(* Content-type: application/mathematica *)

(*** Wolfram Notebook File ***)
(* http://www.wolfram.com/nb *)

(* CreatedBy='Mathematica 6.0' *)

(*CacheID: 234*)
(* Internal cache information:
NotebookFileLineBreakTest
NotebookFileLineBreakTest
NotebookDataPosition[       145,          7]
NotebookDataLength[      5901,        150]
NotebookOptionsPosition[      5648,        137]
NotebookOutlinePosition[      5989,        152]
CellTagsIndexPosition[      5946,        149]
WindowFrame->Normal
ContainsDynamic->False*)

(* Beginning of Notebook Content *)
Notebook[{
Cell[BoxData[
 RowBox[{
  RowBox[{"(*", " ", 
   RowBox[{
    RowBox[{
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{
       RowBox[{"{", 
        RowBox[{"4", ",", "8", ",", "16"}], "}"}], ",", 
       RowBox[{"{", 
        RowBox[{"2", ",", "3", ",", "9"}], "}"}]}], "}"}], ";", " ", "0", ";",
      " ", "bytheory", ";", "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]", 
     RowBox[{"Anything", " ", "with", " ", "divisors", " ", "Phi_", "4"}]}], 
    ",", " ", "8", ",", 
    RowBox[{
     RowBox[{
      RowBox[{
      "16", " ", "must", " ", "tile", " ", "with", " ", "the", " ", "C"}], 
      "-", 
      RowBox[{
      "M", " ", "universal", " ", "tile", " ", "coming", " ", "from", " ", 
       "Phi_", "2", 
       RowBox[{"(", "x", ")"}]}]}], "=", 
     RowBox[{"1", "+", "x"}]}], ",", " ", 
    RowBox[{
     RowBox[{"i", ".", "e", ".", " ", "the"}], " ", "set", " ", 
     RowBox[{
      RowBox[{"{", 
       RowBox[{"0", ",", "1"}], "}"}], ".", " ", "So"}]}], ",", " ", 
    RowBox[{
     RowBox[{
     "modulo", " ", "16", " ", "the", " ", "only", " ", "possibility", " ", 
      "is", " ", "T"}], "=", 
     RowBox[{
      RowBox[{
       RowBox[{"{", 
        RowBox[{
        "0", ",", "2", ",", "4", ",", "6", ",", "8", ",", "10", ",", "12", 
         ",", "14"}], "}"}], ".", " ", "Modulo"}], " ", "144", " ", "the", 
      " ", "only", " ", "possible", " ", "sets", " ", 
      RowBox[{"T", "'"}], " ", "are", " ", "of", " ", "the", " ", 
      RowBox[{"form", ":", "  ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"the", " ", "elements", " ", "of", " ", "T", " ", 
         RowBox[{"(", 
          RowBox[{"except", " ", "for", " ", "0"}], ")"}], " ", "are", " ", 
         "shifted", " ", "by", " ", "multiples", " ", "of", " ", "16.", " ", 
         "There", " ", "are", " ", 
         RowBox[{"9", "^", "7"}], " ", "such", " ", 
         RowBox[{"sets", ".", " ", "They"}], " ", "could", " ", "be", " ", 
         "checked", " ", "within", " ", "2"}], "-", 
        RowBox[{"3", " ", "days"}]}]}]}]}], ",", " ", 
    RowBox[{"but", " ", "there", " ", "is", " ", "no", " ", 
     RowBox[{"need", ".", " ", "Any"}], " ", "set", " ", 
     RowBox[{"T", "'"}], " ", "is", " ", "composed", " ", "of", " ", "even", 
     " ", "numbers", " ", 
     RowBox[{"only", ".", " ", "Now"}]}], ",", " ", 
    RowBox[{
     RowBox[{"there", " ", "are", " ", "\[IndentingNewLine]", "two", " ", 
      RowBox[{"cases", ":", "\[IndentingNewLine]", 
       RowBox[{"1.", " ", 
        RowBox[{"T", "'"}], " ", "is", " ", "periodic"}]}]}], ";", " ", 
     RowBox[{
      RowBox[{
       RowBox[{
        RowBox[{"we", " ", "are", " ", 
         RowBox[{
         "done", ".", "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]", "2."}], 
         " ", 
         RowBox[{"T", "'"}], " ", "in", " ", "non"}], "-", 
        RowBox[{
         RowBox[{"periodic", ".", " ", "Then"}], " ", "a", " ", "tiling", " ",
          "comlement", " ", "B", " ", "of", " ", 
         RowBox[{"T", "'"}], " ", "must", " ", "be", " ", "composed", " ", 
         "of", " ", "some", " ", "even", " ", "numbers", " ", "B1", " ", 
         "\[IndentingNewLine]", 
         RowBox[{"(", 
          RowBox[{
          "tiling", " ", "all", " ", "the", " ", "even", " ", "numbers", " ", 
           "mod", " ", "144", " ", "with", " ", 
           RowBox[{"T", "'"}]}], ")"}], " ", "and", " ", "some", " ", "odd", 
         " ", "numbers", " ", 
         RowBox[{"B2", ".", " ", "Both"}], " ", "B1", " ", "and", " ", "B2", 
         " ", "induce", " ", "a", " ", "tiling", " ", "of", " ", "the", " ", 
         "factor", " ", "group", " ", "Z_", "72"}]}], ":", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{
         RowBox[{"(", "B1", ")"}], "/", "2"}], "+", 
        RowBox[{
         RowBox[{"T", "'"}], "/", "2"}]}]}], "=", 
      RowBox[{"Z_", "72", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"(", 
         RowBox[{
         "the", " ", "subgroup", " ", "of", " ", "all", " ", "the", " ", 
          "even", " ", "numbers", " ", "mod", " ", "144"}], ")"}], ".", " ", 
        "But"}], " ", "we", " ", "know", " ", "from", " ", "the", " ", "case",
        " ", "of", " ", "tilings", " ", "of", " ", "Z_", "72", 
       "\[IndentingNewLine]", 
       RowBox[{"(", 
        RowBox[{"which", " ", "are", " ", "all", " ", "classified"}], ")"}], 
       " ", "that", " ", "in", " ", "this", " ", "case", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"(", "B1", ")"}], "/", "2"}], " ", "must", " ", "be", " ", 
       "periodic", " ", "by", " ", "24.", " ", "And", " ", "similarly", " ", 
       RowBox[{"B2", "/", "2"}], " ", "is", " ", "also", " ", "periodic", " ",
        "by", " ", "24.", " ", "Therefore", " ", "B1"}]}]}], ",", " ", 
    RowBox[{
    "B2", " ", "and", " ", "henceforth", " ", "B", " ", "is", " ", "periodic",
      " ", "by", " ", "48.", "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]", 
     "We", " ", "are", " ", 
     RowBox[{"done", "."}]}]}], "\[IndentingNewLine]", "*)"}], 
  "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]"}]], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.432204662015625*^9, 3.432204786265625*^9}, 
   3.43365804934375*^9}]
},
WindowSize->{866, 567},
WindowMargins->{{110, Automatic}, {Automatic, 0}},
FrontEndVersion->"6.0 for Microsoft Windows (32-bit) (June 19, 2007)",
StyleDefinitions->"Default.nb"
]
(* End of Notebook Content *)

(* Internal cache information *)
(*CellTagsOutline
CellTagsIndex->{}
*)
(*CellTagsIndex
CellTagsIndex->{}
*)
(*NotebookFileOutline
Notebook[{
Cell[568, 21, 5076, 114, 472, "Input"]
}
]
*)

(* End of internal cache information *)