ÐÁÍÅÐÉÓÔÞÌÉÏ ÊÑÞÔÇÒ - ÔÌÞÌÁ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÞÍ

Ðñüôõðç ðñüïäïò ãéá ôï ìÜèçìá È. ÐéèáíïôÞôùí

ÄéäÜóêùí: Ìé÷Üëçò ÊïëïõíôæÜêçò

Ïé áðáíôÞóåéò óáò ðñÝðåé íá åßíáé ðëÞñùò áéôéïëïãçìÝíåò êáé èá äïèåß éäéáßôåñï âÜñïò óôï ðþò åêöñÜæåóôå. Äåí åðéôñÝðåôáé íá Ý÷åôå ìáæß óáò âéâëßá Þ Üëëåò óçìåéþóåéò. ÅðéôñÝðåôáé ç ÷ñÞóç õðïëïãéóôÞ.

1. ×ùñßò íá êÜíåôå ðñÜîåéò äåßîôå üôé:
(á) Áí $0 \le k \le m \le n$ ôüôå

$${n \choose m}{m \choose k} = {n \choose k}{n-k \choose m-k}.$$

(â)

$${n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n.$$

2. Áðü ìéá óõíçèéóìÝíç ôñÜðïõëá ìå 52 ÷áñôéÜ ôñáâÜìå 6 öýëëá, ÷ùñßò åðáíÜèåóç.
(á) Ðïéá ç ðéèáíüôçôá üëá ôá öýëëá íá Ý÷ïõí ôï ßäéï ÷ñþìá (êüêêéíï Þ ìáýñï);
(â) Ðïéá ç ðéèáíüôçôá üëá ôá öýëëá íá Ý÷ïõí ôï ßäéï ó÷Ýäéï (ìðáóôïýíé, óðáèß, êáñþ Þ êïýðá);
(ã) Ðïéá ç ðéèáíüôçôá íá Ý÷ù óôçí åîÜäá ôñßá ÷áñôéÜ ìå ôï ßäéï íïýìåñï (1,2,...,10,J,Q,K) êáé ôá Üëëá ôñßá ÷áñôéÜ íá åßíáé üëá áðü ôï ó÷Ýäéï ðïõ ëåßðåé áðü ôçí ðñïçãïýìåíç ôñéÜäá ìå íïýìåñá äéáöïñåôéêÜ áðü áõôü ôçò ðñïçãïýìåíçò ôñéÜäáò;

3. Ñß÷íåé êÜðïéïò Ýíá íüìéóìá $n$ öïñÝò. Ôï íüìéóìá öÝñíåé êïñþíá ìå ðéèáíüôçôá $p\in(0,1)$.
(á) ÐïéÜ ç ðéèáíüôçôá íá öÝñåé áêñéâþò 10 êïñþíåò êáé ãéáôß;
(â) Áí $X$ ôï ðëÞèïò ôùí êïñùíþí ðïõ öÝñíåé õðïëïãßóôå ôá ${\bf E}{X}, {\bf Var}{X}$.

4. Ïé ÔÌ ìåôáâëçôÝò $X_i$, $i=1,2,\ldots$, åßíáé áíåîÜñôçôåò êáé ðáßñíïõí ôçí ôéìÞ $1$ ìå ðéèáíüôçôá $p$ êáé ôçí ôéìÞ $0$ ìå ðéèáíüôçôá $1-p$. H TM $Í$ åßíáé Poisson ìå ðáñÜìåôñï $\lambda>0$.
(á) Íá âñåèåß ç ãåííÞôñéá óõíÜñôçóç ôçò $X_1$ êáé ôçò $N$.
(â) Íá âñåèåß ç ðõêíüôçôá ðéèáíüôçôáò ôçò

$$S = X_1 + \cdots + X_N.$$

5. ¸íáò Üíèñùðïò îåêéíÜ áðü ôï $0$ ôçò ðñáãìáôéêÞò åõèåßáò êáé ìåôÜ áðü êÜèå äåõôåñüëåðôï ðçäÜåé êáôÜ Ýíá ìÝôñï äåîéÜ Þ áñéóôåñÜ ìå ôçí ßäéá ðéèáíüôçôá $1/2$. Äåßîôå üôé ìåôÜ áðü 10000 äåõôåñüëåðôá ç ðéèáíüôçôá íá âñßóêåôáé ìáêñýôåñá áðü 500 ìÝôñá áðü åêåß áð' üðïõ îåêßíçóå åßíáé ôï ðïëý 4%.

ÇñÜêëåéï, 30 Ïêôùâñßïõ 2001