Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών,    Πανεπιστήμιο Κρήτης,

Λεωφόρος Κνωσσού, 714 09 Ηράκλειο,

Γραφείο: Γ 118,

E-mail: papadim AT math.uoc.gr,    Τηλέφωνο: 2810393840

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ (Μ1217 ή Μ104)

$$\iiint_V div(\mathbf{f}) dx dy dz=\iint_{\partial V} \mathbf{f}\cdot\mathbf{n} dS.$$

Άνοιξη 2010-11

Περιεχόμενα

• 1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
• 2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
• 3 Βιβλιογραφία.
• 4 Βαθμολόγηση.
• 5 Τελικοί βαθμοί.
• 6 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 6.1 Δευτέρα, 14-2-2011.
  • 6.2 Τετάρτη, 16-2-2011.
  • 6.3 Δευτέρα, 21-2-2011.
  • 6.4 Τετάρτη, 23-2-2011.
  • 6.5 Δευτέρα, 28-2-2011.
  • 6.6 Τετάρτη, 2-3-2011.
  • 6.7 Τετάρτη, 9-3-2011.
  • 6.8 Δευτέρα, 14-3-2011.
  • 6.9 Τετάρτη, 16-3-2011.
  • 6.10 Δευτέρα, 21-3-2011.
  • 6.11 Τετάρτη, 23-3-2011.
  • 6.12 Δευτέρα, 28-3-2011.
  • 6.13 Τετάρτη, 30-3-2011.
  • 6.14 Δευτέρα, 4-4-2011.
  • 6.15 Τετάρτη, 6-4-2011.
  • 6.16 Τετάρτη, 13-4-2011.

1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Διανυσματικός λογισμός: επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα, τα θεωρήματα Green, Stokes, Gauss. Διαφορικές εξισώσεις.

2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Δευτέρα και Τετάρτη 11-13 στο αμφιθέατρο ΣΠ. Οι ασκήσεις γίνονται Παρασκευή 17-19 στις Θ201, Θ207.

Το γραφείο μου είναι στο Γ118 και οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 10-11, Τετάρτη 13-14 και Πέμπτη 10-11. Αν δεν μπορείτε να έρθετε στις ώρες γραφείου μου, επικοινωνήστε μαζί μου για να κανονίσουμε συνάντηση κάποια άλλη ώρα.

3 Βιβλιογραφία.

Για τον διανυσματικό λογισμό, ο οποίος θα διδαχτεί από εμένα τις πρώτες 8-9 εβδομάδες (τις διαφορικές εξισώσεις θα διδάξει ο κύριος Τερσένοβ τις υπόλοιπες εβδομάδες), μπορείτε να διαβάζετε τα

Διανυσματικός Λογισμός των Marsden, Tromba

Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός του Apostol, (μετάφραση της πρώτης έκδοσης)

Calculus του Apostol, (στα αγγλικά η δεύτερη έκδοση του προηγούμενου)

Advanced Calculus του Spiegel (στα αγγλικά) με αρκετές λυμένες και άλυτες ασκήσεις.

Τα δυο τελευταία βιβλία είναι στην κλειστή συλλογή της βιβλιοθήκης.

4 Βαθμολόγηση.

Θα γίνει μόνο ένα τελικό διαγώνισμα.

5 Τελικοί βαθμοί.

Εδώ.

6 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ σε περίληψη όσα διδάσκονται στις διαλέξεις, επιπλέον θεωρία και ασκήσεις, καθώς και διάφορες ανακοινώσεις (αλλαγές ώρας, έκτακτα μαθήματα κλπ). Ειδικώτερα, κάθε εβδομάδα θα αναρτώ ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden, Tromba και από το αγγλικό Calculus του Apostol και, μετά από λίγες μέρες, και τις λύσεις τους. Επομένως, θα πρέπει να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο τουλάχιστον δυο φορές κάθε εβδομάδα.

6.1 Δευτέρα, 14-2-2011.

Ο ευκλείδειος χώρος $\mathbf{R}^n$.

Τα στοιχεία του $\mathbf{R}^n$: $(x_1,\ldots,x_n)$. Για τον $\mathbf{R}^2$: $(x_1,x_2)$ ή $(x,y)$. Για τον $\mathbf{R}^3$: $(x_1,x_2,x_3)$ ή $(x,y,z)$.

Η κανονική βάση του $\mathbf{R}^n$:

$$\mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0),\quad \mathbf{e}_2=(0,1,0,\ldots,0),\quad \ldots\ldots\quad,\quad \mathbf{e}_n=(0,\ldots,0,1)$$

οπότε

$$(x_1,\ldots,x_n)=x_1\mathbf{e}_1+\cdots+x_n\mathbf{e}_n .$$

Για τον $\mathbf{R}^2$: $\mathbf{i}=\mathbf{e}_1=(1,0)$ και $\mathbf{j}=\mathbf{e}_2=(0,1)$, οπότε $(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}$.
Για τον $\mathbf{R}^3$: $\mathbf{i}=\mathbf{e}_1=(1,0,0)$, $\mathbf{j}=\mathbf{e}_2=(0,1,0)$ και $\mathbf{k}=\mathbf{e}_3=(0,0,1)$, οπότε $(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$.

Εσωτερικό γινόμενο: αν $\mathbf{a}=(x_1,\ldots,x_n), \mathbf{b}=(y_1,\ldots,y_n)$, τότε ορίζεται

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1y_1+\cdots+x_ny_n .$$

Μήκος: αν $\mathbf{a}=(x_1,\ldots,x_n)$, τότε ορίζεται

$$\Vert\mathbf{a}\Vert=\sqrt{x_1{}^2+\cdots+x_n{}^2} .$$

Ανισότητα Cauchy - Schwartz: για κάθε $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ στον $\mathbf{R}^n$ ισχύει

$$\vert\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\vert\leq\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert.$$

Η γωνία $\theta$ των $\mathbf{a}$ και $\mathbf{b}$ (όπου $\mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ και $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$) ορίζεται από τις σχέσεις:

$$\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert} ,\qquad 0\leq\theta\leq\pi.$$

Εξωτερικό γινόμενο (μόνο για τον $\mathbf{R}^3$): αν $\mathbf{a}=(x,y,z)$ και $\mathbf{b}=(x',y',z')$, τότε ορίζεται

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j}... ...' \end{vmatrix}=(yz'-zy')\mathbf{i}-(xz'-zx')\mathbf{j}+(xy'-yx')\mathbf{k} .$$

Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\Vert\mathbf{a}\Vert^2\geq 0,\quad \mat... ...thbf{c})=\lambda (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})+\mu (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}).$$

Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου:

$$\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0},\quad \mathbf{a}\times\math... ...bf{c})=\lambda (\mathbf{a}\times\mathbf{b})+\mu (\mathbf{a}\times\mathbf{c}).$$

Είναι: $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$, $\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}$ και $\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$.

Οι παρακάτω τρεις ιδιότητες καθορίζουν το $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$.

$(i)$ Το $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ είναι ορθογώνιο προς τα $\mathbf{a}$ και $\mathbf{b}$. Δηλαδή $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0$ και $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0$.

$(ii)$ Το μήκος του $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ είναι

$$\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert=\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert\sin\theta,$$

όπου $\theta$ η γωνία των $\mathbf{a}$ και $\mathbf{b}$. (Αν $\mathbf{a}=\mathbf{0}$ ή $\mathbf{b}=\mathbf{0}$, τότε $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$.)

$(iii)$ Αν τα $\mathbf{a}$ και $\mathbf{b}$ δεν είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου, τότε οι τριάδες

$$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b})\qquad (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$$

έχουν τον ίδιο προσανατολισμό, δηλαδή τον προσανατολισμό της τριάδας (αντίχειρας, δείκτης, μέσος) του δεξιού χεριού, όταν τα τρία δάχτυλα είναι ορθογώνια μεταξύ τους.

Διανυσματικές συναρτήσεις.

Έστω διανυσματική συνάρτηση $\mathbf{f} : I\to\mathbf{R}^n$ όπου $I$ είναι κάποιο διάστημα του $\mathbf{R}$ και

$$\mathbf{f}(t)=(f_1(t),\ldots,f_n(t)),\qquad t\in I$$

όποτε κάθε $f_k : I\to\mathbf{R}$ είναι αριθμητική (δηλαδή πραγματική) συνάρτηση.

Ισχύει

$$\lim_{t\to t_0}\mathbf{f}(t)=\big(\lim_{t\to t_0}f_1(t),\ldots,\lim_{t\to t_0}f_n(t)\big).$$

Η $\mathbf{f}$ είναι συνεχής αν και μόνο αν οι $f_1,\ldots,f_n$ είναι συνεχείς. Η $\mathbf{f}$ είναι παραγωγίσιμη αν και μόνο αν οι $f_1,\ldots,f_n$ είναι παραγωγίσιμες και ισχύει

$$\mathbf{f}'(t)=(f_1{}'(t),\ldots,f_n{}'(t)).$$

Τέλος, η $\mathbf{f}$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ αν και μόνο αν οι $f_1,\ldots,f_n$ είναι ολοκληρώσιμες στο $[a,b]$ και ισχύει

$$\int_a^b \mathbf{f}(t) dt=\Big(\int_a^bf_1(t) dt,\ldots,\int_a^bf_n(t) dt\Big).$$

Αν $h : I\to\mathbf{R}$ είναι αριθμητική συνάρτηση και $\mathbf{f} : I\to\mathbf{R}^n$ είναι διανυσματική συνάρτηση, ορίζουμε

$$(h\mathbf{f})(t)=h(t)\mathbf{f}(t)=(h(t)f_1(t),\ldots,h(t)f_n(t)).$$

Αν $\mathbf{f},\mathbf{g} : I\to\mathbf{R}^n$ είναι διανυσματικές συναρτήσεις, ορίζουμε

$$(\mathbf{f}+\mathbf{g})(t)=\mathbf{f}(t)+\mathbf{g}(t)=(f_1(t)+g_1(t),\ldots,f_n(t)+g_n(t))$$

$$(\mathbf{f}\cdot\mathbf{g})(t)=\mathbf{f}(t)\cdot\mathbf{g}(t)=f_1(t)g_1(t)+\cdots+f_n(t)g_n(t)$$

και, μόνο για $n=3$,

$$(\mathbf{f}\times\mathbf{g})(t)=\mathbf{f}(t)\times\mathbf{g}(t).$$

Οι $\mathbf{f}+\mathbf{g}$, $\mathbf{f}\times\mathbf{g}$ και $h\mathbf{f}$ είναι διανυσματικές συναρτήσεις ενώ η $\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}$ είναι αριθμητική συνάρτηση.

Αν οι $\mathbf{f}, \mathbf{g}, h$ είναι συνεχείς ή παραγωγίσιμες το ίδιο ισχύει και για τις $\mathbf{f}+\mathbf{g}$, $\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}$, $h\mathbf{f}$ και $\mathbf{f}\times\mathbf{g}$ και

$$(\mathbf{f}+\mathbf{g})'=\mathbf{f}'+\mathbf{g}' ,\quad (\mathbf... ...f}\times\mathbf{g})'=\mathbf{f}'\times\mathbf{g}+\mathbf{f}\times\mathbf{g}' .$$

Τέλος, είναι

$$\int_a^b(\mathbf{f}(t)+\mathbf{g}(t)) dt=\int_a^b\mathbf{f}(t) dt+\int_a^b\mathbf{g}(t) dt$$

$$\int_a^b\mathbf{f}(t) dt+\int_b^c\mathbf{f}(t) dt=\int_a^c\mathbf{f}(t) dt$$

$$\int_a^b\mathbf{c}\cdot\mathbf{f}(t) dt=\mathbf{c}\cdot\int_a^b\mathbf{f}(t) dt$$

$$\Big\Vert\int_a^b\mathbf{f}(t) dt\Big\Vert\leq\int_a^b\Vert\mathbf{f}(t)\Vert dt.$$

6.2 Τετάρτη, 16-2-2011.

Καμπύλες στον $\mathbf{R}^n$.

Έστω

$$\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$$

μια διανυσματική συνάρτηση συνεχής στο διάστημα $[a,b]$. Γράφουμε

$$\mathbf{r}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))=x_1(t)\mathbf{e}_1+\cdots+x_n(t)\mathbf{e}_n .$$

Αν $n=2$, γράφουμε $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$ και, αν $n=3$, γράφουμε $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$.

Το $[a,b]$ ονομάζεται παραμετρικό διάστημα και η μεταβλητή $t$ ονομάζεται παράμετρος ή παραμετρική μεταβλητή. Η διανυσματική συνάρτηση ονομάζεται παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης $C$ στον $\mathbf{R}^n$. Τα σημεία $\mathbf{r}(a)$ και $\mathbf{r}(b)$ του $\mathbf{R}^n$ ονομάζονται άκρα της καμπύλης $C$. Το σύνολο $\mathbf{r}([a,b])=\{\mathbf{r}(t) \vert t\in[a,b]\}$ ονομάζεται τροχιά της καμπύλης $C$ και είναι υποσύνολο του $\mathbf{R}^n$.

Λέμε ότι το σημείο $\mathbf{r}(t)$ διαγράφει ή περιγράφει την καμπύλη $C$ και ότι ορίζει έναν προσανατολισμό ή μια κατεύθυνση στην $C$ από το άκρο $\mathbf{r}(a)$ προς το άκρο $\mathbf{r}(b)$ καθώς το $t$ διατρέχει το $[a,b]$ από το $a$ προς το $b$.

Παραδείγματα: $(1)$ Ευθύγραμμο τμήμα στον $\mathbf{R}^n$. Έστω $\mathbf{u}\neq\mathbf{0}$ και $\mathbf{v}$. Ορίζουμε $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{r}^n$ με τύπο

$$\mathbf{r}(t)=t\mathbf{u}+\mathbf{v}.$$

Η τροχιά της καμπύλης που ορίζεται από την $\mathbf{r}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα $\mathbf{A}=\mathbf{r}(a)$ και $\mathbf{B}=\mathbf{r}(b)$ το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο $\mathbf{v}$ και είναι παράλληλη με το $\mathbf{u}$.

$(2)$ Κύκλος στον $\mathbf{R}^2$. Έστω $R>0$ και $(x_0,y_0)$ στον $\mathbf{R}^2$. Ορίζουμε $\mathbf{r} : [0,2\pi]\to\mathbf{R}^2$ με τύπο

$$\mathbf{r}(t)=(R\cos t+x_0,R\sin t+y_0).$$

Η τροχιά της καμπύλης που ορίζεται από την $\mathbf{r}$ είναι ο κύκλος ακτίνας $R$ και κέντρου $(x_0,y_0)$ με άκρα που ταυτίζονται: $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi)=(x_0+R,y_0)$. Το $\mathbf{r}(t)$ διαγράφει τον κύκλο αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού. Αυτή ορίζεται ως η θετική φορά διαγραφής του κύκλου.

$(3)$ Έλικα στον $\mathbf{R}^3$. Έστω $R>0$, $\kappa\neq 0$ και $(x_0,y_0,z_0)$ στον $\mathbf{R}^3$. Ορίζουμε $\mathbf{r} : [0,2\pi]\to\mathbf{R}^3$ με τύπο

$$\mathbf{r}(t)=(R\cos t+x_0,R\sin t+y_0,\kappa t+z_0).$$

Όταν το $t$ διατρέχει το $[0,2\pi]$ η προβολή του $\mathbf{r}(t)$ στο $xy$-επίπεδο, δηλαδή το $(R\cos t+x_0,R\sin t+y_0,0)$, διαγράφει πάνω σ' αυτό το επίπεδο τον κύκλο ακτίνας $R$ και κέντρου $(x_0,y_0,0)$ με την θετική φορά. Άρα η τροχιά της καμπύλης που ορίζεται από την $\mathbf{r}$ βρίσκεται πάνω στον κύλινδρο που είναι κάθετος στο $xy$-επίπεδο και τέμνει το επίπεδο αυτό στον προηγούμενο κύκλο. Όταν, λοιπόν, το $t$ διατρέχει το $[0,2\pi]$ το $\mathbf{r}(t)$ κάνει μια πλήρη περιστροφή πάνω στον κύλινδρο και συγχρόνως κινείται κατακόρυφα (προς τα πανω, αν $\kappa>0$, ή προς τα κάτω, αν $\kappa<0$) ώστε τα άκρα $\mathbf{r}(a)$ και $\mathbf{r}(b)$ να είναι στην ίδια κατακόρυφη ευθεία και να απέχουν κατακόρυφη απόσταση $\vert\kappa\vert 2\pi$.

Αν $\mathbf{r}(a)\neq\mathbf{r}(b)$, τότε η καμπύλη με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$ ονομάζεται ανοικτή καμπύλη. Ενώ, αν $\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$, τότε η καμπύλη ονομάζεται κλειστή καμπύλη.

Η καμπύλη ονομάζεται απλή αν η μόνη περίπτωση να ισχύει $\mathbf{r}(t_1)=\mathbf{r}(t_2)$ με $a\leq t_1<t_2\leq b$ είναι η: $t_1=a$, $t_2=b$. Οι απλές καμπύλες διακρίνονται σε απλές ανοικτές καμπύλες (όπως ένα ευθύγραμμο τμήμα ή μια έλικα) και σε απλές κλειστές καμπύλες (όπως ένας κύκλος). Μια απλή κλειστή καμπύλη στον $\mathbf{R}^2$ ονομάζεται και καμπύλη Jordan.

Όπως είπαμε, η παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$ μιας καμπύλης είναι πάντοτε συνεχής στο $[a,b]$. Η καμπύλη ονομάζεται παραγωγίσιμη αν η $\mathbf{r}$ είναι παραγωγίσιμη στο $[a,b]$. Στα άκρα η παράγωγος έχει την έννοια της αντίστοιχης πλευρικής παραγώγου: $\mathbf{r}'(a)=\mathbf{r}_+'(a)$ και $\mathbf{r}'(b)=\mathbf{r}_-'(b)$. Στα εσωτερικά σημεία η παράγωγος ταυτίζεται με τις δυο πλευρικές παραγώγους: $\mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}_+'(t)=\mathbf{r}_-'(t)$ αν $a<t<b$.

Αν, επιπλέον, η παράγωγος $\mathbf{r}'$ είναι συνεχής στο $[a,b]$ και αν ισχύει $\mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}$ για κάθε $t\in[a,b]$, τότε η καμπύλη ονομάζεται ομαλή.

Το διάνυσμα που έχει αρχή το σημείο $\mathbf{r}(t)$ και είναι παράλληλο στο διάνυσμα $\mathbf{r}'(t)$ είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στην τροχιά της καμπύλης στο σημείο $\mathbf{r}(t)$. Άρα η ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση

$$\mathbf{r}(t)+h\mathbf{r}'(t),\qquad -\infty<h<+\infty$$

είναι η εφαπτόμενη ευθεία στην τροχιά της καμπύλης στο σημείο $\mathbf{r}(t)$. Το ότι ορίζεται εφαπτόμενη ευθεία προκύπτει από το $\mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}$ όταν η καμπύλη είναι ομαλή. Επίσης, επειδή η $\mathbf{r}'$ (και η $\mathbf{r}$) είναι συνεχής, όταν το $t$ διατρέχει το $[a,b]$ το εφαπτόμενο διάνυσμα μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο.

Τέλος, τα εφαπτόμενα διανύσματα της καμπύλης τα οποία ορίζονται από την παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$ έχουν φορά ίδια με τον προσανατολισμό που ορίζεται από την $\mathbf{r}$. Με άλλα λόγια, η φορά των διανυσμάτων $\mathbf{r}'(t)$ ταυτίζεται με τη φορά κίνησης του $\mathbf{r}(t)$ πάνω στην τροχιά της καμπύλης.

Αν η παράμετρος $t$ εκφράζει "χρόνο", τότε το $\mathbf{r}'(t)=\frac{\mathbf{dr}}{dt}(t)$ εκφράζει την διανυσματική ταχύτητα του κινητού σημείου $\mathbf{r}(t)$ και το μήκος $\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert$ εκφράζει την αριθμητική ταχύτητά του. Η δεύτερη παράγωγος $\mathbf{r}''(t)$ εκφράζει την διανυσματική επιτάχυνση.

Η καμπύλη ονομάζεται κατά τμήματα ομαλή αν είτε είναι ομαλή - δηλαδή η $\mathbf{r}$ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ και $\mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}$ για κάθε $t\in[a,b]$ - είτε υπάρχουν $t_0=a<t_1<\ldots<t_{m-1}<t_m=b$ ώστε η $\mathbf{r}$ να έχει τις ίδιες ιδιότητες όταν περιοριστεί σε κάθε υποδιάστημα $[t_{k-1},t_k]$. Δηλαδή, η μόνη γενίκευση είναι στο ότι η $\mathbf{r}$ μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη στα διαιρετικά σημεία $t_k$, όπου όμως πρέπει να υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι $\mathbf{r}_-'(t_k)$ και $\mathbf{r}_+'(t_k)$ (και δεν θα είναι ίσες).

Στα σημεία $\mathbf{r}(t_k)$ μπορεί να μην ορίζεται εφαπτόμενη ευθεία, αλλά ορίζονται δυο εφαπτόμενες ημιευθείες με κορυφή το ίδιο σημείο, μια προς την κατεύθυνση κίνησης του $\mathbf{r}(t)$ και μια προς την αντίθετη κατεύθυνση. Οι ημιευθείες αυτές μπορεί να σχηματίζουν γωνία $\neq\pi$. Σε κάθε άλλο σημείο $\mathbf{r}(t)$ οι δυο εφαπτόμενες ημιευθείες είναι ακριβώς αντίθετες (δηλαδή σχηματίζουν γωνία $=\pi$) και ορίζουν την εφαπτόμενη ευθεία. Επειδή η $\mathbf{r}$ είναι συνεχής το σημείο $\mathbf{r}(t)$ (η αρχή του εφαπτόμενου διανύσματος) μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο. Το ίδιο το εφαπτόμενο διάνυσμα μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο, μόνο που η κατεύθυνσή του ή το μήκος του μπορεί να υφίστανται άλματα κατά τη διέλευση από τα σημεία $\mathbf{r}(t_k)$.

Στο μάθημα αυτό οι καμπύλες που θα εξετάζουμε θα είναι όλες ομαλές ή κατά τμήματα ομαλές.

Έστω

$$\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$$

η παραμετρική αναπαράσταση μιας κατά τμήματα ομαλής καμπύλης $C$. Θεωρούμε μια συνάρτηση

$$h : [c,d]\to[a,b]$$

η οποία είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $[a,b]$ και απεικονίζει το $[c,d]$ επί του $[a,b]$. Επίσης, υποθέτουμε ότι η $h$ είναι κατά τμήματα συνεχώς παραγωγίσιμη στο $[c,d]$ και ότι ισχύει $h'(t)\neq 0$ για κάθε $t\in[c,d]$ (και στα σημεία στα οποία δεν ορίζεται η $h'(t)$ υποθέτουμε ότι $h_-'(t)\neq 0$ και $h_+'(t)\neq 0$).

Τώρα θεωρούμε τη σύνθεση

$$\mathbf{\rho}=\mathbf{r}\circ h : [c,d]\to\mathbf{R}^n .$$

Αυτή είναι συνεχής και κατά τμήματα συνεχώς παραγωγίσιμη στο $[c,d]$ και ισχύει

$$\mathbf{\rho}'(s)=h'(s)\mathbf{r}'(h(s)),\qquad s\in[c,d].$$

Επομένως, ισχύει $\mathbf{\rho}'(s)\neq\mathbf{0}$, οπότε η καμπύλη που ορίζεται από την $\rho$ είναι κατά τμήματα ομαλή.

Έστω ότι η $h$ είναι γνησίως αύξουσα. Τότε, αν το $s$ διατρέχει το $[c,d]$ από το $c$ προς το $d$, το $t=h(s)$ διατρέχει το $[a,b]$ από το $a$ προς το $b$, οπότε το $\mathbf{\rho}(s)=\mathbf{r}(h(s))=\mathbf{r}(t)$ διατρέχει την καμπύλη $C$ από το $\mathbf{\rho}(c)=\mathbf{r}(a)$ προς το $\mathbf{\rho}(d)=\mathbf{r}(b)$. Άρα η $\mathbf{\rho}$ είναι παραμετρική αναπαράσταση της ίδιας καμπύλης $C$. Στο σημείο $\mathbf{\rho}(s)=\mathbf{r}(t)$ τα εφαπτόμενα διανύσματα με τις δυο παραμετρικές αναπαραστάσεις συνδέονται, όπως είδαμε, με την σχέση $\mathbf{\rho}'(s)=h'(s)\mathbf{r}'(t)$ και, επειδή $h'(s)>0$, έχουν την ίδια φορά. Υπάρχει μόνο αλλαγή μήκους κατά τον παράγοντα $h'(s)$.

Έστω ότι η $h$ είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε, αν το $s$ διατρέχει το $[c,d]$ από το $c$ προς το $d$, το $t=h(s)$ διατρέχει το $[a,b]$ από το $b$ προς το $a$, οπότε το $\mathbf{\rho}(s)=\mathbf{r}(h(s))=\mathbf{r}(t)$ διατρέχει την καμπύλη $C$ από το $\mathbf{\rho}(c)=\mathbf{r}(b)$ προς το $\mathbf{\rho}(d)=\mathbf{r}(a)$. Άρα η $\mathbf{\rho}$ είναι παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης η οποία ονομάζεται αντίθετη της $C$ και συμβολίζεται $-C$. Στο σημείο $\mathbf{\rho}(s)=\mathbf{r}(t)$ τα εφαπτόμενα διανύσματα με τις δυο παραμετρικές αναπαραστάσεις συνδέονται πάλι με την σχέση $\mathbf{\rho}'(s)=h'(s)\mathbf{r}'(t)$ και, επειδή $h'(s)<0$, έχουν αντίθετη φορά. Υπάρχει και αλλαγή μήκους κατά τον παράγοντα $\vert h'(s)\vert$.

Σε κάθε περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση $h$ είναι μια αλλαγή παραμέτρου της καμπύλης $C$ (από $t\in[a,b]$ σε $s\in[c,d]$) και ότι η $\mathbf{\rho}$ είναι μια αναπαραμετρικοποίηση της καμπύλης. Αν η $h$ είναι γνησίως αύξουσα, η $\mathbf{\rho}$ διατηρεί τον προσανατολισμό της καμπύλης και είναι παραμετρική αναπαράσταση της ίδιας καμπύλης $C$. Αν η $h$ είναι γνησίως φθίνουσα, η $\mathbf{\rho}$ αντιστρέφει τον προσανατολισμό της καμπύλης και είναι παραμετρική αναπαράσταση της αντίθετης καμπύλης $-C$.

Παράδειγμα: Μπορούμε να κάνουμε μια πολύ απλή γραμμική αλλαγή παραμέτρου $h : [c,d]\to[a,b]$ ανάμεσα σε οποιαδήποτε δοσμένα διαστήματα. Θεωρούμε

$$t=h(s)=\kappa s+\lambda$$

και υπολογίζουμε τους συντελεστές $\kappa, \lambda$. Αν θέλουμε η $h$ να είναι γνησίως αύξουσα, λύνουμε το σύστημα $\kappa c+\lambda=a, \kappa d+\lambda=b$ και, αν θέλουμε η $h$ να είναι γνησίως φθίνουσα, λύνουμε το σύστημα $\kappa c+\lambda=b, \kappa d+\lambda=a$.

Γι αυτό μπορούμε κάθε φορά να υποθέτουμε ότι η οποιαδήποτε καμπύλη την οποία εξετάζουμε έχει ως παραμετρικό διάστημα οποιοδήποτε διάστημα επιθυμούμε (εκτός αν για κάποιον ανεξάρτητο λόγο είμαστε υποχρεωμένοι να χρησιμοποιήσουμε κάποιο συγκεκριμένο διάστημα).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για κάποιες ασκήσεις.

6.3 Δευτέρα, 21-2-2011.

Κατ' αρχάς θεωρήσαμε την καμπύλη με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r}(t)=t\mathbf{A}+\mathbf{B}$ όπου $\mathbf{A}\neq\mathbf{0}$ και το $t$ διατρέχει ένα διάστημα $[a,b]$. Η τροχιά της καμπύλης είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με άκρα $\mathbf{r}(a)$ και $\mathbf{r}(b)$ και το μήκος της είναι

$$\Vert\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)\Vert=\Vert(b\mathbf{A}+\mathbf{B... ...t(b-a)\mathbf{A}\Vert=\Vert\mathbf{A}\Vert(b-a)=\Vert\mathbf{r}'(\xi)\Vert(b-a)$$

όπου $\xi$ είναι οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $t\in[a,b]$, αφού η $\mathbf{r}'(t)$ είναι σταθερή $\mathbf{A}$ στο διάστημα $[a,b]$.

Με βάση το προηγούμενο και χωρίζοντας το $[a,b]$ σε πολύ μικρά υποδιαστήματα στα οποία η $\mathbf{r}'$ είναι περίπου σταθερή και χρησιμοποιώντας κατάλληλα αθροίσματα Riemann, αποδείξαμε ότι το μήκος της τροχιάς οποιασδήποτε καμπύλης $C$ με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$ είναι ίσο με

$$l_{\mathbf{r}}(a,b)=\int_a^b\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert dt.$$

Για παράδειγμα, επιβεβαιώνουμε ότι το μήκος του κύκλου ακτίνας $r>0$ με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r}(t)=(r\cos t+x_0,r\sin t+y_0)$ $(0\leq t\leq 2\pi)$ (οπότε $\mathbf{r}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ και $\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert=r$) είναι ίσο με $\int_0^{2\pi}r dt=2\pi r$.

Ορίσαμε την συνάρτηση

$$s=l(t):=l_{\mathbf{r}}(a,t)=\int_a^t\Vert\mathbf{r}'(\tau)\Vert d\tau.$$

Είναι

$$l : [a,b]\to[0,L],$$

όπου $l(a)=0$ και $L=l(b)=l_{\mathbf{r}}(a,b)$ είναι το μήκος της τροχιάς της $C$. Η $l$ είναι γνησίως αύξουσα και απεικονίζει το $[a,b]$ επί του $[0,L]$. Επίσης, είναι

$$l'(t)=\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert>0$$

για κάθε $t\in[a,b]$. Άρα ορίζεται η

$$l^{-1} : [0,L]\to[a,b]$$

η οποία είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει την αλλαγή παραμέτρου

$$t=l^{-1}(s).$$

Η νέα παράμετρος είναι η $s$, δηλαδή το μήκος πάνω στην τροχιά της καμπύλης. Έτσι ορίζεται η αναπαραμετρικοποίηση της $C$ με παραμετρική αναπαράσταση

$$\mathbf{\rho}=\mathbf{r}\circ l^{-1} : [0,L]\to\mathbf{R}^n$$

για την οποία ισχύει

$$\mathbf{\rho}'(s)=(l^{-1})'(s)\mathbf{r}'(l^{-1}(s))=\frac 1{l'(t)}\mathbf{r}'(t)=\frac 1{\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert}\mathbf{r}'(t)$$

οπότε

$$\Vert\mathbf{\rho}'(s)\Vert=1.$$

Άρα όταν παραμετρικοποιούμε μια καμπύλη με παράμετρο το μήκος, τότε τα εφαπτόμενα διανύσματα έχουν σταθερό μήκος 1.

Τέλος, ορίσαμε το άθροισμα διαδοχικών καμπυλών. Αν $C_1$ και $C_2$ είναι δυο διαδοχικές καμπύλες με παραμετρικές αναπαραστάσεις

$$\mathbf{r_1} : [a,b]\to\mathbf{R}^n\qquad \mathbf{r_2} : [b,c]\to\mathbf{R}^n$$

όπου υποθέτουμε ότι $\mathbf{r_1}(b)=\mathbf{r_2}(b)$ (αυτό σημαίνει: διαδοχικές), τότε ορίζουμε

$$\mathbf{r}(t)=\begin{cases}\mathbf{r_1}(t), &t\in[a,b], \mathbf{r_2}(t), & t\in[b,c].\end{cases}$$

Η $\mathbf{r} : [a,c]\to\mathbf{R}^n$ είναι παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης που ονομάζεται άθροισμα των $C_1$ και $C_2$ (με αυτήν την σειρά) και συμβολίζεται $C_1+C_2$.

Αποδείξαμε ότι το μήκος της $C_1+C_2$ είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των $C_1$ και $C_2$.

6.4 Τετάρτη, 23-2-2011.

Αποδείξαμε ότι το μήκος μιας καμπύλης παραμένει αμετάβλητο από οποιαδήποτε αναπαραμετρικοποίηση της καμπύλης (είτε αυτή διατηρεί τον προσανατολισμό είτε τον αντιστρέφει). Δηλαδή, αν $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$ και $\mathbf{\rho} : [c,d]\to\mathbf{R}^n$ είναι δυο παραμετρικές αναπαραστάσεις είτε της ίδιας καμπύλης $C$ είτε δυο αντίθετων καμπυλών $C$ και $-C$, τότε

$$\int_a^b\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert dt=\int_c^d\Vert\mathbf{\rho}'(s)\Vert ds.$$

Αριθμητικά και διανυσματικά πεδία.

Έστω $A\subseteq\mathbf{R}^n$. Οποιαδήποτε αριθμητική (δηλαδή πραγματική) συνάρτηση

$$f : A\to\mathbf{R}$$

ονομάζεται αριθμητικό πεδίο στο υποσύνολο $A$ του $\mathbf{R}^n$. Σε κάθε σημείο $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in A$ αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός $f(x_1,\ldots,x_n)$.

Παραδείγματα: πεδία θερμοκρασιών, πεδία δυναμικού, πεδία πιέσεων κλπ.

Ορίζουμε για $\mathbf{x}\in A$ την κλίση του αριθμητικού πεδίου στο σημείο $\mathbf{x}$ ως

$$\mathbf{\nabla}f(\mathbf{x})=\Big(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x})\Big).$$

Το διάνυσμα $\mathbf{\nabla}f(\mathbf{x})$ ορίζει την κατεύθυνση από το σημείο $\mathbf{x}$ προς την οποία η $f$ έχει μέγιστο ρυθμό μεταβολής.

Αν $\mathbf{u}$ είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, δηλαδή $\Vert\mathbf{u}\Vert=1$, τότε η κατά κατεύθυνση $\mathbf{u}$ παράγωγος της $f$ στο σημείο $\mathbf{x}$ ορίζεται ως

$$D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\lim_{h\to 0+}\frac{f(\mathbf{x}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{h}$$

και αποδεικνύεται (Απειροστικός Λογισμός ΙΙ) ότι

$$D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\mathbf{\nabla}f(\mathbf{x})\cdot\mathbf{u}=\Vert\mathbf{\nabla}f(\mathbf{x})\Vert\cos\theta$$

όπου $\theta$ είναι η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα $\mathbf{\nabla}f(\mathbf{x})$ και $\mathbf{u}$.

Έστω $A\subseteq\mathbf{R}^n$. Οποιαδήποτε διανυσματική συνάρτηση

$$\mathbf{f} : A\to\mathbf{R}^n$$

ονομάζεται διανυσματικό πεδίο στο υποσύνολο $A$ του $\mathbf{R}^n$. Σε κάθε σημείο $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in A$ αντιστοιχεί ένα διάνυσμα $\mathbf{f}(x_1,\ldots,x_n)=(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_n(\mathbf{x}))$.

Παράδειγμα: πεδία δυνάμεων.

Ορίζουμε για $\mathbf{x}\in A$ την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου $\mathbf{f}=(f_1,\ldots,f_n)$ στο σημείο $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ ως

div$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{x})+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n}(\mathbf{x}) .$$

Θα μάθουμε αργότερα για την φυσική σημασία της απόκλισης.

Προς το παρόν, για κάθε αριθμητικό πεδίο $f$ αποδείξαμε τον τύπο

div$$(\mathbf{\nabla}f)(\mathbf{x})=\frac{\partial^2f}{\partial x_1{}^... ...\cdots+\frac{\partial^2f}{\partial x_n{}^2}(\mathbf{x})=\Delta f({}\mathbf{x})$$

η Λαπλασιανή της $f$ στο σημείο $\mathbf{x}$.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων.

Έστω $\mathbf{f}$ ένα διανυσματικό πεδίο σε κάποιο $A\subseteq\mathbf{R}^n$ και μια καμπύλη $C$ η τροχιά της οποίας περιέχεται στο $A$. Δηλαδή, αν $\mathbf{r}$ είναι οποιαδήποτε παραμετρική αναπαράσταση της $C$, τότε

$$\mathbf{r} : [a,b]\to A.$$

Τότε ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου $\mathbf{f}$ κατά μήκος της $C$ ως

$$\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{f}(\mathbf{r}(... ...^b\big(f_1(\mathbf{r}(t))x_1{}'(t)+\cdots+f_n(\mathbf{r}(t))x_n{}'(t)\big) dt.$$

όπου $\mathbf{f}(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_n(\mathbf{x}))$ και $\mathbf{r}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$.

Μερικές φορές το παραπάνω επικαμπύλιο ολοκλήρωμα το συμβολίζουμε

$$\int_Cf_1(x_1,\ldots,x_n) dx_1+\cdots+f_n(x_1,\ldots,x_n) dx_n.$$

(Για τον υπολογισμό θα αντικαταστήσουμε κάθε $x_k$ με το αντίστοιχο $x_k(t)$ του $\mathbf{r}(t)$ και κάθε $dx_k$ με το $x_k{}'(t) dt$.)

Ειδικώτερα, αν $n=2$ ή $n=3$, γράφουμε

$$\int_Cf_1(x,y) dx+f_2(x,y) dy\qquad \int_Cf_1(x,y,z) dx+f_2(x,y,z) dy+f_3(x,y,z) dz.$$

(Για τον υπολογισμό αντικαθιστούμε τα $x, y, z$ με τα αντίστοιχα $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ του $\mathbf{r}(t)$ και τα $dx, dy, dz$ με τα αντίστοιχα $x'(t) dt$, $y'(t) dt$, $z'(t) dt$.)

Υπολογίσαμε τα επικαμπύλια ολοκληρώματα συγκεκριμένου παραδείγματος διανυσματικού πεδίου κατά μήκος τριών συγκεκριμένων καμπυλών με κοινή αρχή και κοινό τέλος και είδαμε ότι προκύπτουν τρία διαφορετικά αποτελέσματα.

Δυο απλές ιδιότητες:

$$\int_C(\kappa\mathbf{f}+\lambda\mathbf{g})\cdot d\mathbf{r}=\kappa\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}+\lambda\int_C\mathbf{g}\cdot d\mathbf{r}$$

$$\int_{C_1+C_2}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_2}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}.$$

Αποδείξαμε ότι, αν από αναπαραμετρικοποίηση προκύπτει η ίδια καμπύλη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δεν αλλάζει ενώ, αν από αναπαραμετρικοποίηση προκύπτει η αντίθετη καμπύλη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αλλάζει πρόσημο. Δηλαδή

$$\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{\rho}=\int_C\mathbf{f}\cdot d\math... ...uad \int_{-C}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{\rho}=-\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}.$$

Τέλος, αφού είδαμε ποιο είναι το έργο που παράγει ένα σταθερό πεδίο δυνάμεων κατά μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος, αποδείξαμε με κατάλληλη θεώρηση αθροισμάτων Riemann ότι το έργο που παράγει ένα οποιοδήποτε πεδίο δυνάμεων $\mathbf{f}$ μετακινώντας το σημείο $\mathbf{r}$ πάνω σε μια καμπύλη $C$ (με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : [a,b]\to\mathbf{R}^n$) είναι ίσο με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

έργο της$$\mathbf{f}$$   για την μετακίνηση του$$\mathbf{r}$$   πάνω στην$$C =\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}.$$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ τις λύσεις των ασκήσεων του φυλλαδίου 1 που είχα αναρτήσει την Τετάρτη, 16-2-2011. Επίσης, δείτε εδώ για το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων και εδώ για τις λύσεις του δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.

6.5 Δευτέρα, 28-2-2011.

Εφαρμογή: αποδείξαμε την Αρχή έργου - κινητικής ενέργειας: Ένα σώμα κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων (πάνω σε μια καμπύλη). Τότε το έργο που παράγεται από το πεδίο είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα αριθμητικών πεδίων.

Έστω $f$ ένα αριθμητικό πεδίο σε κάποιο $A\subseteq\mathbf{R}^n$ και μια καμπύλη $C$ η τροχιά της οποίας περιέχεται στο $A$. Δηλαδή, αν $\mathbf{r}$ είναι οποιαδήποτε παραμετρική αναπαράσταση της $C$, τότε

$$\mathbf{r} : [a,b]\to A.$$

Τότε ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου $f$ κατά μήκος της $C$ ως

$$\int_Cf ds=\int_a^bf(\mathbf{r}(t))\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert dt=\int_a^bf(\mathbf{r}(t))\sqrt{(x_1{}'(t))^2+\cdots+(x_n{}'(t))^2} dt.$$

όπου $\mathbf{r}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$.

Υπενθυμίσαμε την σχέση $ds=s'(t) dt=\Vert\mathbf{r}'(t)\Vert dt$ η οποία ενυπάρχει στον προηγούμενο τύπο.

Αναφέραμε τις ιδιότητες

$$\int_C(\kappa f+\lambda g) ds=\kappa\int_Cf ds+\lambda\int_Cg ds$$

$$\int_{C_1+C_2}f ds=\int_{C_1}f ds+\int_{C_2}f ds.$$

Αν από αναπαραμετρικοποίηση προκύπτει η ίδια ή η αντίθετη καμπύλη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δεν αλλάζει:

$$\int_{-C}f ds=\int_Cf ds.$$

Συντηρητικά πεδία και πεδία δυναμικού.

Αποδείξαμε το εξής: Αν $\mathbf{f}$ και $\phi$ είναι ένα διανυσματικό και ένα αριθμητικό πεδίο σε κάποιο σύνολο $A\subseteq\mathbf{R}^n$ και συνδέονται με την σχέση

$$\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$$

για κάθε $\mathbf{x}\in A$ και αν η τροχιά της καμπύλης $C$ (με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r}$) περιέχεται στο $A$, τότε

$$\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=\phi(B)-\phi(A),$$

όπου $A$ και $B$ είναι το αρχικό και το τελικό σημείο της $C$.

Αν η $\mathbf{f}$ είναι ένα πεδίο δυνάμεων και αν η $\phi$ έχει την παραπάνω ιδιότητα $\mathbf{\nabla}\phi=\mathbf{f}$, τότε η $\phi$ ονομάζεται πεδίο δυναμικού (από το οποίο προκύπτει το πεδίο δυνάμεων $\mathbf{f}$).

Πρώτο πόρισμα: Με τις προηγούμενες υποθέσεις, η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος του πεδίου $\mathbf{f}$ πάνω σε μια καμπύλη δεν εξαρτάται από την καμπύλη αλλά μόνο από τα άκρα της καμπύλης. Με άλλα λόγια: Με τις προηγούμενες υποθέσεις, τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του πεδίου $\mathbf{f}$ πάνω σε δυο διαφορετικές καμπύλες με τα ίδια άκρα (τελικό με τελικό και αρχικό με αρχικό) έχουν την ίδια τιμή.

Δεύτερο πόρισμα: Με τις προηγούμενες υποθέσεις, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου $\mathbf{f}$ πάνω σε μια κλειστή καμπύλη έχει τιμή μηδέν.

Ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbf{R}^n$ χαρακτηρίζεται ανοικτό αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σημείο. (Συνοριακό σημείο του $A$ είναι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται "ανάμεσα" στο σύνολο $A$ και στο συμπληρωματικό του σύνολο.)

Ένα ανοικτό υποσύνολο $A$ του $\mathbf{R}^n$ χαρακτηρίζεται συνεκτικό αν κάθε δυο σημεία του $A$ μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη η τροχιά της οποίας περιέχεται στο $A$.

Ένα διανυσματικό πεδίο $\mathbf{f}$ χαρακτηρίζεται συντηρητικό σε ένα συνεκτικό σύνολο $A\subseteq\mathbf{R}^n$ αν η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος του $\mathbf{f}$ πάνω σε κάθε καμπύλη της οποίας η τροχιά περιέχεται στο $A$ εξαρτάται μόνο από τα άκρα της καμπύλης.

Βάσει των προηγουμένων, αν ένα διανυσματικό πεδίο προκύπτει από ένα πεδίο δυναμικού σε ένα συνεκτικό σύνολο, τότε το διανυσματικό πεδίο είναι συντηρητικό.

6.6 Τετάρτη, 2-3-2011.

Αποδείξαμε το εξής θεώρημα.

Θεώρημα. Έστω ανοικτό, συνεκτικό $\Omega\subseteq\mathbf{R}^n$ και διανυσματικό πεδίο $\mathbf{f} : \Omega\to\mathbf{R}^n$. Τα (α), (β), (γ) είναι ισοδύναμα:
(α) Το $\mathbf{f}$ είναι συντηρητικό στο $\Omega$.
(β) Η τιμή του επικαμπυλίου ολοκληρώματος του $\mathbf{f}$ σε κάθε κλειστή καμπύλη $C$ με τροχιά στο $\Omega$ είναι μηδέν:

$$\oint_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=0.$$

(γ) Το $\mathbf{f}$ προέρχεται από πεδίο δυναμικού στο $\Omega$. Δηλαδή υπάρχει $\phi : \Omega\to\mathbf{R}$ ώστε

$$\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$$

για κάθε $\mathbf{x}\in\Omega$.

Για την ισοδυναμία ανάμεσα στα (α), (β) χρησιμοποιήσαμε το εξής τέχνασμα: Αν $C_1$ και $C_2$ είναι καμπύλες με την ίδια αρχή και το ίδιο τέλος, τότε η καμπύλη $C=C_1+(-C_2)$ είναι κλειστή. Αν η $C$ είναι κλειστή καμπύλη με αρχή και τέλος το σημείο $A$ και αν θεωρήσουμε ένα σημείο $B\neq A$ στην τροχιά της $C$ και αν ορίσουμε $C_1$ να είναι το αρχικό κομμάτι της $C$ από το $A$ στο $B$ και $C_2$ να είναι το τελικό κομμάτι της $C$ από το $B$ στο $A$, τότε οι $C_1$ και $-C_2$ έχουν την ίδια αρχή και το ίδιο τέλος.
Το ότι το (γ) συνεπάγεται το (α) έχει ήδη αποδειχθεί. Για να αποδείξουμε ότι το (α) συνεπάγεται το (γ), κατασκευάσαμε την $\phi$ μέσω του τύπου

$$\phi(\mathbf{x})=\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}$$

για κάθε $\mathbf{x}\in\Omega$, όπου $C$ είναι οποιαδήποτε καμπύλη με τροχιά στο $\Omega$ και με αρχή ένα σταθερό (οποιοδήποτε) σημείο $A\in\Omega$ και με τέλος το σημείο $\mathbf{x}$. Παρατηρήσαμε ότι ο ορισμός του $\phi(\mathbf{x})$ είναι καλός (δηλαδή δεν εξαρτάται από την $C$ αλλά μόνο από το $\mathbf{x}$) και ότι η $\phi$ ικανοποιεί την

$$\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$$

για κάθε $\mathbf{x}\in\Omega$ ή, ισοδύναμα, τις $n$ ισότητες

$$\frac{\partial\phi}{\partial x_1}(\mathbf{x})=f_1(\mathbf{x}),\qu... ...dots\ldots\quad , \frac{\partial\phi}{\partial x_n}(\mathbf{x})=f_n(\mathbf{x})$$

για κάθε $\mathbf{x}\in\Omega$.

Αποδείξαμε ότι, αν το διανυσματικό πεδίο $\mathbf{f}=(f_1,\ldots,f_n)$ είναι συντηρητικό στο $\Omega$, τότε ως αναγκαία συνθήκη ισχύει

$$\frac{\partial f_k}{\partial x_l}=\frac{\partial f_l}{\partial x_k}$$

στο $\Omega$ για κάθε $k,l=1,\ldots,n$ με $k\neq l$.

Είδαμε και μερικά παραδείγματα.

Για το αν η παραπάνω συνθήκη είναι και ικανή θα μιλήσουμε στο επόμενο μάθημα μαζί με το θεώρημα του Green.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Και δείτε εδώ για τις λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων.

6.7 Τετάρτη, 9-3-2011.

Το θεώρημα του Green.

Αποδείξαμε το

θεώρημα του Green: Έστω ότι οι αριθμητικές συναρτήσεις $Q(x,y)$ και $P(x,y)$ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο ανοικτό, συνεκτικό σύνολο $\Omega\subseteq\mathbf{R}^2$ και έστω $C$ μια καμπύλη Jordan ώστε η τροχιά της και το εσωτερικό της να περιέχονται στο $\Omega$. Τότε:

$$\iint\limits_U\Big(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\Big) dxdy=\oint\limits_C Q dx+P dy,$$

όπου $U$ είναι το εσωτερικό της $C$ και η $C$ διαγράφεται με την θετική φορά στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα.

Η θετική φορά μιας καμπύλης Jordan είναι εκείνη με την οποία πρέπει να κινηθούμε πάνω στην καμπύλη έτσι ώστε κατά την κίνησή μας το αριστερό μας χέρι να δείχνει προς το εσωτερικό της καμπύλης.

Η απόδειξη του θεωρήματος του Green έγινε κατ' αρχάς για μια ειδική κατηγορία καμπυλών Jordan $C$: όταν προβάλουμε την $C$ κατακόρυφα στον $x$-άξονα θα βρούμε κάποιο διάστημα $[a,b]$ και θα πρέπει η κατακόρυφη ευθεία από κάθε $x\in(a,b)$ να συναντά την $C$ σε ακριβώς δυο σημεία και, επίσης, όταν προβάλουμε την $C$ οριζόντια στον $y$-άξονα θα βρούμε κάποιο διάστημα $[c,d]$ και θα πρέπει η οριζόντια ευθεία από κάθε $y\in(c,d)$ να συναντά την $C$ σε ακριβώς δυο σημεία. Κατόπιν, αποδείξαμε το θεώρημα για την γενική περίπτωση καμπύλης $C$ χωρίζοντας το εσωτερικό $U$ της $C$ με κατάλληλες βοηθητικές καμπύλες σε μικρότερα σύνολα καθένα από τα οποία έχει συνοριακή καμπύλη η οποία είναι καμπύλη Jordan της ειδικής κατηγορίας που περιγράψαμε πιο πριν και προσθέτοντας τα αποτελέσματα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων και εδώ για τις λύσεις του τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων.

6.8 Δευτέρα, 14-3-2011.

Αναλύσαμε διεξοδικά την τεχνική που χρησιμοποιήσαμε στην απόδειξη του θεωρήματος του Green. Δύο είναι οι ((αρχές)) της. Όταν χωρίζουμε ένα σύνολο $U$ σε υποσύνολα $U_1, \ldots , U_n$ έτσι ώστε τα σύνολα αυτά να είναι ανά δύο ξένα και η ένωσή τους να ισούται με το $U$, τότε (α) το διπλό ολοκλήρωμα μιας αριθμητικής συνάρτησης στο $U$ είναι ίσο με το άθροισμα των διπλών ολοκληρωμάτων της στα $U_1, \ldots , U_n$ και (β) το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης στην συνοριακή καμπύλη του $U$ είναι ίσο με το άθροισμα των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων της συνάρτησης στις συνοριακές καμπύλες των $U_1, \ldots , U_n$ (όταν όλες οι συνοριακές καμπύλες διαγράφονται με την θετική φορά τους). Το (β) ισχύει διότι τα κοινά μέρη των διάφορων συνοριακών καμπυλών των $U_1, \ldots , U_n$ διαγράφονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, οπότε τα αντίστοιχα ολοκληρώματα αλληλοακυρώνονται, ενώ τα μη κοινά μέρη τους απαρτίζουν την συνοριακή καμπύλη του $U$.

Την τεχνική αυτή την χρησιμοποιήσαμε και παρακάτω.

Ένα σύνολο $\Omega\subseteq\mathbf{R}^2$ το οποίο είναι ανοικτό (δηλαδή δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σημείο) και συνεκτικό (δηλαδή για οποιαδήποτε δυο σημεία του υπάρχει κατάλληλη καμπύλη η οποία τα ενώνει και η τροχιά της οποίας περιέχεται στο $\Omega$) χαρακτηρίζεται απλά συνεκτικό αν για κάθε καμπύλη Jordan $C$ η τροχιά της οποίας περιέχεται στο $\Omega$ συνεπάγεται ότι και το εσωτερικό της $C$ περιέχεται στο $\Omega$.

Αποδείξαμε την εξής παραλλαγή του θεωρήματος του Green για απλά συνεκτικά σύνολα.

θεώρημα του Green για απλά συνεκτικά σύνολα: Έστω ότι οι αριθμητικές συναρτήσεις $Q(x,y)$ και $P(x,y)$ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο απλά συνεκτικό σύνολο $\Omega\subseteq\mathbf{R}^2$ και έστω $C$ μια καμπύλη Jordan ώστε η τροχιά της να περιέχεται στο $\Omega$. Τότε:

$$\iint\limits_U\Big(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\Big) dxdy=\oint\limits_C Q dx+P dy,$$

όπου $U$ είναι το εσωτερικό της $C$ και η $C$ διαγράφεται με την θετική φορά στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα.

Η διαφορά με το αρχικό θεώρημα του Green είναι ότι δεν υποθέτουμε ότι το εσωτερικό της $C$ περιέχεται στο $\Omega$: αυτό δεν χρειάζεται να το υποθέσουμε διότι το $\Omega$ είναι απλά συνεκτικό, οπότε το εσωτερικό της $C$ περιέχεται αυτομάτως στο $\Omega$.

Αποδείξαμε ακόμη μια παραλλαγή του θεωρήματος του Green.

Γενικότερο θεώρημα του Green: Έστω ότι οι αριθμητικές συναρτήσεις $Q(x,y)$ και $P(x,y)$ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο ανοικτό, συνεκτικό σύνολο $\Omega\subseteq\mathbf{R}^2$ και έστω $C, C_1, \ldots , C_n$ καμπύλες Jordan οι τροχιές των οποίων περιέχονται στο $\Omega$ έτσι ώστε (α) οι τροχιές των $C_1, \ldots , C_n$ να περιέχονται στο εσωτερικό της $C$ (β) για κάθε $i\neq j$ η τροχιά της $C_i$ να περιέχεται στο εξωτερικό της $C_j$ και (γ) αν $U$ είναι το σύνολο που προκύπτει αν από το εσωτερικό της $C$ αφαιρέσουμε τις τροχιές και τα εσωτερικά των $C_1, \ldots , C_n$ τότε το $U$ να περιέχεται στο $\Omega$. Τότε:

$$\iint\limits_U\Big(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q... ...y=\oint\limits_C Q dx+P dy-\sum\limits_{i=1}^n\oint\limits_{C_i} Q dx+P dy,$$

όπου οι $C, C_1, \ldots , C_n$ διαγράφονται με την θετική φορά τους στα επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Παρατηρήσαμε ότι ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφτεί έτσι ώστε το πρόσημο μπροστά από το άθροισμα στο δεξιό μέλος να είναι $+$ αντί $-$, δηλαδή

$$\iint\limits_U\Big(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q... ...y=\oint\limits_C Q dx+P dy+\sum\limits_{i=1}^n\oint\limits_{C_i} Q dx+P dy,$$

αν θεωρήσουμε ότι όλες οι καμπύλες $C, C_1, \ldots , C_n$ διαγράφονται με την θετική φορά ως προς το σύνολο $U$: δηλαδή πρέπει να κινηθούμε πάνω στις καμπύλες αυτές έτσι ώστε κατά την κίνησή μας το αριστερό μας χέρι να δείχνει προς το $U$. Η θετική φορά της $C$ ως προς το $U$ ταυτίζεται με την θετική φορά της (ως προς το εσωτερικό της), ενώ η θετική φορά των $C_1, \ldots , C_n$ ως προς το $U$ είναι αντίθετη της θετικής φοράς τους (ως προς τα εσωτερικά τους).

Παράδειγμα: Στο μάθημα της Τετάρτης, 2-3-2011, είδαμε ότι το διανυσματικό πεδίο

$$\mathbf{f}(x,y)=(Q(x,y),P(x,y))=\Big(-\frac y{x^2+y^2},\frac x{x^2+y^2}\Big)$$

στο σύνολο $\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη για να είναι συντηρητικό, δηλαδή την

$$\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial P}{\partial x}(x,y)$$

για κάθε $(x,y)\neq(0,0)$, αλλά όμως δεν είναι συντηρητικό διότι, αν ήταν, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμά του σε κάθε κλειστή καμπύλη θα έπρεπε να είναι ίσο με μηδέν, ενώ, όπως υπολογίσαμε, είναι

$$\oint\limits_C Q dx+P dy=2\pi,$$

όπου $C$ είναι οποιοσδήποτε κύκλος με κέντρο $(0,0)$ και ακτίνα $R>0$ (με την θετική φορά διαγραφής). Τώρα υπολογίσαμε ότι η τιμή του παραπάνω επικαμπύλιου ολοκληρώματος είναι ίση με $2\pi$ για κάθε καμπύλη Jordan (με την θετική φορά διαγραφής) η οποία έχει το $(0,0)$ στο εσωτερικό της ενώ είναι ίση με 0 για κάθε καμπύλη Jordan (με την θετική φορά διαγραφής) η οποία έχει το $(0,0)$ στο εξωτερικό της.

Τέλος, απαντήσαμε στο ερώτημα του μαθήματος της Τετάρτης, 2-3-2011, σχετικά με το αν η αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα διανυσματικό πεδίο συντηρητικό είναι και ικανή, στην περίπτωση των διανυσματικών πεδίων στις δύο διαστάσεις. Ιδού το αποτέλεσμα.

θεώρημα: Έστω ότι οι αριθμητικές συναρτήσεις $Q(x,y)$ και $P(x,y)$ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο απλά συνεκτικό σύνολο $\Omega\subseteq\mathbf{R}^2$. Τότε το διανυσματικό πεδίο $\mathbf{f}=(Q,P)$ είναι συντηρητικό στο $\Omega$ αν και μόνο αν ισχύει $\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x}$ στο $\Omega$.

Παρατηρήστε τι πάει στραβά στο προηγούμενο παράδειγμα: το διανυσματικό πεδίο ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη αλλά το σύνολο $\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ δεν είναι απλά συνεκτικό!

Για το ίδιο ερώτημα αλλά στις τρεις διαστάσεις θα μιλήσουμε αργότερα μετά από το θεώρημα του Stokes.

6.9 Τετάρτη, 16-3-2011.

Επιφάνειες στον $\mathbf{R}^3$.

Έστω $T$ ένα ανοικτό, συνεκτικό υποσύνολο του $\mathbf{R}^2$. Θεωρούμε και μια συνάρτηση

$$\mathbf{r} : T\to\mathbf{R}^3$$

η οποία είναι συνεχής (ως συνάρτηση δυο μεταβλητών) στο $T$. Όταν το σημείο $(u,v)$ διατρέχει το σύνολο $T$ το αντίστοιχο σημείο $\mathbf{r}(u,v)$ διατρέχει ένα υποσύνολο $S$ του $\mathbf{R}^3$ το οποίο χαρακτηρίζουμε επιφάνεια στον $\mathbf{R}^3$. Η συνάρτηση $\mathbf{r}$ ονομάζεται παραμετρική αναπαράσταση της επιφάνειας $S$, το σύνολο $T$ ονομάζεται παραμετρικό χωρίο της επιφάνειας και οι μεταβλητές $u$ και $v$ ονομάζονται παράμετροι της $S$.

Αν

$$\mathbf{r}(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big),$$

θα θεωρούμε ότι οι συναρτήσεις $x, y, z$ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς $u, v$ στο σύνολο $T$. Αυτό, φυσικά, σημαίνει ότι οι

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u,v)=\Big(\frac{\partial x... ...u,v),\frac{\partial y}{\partial u}(u,v),\frac{\partial z}{\partial u}(u,v)\Big)$$

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u,v)=\Big(\frac{\partial x... ...u,v),\frac{\partial y}{\partial v}(u,v),\frac{\partial z}{\partial v}(u,v)\Big)$$

είναι συνεχείς στο $T$. Τότε η επιφάνεια ονομάζεται συνεχώς παραγωγίσιμη.

Όταν το $v$ είναι σταθερό και μεταβάλλεται το $u$, τότε το σημείο $(u,v)$ κινείται οριζοντίως μέσα στο $T$ και το αντίστοιχο σημείο $\mathbf{r}(u,v)$ κινείται πάνω στην επιφάνεια $S$ και διαγράφει μια καμπύλη την οποία ονομάζουμε $u$-καμπύλη. Κάθε τιμή του $v$ μέσα σε κάποιο διάστημα (την προβολή του χωρίου $T$ στον $v$-άξονα) καθορίζει μια αντίστοιχη $u$-καμπύλη στην επιφάνεια $S$. Όταν το $v$ διατρέχει αυτό το διάστημα, η αντίστοιχη $u$-καμπύλη ((σαρώνει)) την επιφάνεια $S$. Ομοίως, όταν το $u$ είναι σταθερό και μεταβάλλεται το $v$, τότε το σημείο $(u,v)$ κινείται καθέτως μέσα στο $T$ και το αντίστοιχο σημείο $\mathbf{r}(u,v)$ κινείται πάνω στην επιφάνεια $S$ και διαγράφει μια καμπύλη την οποία ονομάζουμε $v$-καμπύλη. Κάθε τιμή του $u$ μέσα σε κάποιο διάστημα (την προβολή του χωρίου $T$ στον $u$-άξονα) καθορίζει μια αντίστοιχη $v$-καμπύλη στην επιφάνεια $S$. Όταν το $u$ διατρέχει αυτό το διάστημα, η αντίστοιχη $v$-καμπύλη ((σαρώνει)) την επιφάνεια $S$.

Από κάθε σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ της επιφάνειας $S$ διέρχεται μια $u$-καμπύλη (αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή $v=v_0$) και μια $v$-καμπύλη (αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή $u=u_0$). Στο σημείο αυτό η $u$-καμπύλη και η $v$-καμπύλη έχουν αντίστοιχα εφαπτόμενα διανύσματα τα

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u_0,v_0),\qquad\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u_0,v_0).$$

Αυτά τα δυο διανύσματα εφάπτονται στην επιφάνεια $S$ στο σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$, οπότε το επίπεδο που παράγεται από αυτά τα διανύσματα (δηλαδή όλα τα διανύσματα που είναι γραμμικοί συνδυασμοί αυτών των δυο διανυσμάτων) είναι το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια στο ίδιο σημείο.

Τώρα σχηματίζουμε το βασικό εξωτερικό γινόμενο

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u_0,v_0)\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u_0,v_0).$$

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στα δυο εφαπτόμενα διανύσματα, οπότε είναι κάθετο και σε όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς τους και, επομένως, είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας $S$ στο σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$. Αυτό το εκφράζουμε ως εξής: το βασικό εξωτερικό γινόμενο στο σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ είναι κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο αυτό. Αυτή είναι η πρώτη γεωμετρική σημασία του βασικού εξωτερικού γινομένου και έχει να κάνει με την κατεύθυνσή του.

Η δεύτερη γεωμετρική σημασία του βασικού εξωτερικού γινομένου έχει να κάνει με το μέτρο του. Αποδείξαμε ότι, όταν θεωρήσουμε ένα πολύ μικρό ορθογώνιο στο παραμετρικό χωρίο $T$ με κορυφή το $(u_0,v_0)$ και πολύ μικρές πλευρές $\Delta u$ και $\Delta v$ και, επομένως, με εμβαδό ίσο με

$$\Delta u\Delta v,$$

τότε η συνάρτηση $\mathbf{r}$ θα το απεικονίσει σε ένα πολύ μικρό ((περίπου παραλληλόγραμμο)) σχήμα πάνω στην επιφάνεια $S$ το οποίο θα έχει εμβαδό περίπου ίσο με

$$\Big\Vert\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u_0,v_0)\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u_0,v_0)\Big\Vert \Delta u\Delta v.$$

Επομένως, το μέτρο του βασικού εξωτερικού γινομένου στο σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ δηλώνει τον παράγοντα με τον οποίο πολλαπλασιάζονται τα απειροστά εμβαδά στο σημείο $(u_0,v_0)$ του παραμετρικού χωρίου $T$ για να καταλήξουν σε απειροστά εμβαδά στο σημείο $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ της επιφάνειας $S$.

Εμβαδά επιφανειών στον $\mathbf{R}^3$.

Βάσει των παραπάνω και δουλεύοντας με κατάλληλα αθροίσματα Riemann, αποδείξαμε ότι το εμβαδό της επιφάνειας $S$ είναι ίσο με το διπλό ολοκλήρωμα

εμβ$$(S)=\iint\limits_T\Big\Vert\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u,v)\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u,v)\Big\Vert dudv.$$

Το βασικό εξωτερικό γινόμενο είναι το

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathb... ... y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\Big)$$

και από αυτόν τον τύπο υπολογίζουμε το μέτρο του βασικού εξωτερικού γινομένου ώστε να υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας $S$.

Υπάρχει η εξής σημαντική περίπτωση. Πολλές φορές μια από τις μεταβλητές $x, y, z$ του σημείου $(x,y,z)$ που διατρέχει την επιφάνεια $S$ μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των δυο άλλων μεταβλητών. Για παράδειγμα, η επιφάνεια $S$ μπορεί να περιγράφεται ως το σύνολο των σημείων

$$(x,y,f(x,y))$$

όπου το $(x,y)$ κινείται σε ένα ανοικτό, συνεκτικό $T\subseteq\mathbf{R}^2$. Τότε θεωρούμε τις μεταβλητές $x, y$ ως παραμέτρους και ως παραμετρική αναπαράσταση της $S$ θεωρούμε την

$$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)).$$

Τότε το βασικό εξωτερικό γινόμενο γράφεται

$$\Big(-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),1\Big)$$

οπότε το εμβαδό της $S$ είναι ίσο με

εμβ$$(S)=\iint\limits_T\sqrt{\Big(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Big)^2+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Big)^2+1} dxdy.$$

Το πρώτο παράδειγμα που είδαμε είναι η περίπτωση μιας επίπεδης επιφάνειας $S$. Έστω ότι η $S$ περιέχεται σε ένα επίπεδο με εξίσωση $ax+by+cz=d$, όπου ένα τουλάχιστον από τα $a, b, c$ είναι $\neq 0$. Αν, για παράδειγμα, είναι $c\neq 0$, τότε εκφράζουμε εύκολα το $z$ συναρτήσει των $x, y$ και καταλήγουμε στον τύπο

εμβ$$(S)=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{\vert c\vert}$$εμβ$$(T)=\frac 1{\vert\cos\theta\vert}$$εμβ$$(T),$$

όπου $\theta\in[0,\frac{\pi}2)\cup(\frac{\pi}2,\pi]$ είναι η γωνία ανάμεσα στο κάθετο διάνυσμα του επιπέδου και στον $z$-άξονα.

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και καταλήγουμε σε ανάλογους τύπους αν $a\neq 0$ ή $b\neq 0$.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων και εδώ για τις αντίστοιχες λύσεις.

6.10 Δευτέρα, 21-3-2011.

Το δεύτερο παράδειγμα είναι οι σφαιρικές επιφάνειες. Θεωρούμε μια σφαίρα στον $\mathbf{R}^3$ με κέντρο το $(0,0,0)$ και ακτίνα $R>0$. Η εξίσωση της σφαίρας είναι

$$x^2+y^2+z^2=R^2 .$$

Μπορούμε να εκφράσουμε μια από τις μεταβλητές συναρτήσει των άλλων δύο. Για παράδειγμα, η σχέση

$$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$

μας δίνει τα σημεία $(x,y,z)$ του άνω ημισφαιρίου και η

$$z=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$

μας δίνει τα σημεία $(x,y,z)$ του κάτω ημισφαιρίου. Εκφράζοντας την $x$ συναρτήσει των $y, z$ και την $y$ συναρτήσει των $x, z$ μπορούμε να πάρουμε τα σημεία δυο άλλων ζευγαριών ημισφαιρίων της σφαίρας.

Έστω, τώρα, ότι έχουμε ένα μέρος $S$ του άνω ημισφαιρίου. Αν $T$ είναι η κατακόρυφη προβολή του $S$ πάνω στο $xy$-επίπεδο, τότε το $T$ είναι υποσύνολο του δίσκου $x^2+y^2\leq R^2$. Άρα η παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας $S$ είναι

$$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,\sqrt{R^2-x^2-y^2})$$

όπου $(x,y)\in T$. Βρίσκουμε ότι

$$\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}(x,y)\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}(x,y)=\frac 1{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathbf{r}(x,y)$$

οπότε

$$\Big\Vert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}(x,y)\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}(x,y)\Big\Vert=\frac R{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} .$$

Άρα

Εμβ$$(S)=R\iint\limits_T\frac 1{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} dxdy.$$

Ως ειδική περίπτωση υπολογίσαμε το εμβαδό του άνω ημισφαιρίου (και κατ' επέκταση της σφαίρας).

Ένας άλλος τρόπος παραμετρικοποίησης της σφαίρας είναι με τις σφαιρικές συντεταγμένες. Αν το $(x,y,z)$ είναι πάνω στην σφαίρα κέντρου $(0,0,0)$ και ακτίνας $R>0$ και αν $\phi$ $(0\leq \phi\leq\pi)$ είναι η γωνία του (διανύσματος) $(x,y,z)$ με τον θετικό $z$-άξονα και $\theta$ $(0\leq\theta\leq 2\pi)$ είναι η γωνία της προβολής $(x,y)$ πάνω στο $xy$-επίπεδο με τον θετικό $x$-άξονα, τότε

$$x=R\cos\theta\sin\phi,\quad y=R\sin\theta\sin\phi,\quad z=R\cos\phi.$$

Οι παράμετροι $\theta, \phi$ είναι οι σφαιρικές συντεταγμένες του $(x,y,z)$. (Αν το $R$ δεν ήταν σταθερό, τότε οι σφαιρικές συνταταγμένες θα ήταν οι $R, \theta, \phi$ με $0<R<+\infty$).

Οι $\theta$-καμπύλες πάνω στην σφαίρα είναι οι διάφοροι ((παράλληλοι)) που καθορίζονται από σταθερές τιμές της γωνίας $\phi$ και οι $\phi$-καμπύλες είναι οι διάφοροι ((μεσημβρινοί)) που καθορίζονται από σταθερές τιμές της γωνίας $\theta$.

Η παραμετρική αναπαράσταση της σφαίρας είναι

$$\mathbf{r}(\theta,\phi)=(R\cos\theta\sin\phi,R\sin\theta\sin\phi,R\cos\phi).$$

Τότε

$$\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}(\theta,\phi)\times\frac... ...rtial\mathbf{r}}{\partial\phi}(\theta,\phi)=-R\sin\phi \mathbf{r}(\theta,\phi)$$

και

$$\Big\Vert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}(\theta,\phi)\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\phi}(\theta,\phi)\Big\Vert=R^2\sin\phi.$$

Αν $S$ είναι ένα τμήμα της σφαίρας και αν $T$ είναι το αντίστοιχο τμήμα του ορθογωνίου $[0,2\pi]\times[0,\pi]$ στο $\theta\phi$-επίπεδο, τότε

εμβ$$(S)=R^2\iint\limits_T\sin\phi d\theta d\phi.$$

Ως ειδική περίπτωση υπολογίσαμε το εμβαδό της σφαίρας καθώς και το εμβαδό του τμήματος της σφαίρας που βρίσκεται ανάμεσα σε δυο μεσημβρινούς με γωνίες $\theta_1$, $\theta_2$ και ανάμεσα σε δυο παραλλήλους με γωνίες $\phi_1$, $\phi_2$.

Το τρίτο παράδειγμα είναι οι κυλινδρικές επιφάνειες. Θεωρούμε έναν κυκλικό κύλιδρο που έχει άξονα συμμετρίας τον $z$-άξονα και τέμνει το $xy$-επίπεδο στον κύκλο $x^2+y^2=R^2$. Κάθε σημείο $(x,y,z)$ του κυλίνδρου καθορίζεται από το ύψος $z$ και από την γωνία $\theta$ της προβολής $(x,y)$ στο $xy$-επίπεδο με τον θετικό $x$-άξονα. Είναι

$$x=R\cos\theta,\quad y=R\sin\theta,\quad z=z$$

όπου $0\leq\theta\leq 2\pi$. Οι παράμετροι $\theta, z$ είναι οι κυλινδρικές συντεταγμένες του $(x,y,z)$. (Αν το $R$ δεν ήταν σταθερό, τότε οι κυλινδρικές συντεταγμένες θα ήταν οι $R, \theta, z$.)

Η παραμετρική αναπαράσταση του κυλίνδρου είναι η

$$\mathbf{r}(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z)$$

όπότε

$$\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}(\theta,z)\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,0)=(x,y,0)$$

και

$$\Big\Vert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}(\theta,z)\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}(\theta,z)\Big\Vert=R.$$

Άρα, αν $S$ είναι ένα τμήμα του κυλίνδρου και $T$ είναι το αντίστοιχο τμήμα στο $\theta z$-επίπεδο, τότε

εμβ$$(S)=R\iint\limits_T d\theta dz=R$$εμβ$$(T).$$

Ως ειδική περίπτωση υπολογίσαμε το εμβαδό της κυλινδρικής επιφάνειας που βρίσκεται ανάμεσα σε δυο οριζόντια επίπεδα σε ύψη $z_1$ και $z_2$.

Επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών και αριθμητικών πεδίων.

Έστω $S$ μια επιφάνεια στον $\mathbf{R}^3$ με παραμετρική αναπαράσταση

$$\mathbf{r} : T\to\mathbf{R}^3$$

όπου $T\subseteq\mathbf{R}^2$ είναι το ανοικτό, συνεκτικό παραμετρικό χωρίο της $S$ και

$$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\in S$$

για κάθε $(u,v)\in T$.

Το βασικό εξωτερικό γινόμενο σε κάθε σημείο $\mathbf{r}(u,v)$ της $S$ είναι το

$$\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{... ...y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\Big).$$

Θα θυμηθούμε το σύμβολο της Ιακωβιανής ορίζουσας του ζεύγους $(f,g)$ δυο συναρτήσεων δυο μεταβλητών $f(u,v)$ και $g(u,v)$:

$$\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)}=\frac{\partial f}{\partial u}... ...al g}{\partial v}-\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial v} .$$

Τότε μπορούμε να γράψουμε

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathb... ...frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} , \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Big).$$

(Παρατηρήστε την ((κυκλικότητα)): $x\to y\to z\to x$.)

Τώρα θεωρούμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην κατεύθυνση του $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ και το συμβολίζουμε

$$\mathbf{\eta}(u,v)=\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\t... ...l \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\Vert} .$$

Έστω, τώρα, μια διανυσματική συνάρτηση

$$\mathbf{f} : S\to\mathbf{R}^3$$

όπου

$$\mathbf{f}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

για κάθε $(x,y,z)\in S$.

Ορίζουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα της $\mathbf{f}$ στην επιφάνεια $S$ με την παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r}$ ως

$$\iint\limits_S\mathbf{f}\cdot\mathbf{\eta} dA=\iint\limits_T\ma... ... \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Big) dudv.$$

Γράφοντας το εσωτερικό γινόμενο βάσει των συντεταγμένων των διανυσματικών συναρτήσεων, βρίσκουμε ότι

$$\iint\limits_S\mathbf{f}\cdot\mathbf{\eta} dA=\iint\limits_T\Bi... ...al(z,x)}{\partial(u,v)}+ R(x,y,z)\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Big) dudv$$

(όπου δεν αναφέρουμε τις μεταβλητές $u, v$ μέσα στις συναρτήσεις του τελευταίου ολοκληρώματος).

6.11 Τετάρτη, 23-3-2011.

Περιγράψαμε την αναλογία ανάμεσα σε επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων και σε επικαμπύλια ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων. Ξεκινήσαμε από ένα εναλλακτικό σύμβολο για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}$. Θυμηθήκαμε τον ορισμό του και κάναμε πράξεις:

$$\int\limits_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=\int\limits_a^b\mathbf{... ...mits_a^b\mathbf{f}(\mathbf{r}(u))\cdot\mathbf{T}(u)\Vert\mathbf{r}'(u)\Vert du$$

όπου $\mathbf{T}(u)=\frac{\mathbf{r}'(u)}{\Vert\mathbf{r}'(u)\Vert}$ είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη $C$. Αν τώρα θυμηθούμε το σύμβολο $ds=\Vert\mathbf{r}'(u)\Vert du$, τότε στην θέση του $\int_C\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}$ μπορούμε να γράψουμε

$$\int\limits_C\mathbf{f}\cdot\mathbf{T} ds$$

ως σύμβολο για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Τώρα βλέπουμε τον παραλληλισμό ανάμεσα στο σύμβολο αυτό για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και στο σύμβολο

$$\iint\limits_S\mathbf{f}\cdot\mathbf{\eta} dA$$

για το επιφανειακό ολοκλήρωμα. Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη $\mathbf{T}(u)=\frac{\mathbf{r}'(u)}{\Vert\mathbf{r}'(u)\Vert}$ αντιστοιχεί στο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\mathbf{\eta}(u,v)=\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\pa... ...rtial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Vert}$. Και το ((στοιχειώδες μήκος)) $ds=\Vert\mathbf{r}'(u)\Vert du$ αντιστοιχεί στο ((στοιχειώδες εμβαδό)) $dA=\Vert\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Vert dudv$. Ο παραλληλισμός πάει και παραπέρα. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γράφεται

$$\int\limits_a^b\mathbf{f}(\mathbf{r}(u))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{du} du$$

και το επιφανειακό ολοκλήρωμα γράφεται

$$\iint\limits_T\mathbf{f}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\Big(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Big) dudv.$$

Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γράφεται

$$\int_a^b\Big(P(x,y)\frac{dx}{du}+Q(x,y)\frac{dy}{du}\Big) du$$

και το επιφανειακό ολοκλήρωμα γράφεται

$$\iint\limits_T\Big(P(x,y,z)\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}+Q(... ...l(z,x)}{\partial(u,v)}+ R(x,y,z)\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Big) dudv.$$

Τέλος, από την τελευταία γραφή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος και με τη συνηθισμένη αλλαγή $\frac{dx}{du} du=dx$ και $\frac{dy}{du} du=dy$ προκύπτει η γραφή

$$\int\limits_CP(x,y) dx+Q(x,y) dy$$

για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Υπάρχει, όμως, και μια αντίστοιχη αλλαγή

$$df\wedge dg=\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)} dudv=\Big(\frac{... ...rtial v}-\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial g}{\partial u}\Big) dudv$$

η οποία εισάγει το σύμβολο $df\wedge dg$ για συναρτήσεις $f(u,v), g(u,v)$ δυο μεταβλητών. προσέξτε την ιδιότητα $dg\wedge df=-df\wedge dg$.

Με την τελευταία αλλαγή, το επιφανειακό ολοκλήρωμα γράφεται

$$\iint\limits_SP(x,y,z) dy\wedge dz+Q(x,y,z) dz\wedge dx+R(x,y,z) dx\wedge dy.$$

Κατόπιν, ορίσαμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας αριθμητικής συνάρτησης $f : S\to\mathbf{R}$ στην επιφάνεια $S$ με παραμετρική αναπαράσταση $\mathbf{r} : T\to S$ ως εξής:

$$\iint\limits_Sf dA=\iint\limits_Tf(\mathbf{r}(u,v))\Big\Vert \fr... ...f{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \Big\Vert dudv.$$

Παρατηρήσαμε και την αναλογία με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αριθμητικής συνάρτησης

$$\int\limits_Cf ds=\int\limits_a^bf(\mathbf{r}(u))\Vert\frac{d\mathbf{r}}{du}\Vert du.$$

Μελετήσαμε την επίδραση στα επιφανειακά ολοκληρώματα μιας αλλαγής μεταβλητής

$$u=u(t,s),\qquad v=v(t,s),$$

όπου το $(t,s)$ διατρέχει ένα ανοικτό, συνεκτικό παραμετρικό χωρίο $R\subseteq\mathbf{R}^2$. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση

$$\mathbf{\rho}(t,s)=\mathbf{r}(u(t,s),v(t,s)),\qquad (t,s)\in R$$

της επιφάνειας $S$.

Αποδείξαμε τον τύπο αλλαγής μεταβλητής:

$$\frac{\partial \mathbf{\rho}}{\partial t}\times\frac{\partial \ma... ...es\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)} .$$

Βάσει αυτού του τύπου αποδείξαμε ότι, αν η Ιακωβιανή ορίζουσα $\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}$ είναι θετική στο $R$, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\iint_S\mathbf{f}\cdot\mathbf{\eta} dA$ διανυσματικής συνάρτησης μένει αμετάβλητο από την αλλαγή μεταβλητής ενώ, αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι αρνητική, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωμα αλλάζει πρόσημο. Όμως, το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\iint_Sf dA$ αριθμητικής συνάρτησης μένει αμετάβλητο σε κάθε περίπτωση. Στις αποδείξεις αυτές έπαιξε ρόλο ο τύπος αλλαγής μεταβλητής:

$$dudv=\Big\vert\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}\Big\vert dtds.$$

6.12 Δευτέρα, 28-3-2011.

Αναλύσαμε περισσότερο μερικά πράγματα από το προηγούμενο μάθημα.

Μελετήσαμε διεξοδικά την έννοια του προσανατολισμού πάνω σε μια επιφάνεια. Αν $S$ είναι η επιφάνεια και θεωρήσουμε σε κάθε σημείο της $P$ το ένα από τα δυο κάθετα προς αυτήν διανύσματα $\mathbf{\eta}$, τότε αυτό καθορίζει μια αντίστοιχη θετική φορά περιστροφής πάνω στην $S$ γύρω από το σημείο $P$ σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Αν θεωρήσουμε το άλλο κάθετο διάνυσμα (το αντίθετο προς το προηγούμενο) τότε η αντίστοιχη θετική φορά περιστροφής πάνω στην $S$ είναι η αντίθετη της προηγούμενης.

Όταν $\mathbf{r} : T\to S$ είναι μια παραμετρικοποίηση της επιφάνειας $S$, τότε, όπως είδαμε, η $\mathbf{r}$ ορίζει τα αντίστοιχα κάθετα διανύσματα $\mathbf{\eta}$ στα σημεία της $S$ και, επομένως, ορίζει αντίστοιχες θετικές φορές περιστροφής πάνω στην $S$ γύρω από τα διάφορα σημεία της.

Ας θεωρήσουμε μια άλλη παραμετρικοποίηση $\mathbf{\rho} : R\to S$ η οποία προέρχεται από την $\mathbf{r}$ μέσω της αλλαγής μεταβλητής $u=u(t,s), v=v(t,s)$. Αν η Ιακωβιανή ορίζουσα $\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}$ είναι θετική, τότε οι θετικές φορές περιστροφής πάνω στην $S$ που ορίζονται από την $\mathbf{\rho}$ είναι οι ίδιες με τις θετικές φορές περιστροφής πάνω στην $S$ που ορίζονται από την $\mathbf{r}$. Αν, όμως, η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι αρνητική, τότε οι θετικές φορές περιστροφής που ορίζονται από τις δυο παραμετρικοποιήσεις είναι αντίθετες. Η αιτία για όλα αυτά είναι ο τύπος

$$\frac{\partial \mathbf{\rho}}{\partial t}\times\frac{\partial \ma... ...times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}$$

ο οποίος λέει ότι τα αντίστοιχα μοναδιαία κάθετα διανύσματα είναι ίσα ή αντίθετα ανάλογα με το αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι θετική ή αρνητική.

Βάσει των παραπάνω, λέμε ότι αν η Ιακωβιανή ορίζουσα της αλλαγής μεταβλητής είναι θετική τότε η αλλαγή παραμετρικοποίησης διατηρεί τον προσανατολισμό της επιφάνειας ενώ αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι αρνητική τότε η αλλαγή παραμετρικοποίησης αλλάζει τον προσανατολισμό της επιφάνειας.

Επίσης, έστω ότι $\mathbf{r} : T\to S$ είναι η παραμετρικοποίηση της επιφάνειας $S$ και το παραμετρικό χωρίο $T$ είναι το εσωτερικό μιας καμπύλης Jordan Γ. Έστω ότι η φορά περιστροφής της Γ είναι η θετική (δηλαδή, διαγράφοντας την Γ, το αριστερό χέρι δείχνει στο εσωτερικό $T$ της Γ). Έστω $C=\mathbf{r}$(Γ) η συνοριακή καμπύλη της επιφάνειας $S$ με φορά περιστροφής εκείνην η οποία επάγεται από την φορά περιστροφής της Γ μέσω της $\mathbf{r}$ (δηλαδή, το σημείο $\mathbf{r}(u,v)$ κινείται πάνω στην $C$ ακολουθώντας το σημείο $(u,v)$ που κινείται με την θετική φορά πάνω στην Γ). Τότε είδαμε ότι αυτή η φορά περιστροφής της $C$ (όπως την καθορίσαμε μόλις τώρα) είναι ίδια με την φορά περιστροφής πάνω στην επιφάνεια $S$ που καθορίζεται από τα κάθετα διανύσματα $\mathbf{\eta}$ που ορίζονται από την παραμετρικοποίηση $\mathbf{r}$ (σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία).

Μετά από όλα τα παραπάνω, διατυπώσαμε το θεώρημα του Stokes που θα αποδείξουμε στο επόμενο μάθημα.

Θεώρημα του Stokes. Έστω $S$ μια επιφάνεια στον $\mathbf{R}^3$ και $\mathbf{r} : T\to S$ μια παραμετρική αναπαράστασή της έτσι ώστε: το χωρίο $T$ είναι το εσωτερικό μιας καμπύλης Jordan Γ και οι συντεταγμένες της $\mathbf{r}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμες σε ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει την $T\cup$Γ. Έστω $\mathbf{f}=(P,Q,R) : S\to\mathbf{R}^3$ μια διανυσματική συνάρτηση. Τότε

$$\iint\limits_S\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q... ...\frac{\partial P}{\partial y}\Big) dx\wedge dy=\int\limits_CP dx+Q dy+R dz,$$

όπου $C=\mathbf{r}$(Γ) είναι η συνοριακή καμπύλη της $S$ με την φορά περιστροφής η οποία επάγεται από την θετική φορά περιστροφής της Γ μέσω της $\mathbf{r}$.

Τέλος, σχολιάσαμε τον παραλληλισμό με το θεώρημα του Green.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.

6.13 Τετάρτη, 30-3-2011.

Αποδείξαμε το θεώρημα του Stokes.

Εναλλακτική μορφή του τύπου του Stokes:

$$\iint\limits_S(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f})\cdot$$η$$dA=\int\limits_C\mathbf{f}\cdot\mathbf{T} ds.$$

Στον τύπο αυτόν, είναι $\mathbf{f}=(P,Q,R)$, $\mathbf{T}$ είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στα σημεία της $C$ και εμφανίζεται το συμβολικό διάνυσμα

$$\mathbf{\nabla}=\Big(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\Big),$$

οπότε έχουμε το συμβολικό εξωτερικό γινόμενο

$$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f}=\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \math... ...}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).$$

Το $\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f}$ συμβολίζεται και

$$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f}=$$curl$$\mathbf{f}.$$

Παρεμπιπτόντως, είδαμε και δυο άλλες συμβολικές σχέσεις:

$$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{f}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=$$div$$\mathbf{f}$$

$$\mathbf{\nabla} f=\Big(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Big)=$$grad$$f.$$

(Η τελευταία σχέση είναι για αριθμητική συνάρτηση $f$. Οι δυο προηγούμενες είναι για διανυσματική συνάρτηση $\mathbf{f}$.)

Αποδείξαμε το παρακάτω θεώρημα σχετικά με την αναγκαία συνθήκη για συντηρητικά διανυσματικά πεδία (δείτε τα μαθήματα της Δευτέρας, 14-3-2011, και της Τετάρτης, 2-3-2011).

Θεώρημα: Έστω $\Omega$ ένα ανοικτό, συνεκτικό υποσύνολο του $\mathbf{R}^3$ με την εξής ιδιότητα: για κάθε απλή κλειστή καμπύλη $C$ στο $\Omega$ υπάρχει επιφάνεια $S$ στο $\Omega$ με συνοριακή καμπύλη την $C$. Τότε το πεδίο $\mathbf{f}=(P,Q,R)$ (με $P, Q, R$ οι οποίες έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο $\Omega$) είναι συντηρητικό στο $\Omega$ αν και μόνο αν curl$\mathbf{f}=\mathbf{0}$ ή, ισοδύναμα,

$$\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\quad... ...{\partial z},\quad\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

στο $\Omega$.

Είδαμε παραδείγματα συνόλων $\Omega$ που έχουν την ιδιότητα του προηγούμενο θεωρήματος και $\Omega$ που δεν την έχουν. Θα επανέλθουμε στο επόμενο μάθημα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Δείτε εδώ για το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων και εδώ για τις λύσεις του. Δείτε εδώ και για τις λύσεις του έκτου φυλλαδίου.

6.14 Δευτέρα, 4-4-2011.

Σύνολα $\Omega$ στον $\mathbf{R}^3$ που έχουν την ιδιότητα όπως περιγράφεται στο τελευταίο θεώρημα είναι για παράδειγμα μια οποιαδήποτε ανοικτή μπάλα καθώς και ένα οποιοδήποτε ανοικτό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ή, γενικότερα, οποιοδήποτε κυρτό ανοικτό υποσύνολο του $\mathbf{R}^3$. Κυρτό είναι ένα σύνολο με την εξής ιδιότητα: για κάθε δυο σημεία του το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο σύνολο. Σύνολα που δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα είναι για παράδειγμα τα εξής: το $\mathbf{R}^3$ αν του αφαιρέσουμε μια ευθεία, μια ανοικτή μπάλα αν της αφαιρέσουμε μια διάμετρο, ο τόρος που προκύπτει αν περιστρέψουμε πλήρως έναν ανοικτό δίσκο γύρω από μια ευθεία η οποία ανήκει στο επίπεδό του και δεν τον τέμνει.

Είδαμε το παράδειγμα του διανυσματικού πεδίου

$$\mathbf{f}(x,y,z)=\Big(-\frac y{x^2+y^2},\frac x{x^2+y^2},z\Big)$$

στο $\Omega=\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,z) \vert z\in\mathbf{R}\}$. Αυτό το $\Omega$ δεν έχει την ιδιότητα που περιγράφεται στο τελευταίο θεώρημα. Ισχύει curl $\mathbf{f}=\mathbf{0}$ στο $\Omega$ αλλά το $\mathbf{f}$ δεν είναι συντηρητικό στο $\Omega$. Αυτό φαίνεται επειδή

$$\int\limits_C-\frac y{x^2+y^2} dx+\frac x{x^2+y^2} dy+z dz=2\pi\neq 0,$$

όπου $C$ είναι ο κύκλος $x^2+y^2=1$, $z=0$.

Έστω μια επιφάνεια $S$ στον $\mathbf{R}^3$. Σε κάθε σημείο $(x,y,z)\in S$ μπορούμε να επιλέξουμε δυο μοναδιαία διανύσματα τα οποία είναι κάθετα στην $S$ στο $(x,y,z)$. Αυτά τα διανύσματα είναι αντίθετα. Μια επιφάνεια $S$ στον $\mathbf{R}^3$ χαρακτηρίζεται προσανατολίσιμη αν μπορούμε να επιλέξουμε σε κάθε σημείο $(x,y,z)\in S$ ένα (από τα δυο) μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα η$(x,y,z)$ έτσι ώστε το η$(x,y,z)$ να είναι συνεχής συνάρτηση του $(x,y,z)\in S$.

Αν η επιφάνεια $S$ είναι προσανατολίσιμη, τότε υπάρχουν ακριβώς δυο επιλογές συνεχώς μεταβαλλόμενων μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτων στην $S$: η μια επιλογή είναι αντίθετη της άλλης.

Παραδείγματα προσανατολίσιμων επιφανειών στον $\mathbf{R}^3$: μια σφαιρική επιφάνεια, η επιφάνεια ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, μια κυλινδρική επιφάνεια, μια οποιαδήποτε επίπεδη επιφάνεια. Παραδείγματα μη προσανατολίσιμων επιφανειών: η λωρίδα του Möbius και η φιάλη του Klein.

Είδαμε την εξής επέκταση του τύπου του Stokes:

Πρόταση: Έστω $S$ μια προσανατολίσιμη επιφάνεια στον $\mathbf{R}^3$ και έστω $C_1, \ldots , C_n$ οι συνοριακές καμπύλες της $S$. Τότε

$$\iint\limits_S(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f})\cdot$$η$$dA=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{C_k}\mathbf{f}\cdot\mathbf{T} ds,$$

όπου η είναι μια επιλογή συνεχώς μεταβαλλόμενων μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτων στα σημεία της $S$ και οι καμπύλες $C_k$ $(k=1, \ldots ,n)$ έχουν φορά περιστροφής αυτήν που καθορίζεται από τα διανύσματα η με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία.

6.15 Τετάρτη, 6-4-2011.

Επανήλθαμε σε μερικά από τα τελευταία θέματα του προηγούμενου μαθήματος.

Ένα πόρισμα της τελευταίας πρότασης:

Πρόταση: Έστω $S$ μια προσανατολίσιμη επιφάνεια στον $\mathbf{R}^3$ η οποία είναι κλειστή (δηλαδή δεν έχει συνοριακά σημεία, οπότε δεν έχει ούτε συνοριακές καμπύλες). Τότε

$$\iint\limits_S(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{f})\cdot$$η$$dA=0,$$

όπου η είναι μια επιλογή συνεχώς μεταβαλλόμενων μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτων στα σημεία της $S$.

Ένα ακόμη γενικό παράδειγμα προσανατολίσιμων επιφανειών: Έστω $\Omega$ ένα ανοικτό, συνεκτικό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbf{R}^3$. Τότε οι συνοριακές επιφάνειες $S_1, \ldots , S_n$ του $\Omega$ είναι κλειστές και προσανατολίσιμες και μια επιλογή συνεχώς μεταβαλλόμενων μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτων η στις επιφάνειες αυτές είναι εκείνη για την οποία όλα τα κάθετα διανύσματα η κατευθύνονται προς το εξωτερικό του $\Omega$.

Αποδείξαμε το:

Θεώρημα του Gauss. Έστω $\Omega$ ένα ανοικτό, συνεκτικό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbf{R}^3$ και $S_1, \ldots , S_n$ οι συνοριακές επιφάνειες του $\Omega$. Τότε

$$\iiint\limits_{\Omega}\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{f} dxdydz=\sum\limits_{k=1}^n\iint\limits_{S_k}\mathbf{f}\cdot$$η$$dA,$$

όπου η είναι τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στις συνοριακές επιφάνειες που κατευθύνονται προς το εξωτερικό του $\Omega$.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Εδώ είναι το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων και εδώ οι λύσεις του.

6.16 Τετάρτη, 13-4-2011.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Την Παρασκευή 15-4-2011 δεν θα γίνει το δίωρο ασκήσεων.

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ: Μπορείτε να αξιολογήσετε την διδασκαλία μου εδώ. Θα εκτιμήσω και θα σκεφτώ την άποψή σας.