5.4 Μεταθέσεις και συνδυασμοί, παραδείγματα - Πέ, 27/9/01

Σήμερα είδαμε κατ' αρχήν δύο θεωρήματα.

Το πρώτο λέει ότι υπάρχουν αρκιβώς $n!$ διαφορετικές μεταθέσεις του συνόλου ${\left\{{1,\ldots,n}\right\}}$, υπάρχουν δηλ. τόσοι διαφορετικοί τρόποι να διατάξουμε τα στοιχεία του.

Το δεύτερο θεώρημα μας λέει ότι υπάρχουν ${n \choose k} = {n(n-1)\cdots(n-k+1)\over k!}$ διαφορετικά υποσύνολα του ${\left\{{1,\ldots,n}\right\}}$ μεγέθους $k$. (Λέμε, αλλιώς, ότι υπάρχουν τόσοι συνδυασμοί των $n$ στοιχείων ανά $k$.)

Για να δείξουμε το δεύτερο θεώρημα χρησιμοποιήσαμε το πρώτο.

Χρησιμοποιήσαμε έπειτα το δεύτερο θεώρημα για να λύσουμε το εξής πρόβλημα: ποιά η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 3 κορώνες σε 10 ανεξάρτητες ρίψεις του ίδιου νομίσματος. Η απάντηση είναι ${10 \choose 3} p^3 (1-p)^7$, όπου $p$ είναι η πιθανότητα να φέρει το νόμισμα κορώνα.

Λύσαμε τέλος τα προβλήματα 11 και 14 από το Κεφ 1 του βιβλίου.