5.31 Ιδιότητες συνέχειας συνάρτησης κατανομής, εκθετική κατανομή - Τρ, 13/11/2001

Σήμερα είδαμε ότι οι συναρτήσεις κατανομής είναι πάντα συνεχείς από δεξιά. Επίσης η διαφορά των δύο πλευρικών ορίων στο $x$ είναι πάντα ίση με την πιθανότητα η ΤΜ να είναι ίση με $x$. Είδαμε επίσης πώς να εκφράζουμε ποσότητες όπως η ${{\bf {Pr}}\left[{a < X < b}\right]}$ μέσω της συνάρτησης κατανομής της $X$.

Είδαμε ποια είναι η κανονική κατανομή με παραμέτρους $\mu$ και $\sigma$ καθώς και την κατανομή Cauchy και πώς αυτή προκύπτει παίρνοντας την εφαπτομένη μιας γωνίας που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο $(-{\pi\over2},{\pi\over2})$. Τέλος είδαμε ότι αν η $X$ ακολουθεί την εκθετική κατανομή τότε για κάθε $a, b \ge 0$ έχουμε

$${{\bf {Pr}}\left[{X > a+b}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{X>a}\right]}{{\bf {Pr}}\left[{X>b}\right]}.$$

Είδαμε επίσης ότι το να ισχύει αυτή η ιδιότητα για κάθε $a, b \ge 0$ ουσιαστικά επιβάλει στην $X$ να ακολουθεί την εκθετική κατανομή για κάποια παράμετρο $\lambda>0$.