ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Λεωφ. Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο. Τηλ: +30(0)810393800, Fax +30(0)810393881

Σεμινάριο

ΘΕΩΡΙΑ RAMSEY

Βαγγέλης Φελουζής
Πανεπιστήμιο Κρήτης

Φθινόπωρο 2002-03

Θα καλυφθούν τα παρακάτω:

1. Στοιχειώδεις μέθοδοι-Βασικά θεωρήματα:
   Θεώρημα Ramsey πεπερασμένη και άπειρη μορφή, υπεργραφήματα, αρχή συμπάγειας. Θεώρημα Van der Waerden, Θεώρημα Hales-Jewett (κλασική απόδειξη - απόδειξη Shelah), Θεώρημα Gallai, Θεώρημα Graham-Leeb-Rothschild. Θεωρήματα πυκνότητας, Θεώρημα Szemeredi (απόδειξη για την μερική περίπτωση αριθμητικών προόδων μήκους 3: Η απόδειξη Roth - η απόδειξη Szemeredi). Θεώρημα Schur, θεώρημα Rado, Θεώρημα Folkman, Θεώρημα Hindman. Θεώρημα Gowers (χωρίς απόδειξη).
2. Αριθμοί - εκτιμήσεις - εφαρμογές:
   Αριθμοί Ramsey, Van der Waerden, Hales-Jewett, Rado, ακριβείς υπολογισμοί και ασυμπτωτικοί τύποι. Πιθανοθεωρητικές μέθοδοι, τυχαία γραφήματα. Εφαρμογές σε θεωρία γραφημάτων, εξισώσεις σε αβελιανές ομάδες. Ευκλείδεια θεωρία Ramsey - ισοπεριμετρικά θεωρήματα. Εφαρμογές στην Λογική - Το Θεώρημα Paris-Harrington.
3. Μέθοδοι τοπολογικής δυναμικής και εργοδικής θεωρίας:
   (Α) Δυναμικά συστήματα Kronecker και Bebutov, διοφαντικές ανισότητες, θεώρημα Hardy-Littlewood. Πολλαπλό θεώρημα Birkhoff, νέα απόδειξη θεωρήματος Van der Waerden. Υπερφίλτρα και τοπολογική δυναμική. Νέες αποδείξεις των θεωρημάτων Van der Waerden, Hales-Jewett, Rado, Hindmann. Απόδειξη του θεωρήματος του Gowers.

   (Β) Εργοδικές μέθοδοι. Πολλαπλό θεώρημα Poincare, πλήρης απόδειξη θεωρήματος Szemeredi. Γενικεύσεις του θεωρήματος Szemeredi (πολυωνυμικά θεωρήματα τύπου Szemeredi).

4. Αφηρημένη Θεωρία Ramsey.
   Χώροι Ramsey. Θεωρήματα Galvin-Prikry, Ellentuk, Carlson-Simpson. Θεωρία Ramsey σε δέντρα - Το θεώρημα Halpern-Lauchli. Εφαρμογές στην Ανάλυση και Τοπολογία.

Θα χρησιμοποιηθούν κυρίως τα βιβλία:

• Ramsey Theory των R. Graham- B. Rothschild- J. Spencer
• Reccurence in Ergodic theory and combinatorial number theory του H. Furstenberg.
• Elemental methods in Ergodic Ramsey theory του R. Mc Cutcheon.
• Modern Graph theory του Bela Bollobas

Το ακριβές πρόγραμμα θα ανακοινώνεται στη σελίδα του Σεμιναρίου Ανάλυσης.