5.11 Διανυσματικές ΤΜ, κοινές και περιθώριες (marginal) πυκνότητες πιθανότητας - 11/10/01

Σήμερα μιλήσαμε κυρίως για την περίπτωση όπου έχουμε δύό ή παραπάνω ΤΜ, ορισμένες πάνω στον ίδιο χώρο πιθανότητας, και που μας ενδιαφέρει η κοινή τους κατανομή, και όχι μόνο η κατανομή (πυκνότητα πιθανότητας) της κάθε μιας χωριστά.

Τυπικό παράδειγμα της περίπτωσης αυτής είναι όταν έχουμε ένα κουτί με 10 αριθμημένους (από το 1 έως το 10) βώλους μέσα, και διαλέγουμε δύο χωρίς επανάθεση. Αν ονομάσουμε $X_1$ τον πρώτο βώλο και $X_2$ το δεύτερο, τότε κάθε μια από τις $X_i$, $i=1,2$, έχει πυκνότητα ομοιόμορφη στο ${\left\{{1,\ldots,10}\right\}}$. Από αυτή την πληροφορία και μόνο δε μπορεί με τίποτα να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι πάντα $X_1 \neq X_2$.

Γι' αυτό το λόγο μελετάμε την κοινή πυκνότητα πιθανότητας $f_{X_1, X_2}$ που ορίζεται

$$f_{X_1, X_2}(m, n) = {{\bf {Pr}}\left[{X_1 = m, X_2 = n}\right]}, (m, n \in {\bf Z}).$$

Αυτή η συνάρτηση, που είναι ορισμένη πάνω στο σύνολο των δυνατών τιμών για το ζεύγος $(X_1, X_2)$, εμπεριέχει όλη την πληροφορία που χρειαζόμαστε για να απαντήσουμε ερωτήματα που αφορούν τη $X_1$ και τη $X_2$.

Όσον αφορά μια μόνη τυχαία μεταβλητή $X$ σήμερα μιλήσαμε και για τη συνάρτηση κατανομής της

$$F_X(t) = {{\bf {Pr}}\left[{X \le t}\right]}, (t\in{\mathbf R}).$$

Είδαμε επίσης πώς να υπολογίζουμε την συνάρτηση κατανομής από της συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αντίστροφα, καθώς και ορισμένες βασικές ιδιότητες της $F$ (είναι αύξουσα, το όριό της στο $-\infty$ είναι 0 ενώ στο $\infty$ είναι 1, και είναι, για διακριτές ΤΜ που παίρνουν ακέραιες τιμές, τμηματικά σταθερή ανάμεσα σε δυό διαδοχικούς ακέραιους).