσυναρτήσεις" και τα "μέτρα" πάνω σε σ-άλγεβρες υποσυνόλων κάποιου συνόλου. Ορίσαμε επίσης τις άνω, κάτω και ολική κύμανση μιας συνολοσυνάρτησης πάνω σε ένα σύνολο E. Δείξαμε ότι αυτές είναι μη-αρνητικές προσθετικές συνολοσυναρτήσεις και τελικά δείξαμε την ανάλυση Jordan: κάθε προσθετική συνολοσυνάρτηση γράφεται σαν τη διαφορά της άνω και της κάτω κύμανσής της. Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιας μετρήσιμης συνάρτησης πάνω σε ένα σύνολο E ως προς ένα μέτρο μ.

Διευκρίνιση για το διαγώνισμα: Για την άσκηση 12 ή 13, που σας έχω προειδοποιήσει ότι θα ζητήσω να μου γράψετε, δε θα σας επιτραπεί η χρήση του βιβλίου σας.

Πέ, 7/12/00: Λύσαμε ασκήσεις και απαντήσαμε απορίες των φοιτητών.

Το δεύτερο διαγώνισμα μπορείτε να το βρείτε εδώ σε μορφή DVI, Postscript και PDF.

Τρ, 12/12/00: Αποδείξαμε ιδιότητες του ολοκληρώματος ως προς ένα γενικό μέτρο αντίστοιχες με αυτές που ισχύουν για το ολοκλήρωμα Lebesgue, π.χ. θεωρήματα μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης.

Τε, 13/12/00: Λύσαμε τις ασκήσεις του δευτέρου διαγωνίσματος. Επίσης είδαμε διάφορα παραδείγματα γενικών μέτρων και το τι σημαίνει το ολοκλήρωμα σε κάθε περίπτωση. Για παράδειγμα, είδαμε τι συνεπάγεται το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης για το χώρο όπου τα σημεία είναι οι φυσικοί αριθμοί και κάθε μονοσύνολο έχει μέτρο 1. (Προκύπτει ένα θεώρημα εναλλαγής ορίου και αθροίσματος για σειρές, υπό ορισμένες συνθήκες.)

Πέ, 14/12/00: Είδαμε μερικά ακόμη παραδείγματα γιενικών μέτρων. Μιλήσαμε για απόλυτα συνεχείς και ιδιάζουσες προσθετικές συνολοσυναρτήσεις.

Borel: Στο μάθημα απέτυχα να θυμηθώ το πώς αποδεικνύει κανείς ότι τομή ενός Borel συνόλου του επιπέδου με τον x άξονα είναι Borel υποσύνολο της ευθείας. Ιδού πώς πάει η απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο A όλων των υποσυνόλων του επιπέδου των οποίων η τομή με τον x άξονα είναι Borel στην ευθεία. Δείχνουμε εύκολα ότι το A είναι σ-άλγεβρα. Προφανώς το A περιέχει όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του επιπέδου αφού τομή ανοιχτού με ευθεία είναι ανοιχτό στην ευθεία άρα και Borel στην ευθεία. Προκύπτει (από τον ορισμό της Borel σ-άλγεβρας) ότι όλα τα Borel υποσύνολα του επιπέδου περιέχονται στην A, που είναι ακριβώς αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε.

Τελευταία εβδομάδα: Γυρίσαμε πίσω στο Κεφ. 9 και είδαμε μερικές βασικές εκτιμήσεις για τις νόρμες συνελίξεων όπως και το ότι οι ιδιότητες ομαλότητες ενός παράγοντα της συνέλιξης μεταφέρονται στην ίδια τη συνέλιξη. Είδαμε επίσης την έννοια της "προσέγγισης της μονάδας" και το πώς αυτή χρησιμοποιείται για να δείξει κανείς ότι οι ομαλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους L^p. Διαβάστε τις παραγράφους 9.1 και 9.2 μέχρι τη μέση της σελ. 151. Είδαμε επίσης την απόδειξη του ότι η μεγιστική (maximal) συνάρτηση μιας συνάρτησης στο L^p είναι κι αυτή στον ίδιο χώρο με νόρμα που φράσσεται από μια σταθερά απί αυτή της αρχικής συνάρτησης.

Ασκήσεις για Κεφ 9: 2-6, 9, 10.

Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 21 Ιανουαρίου σε αίθουσα που θα ανακοινωθεί.

Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 21 Ιανουαρίου, στο Αμφ Γ, από 1-3 μμ.

Μπορείτε να βρείτε το τελικό διαγώνισμα σε μορφή Postscript και σε μορφή PDF.