Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2016-17

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Περιεχόμενα

• 1 Προκαταρκτικά.
  • 1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
  • 1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
  • 1.3 Προαπαιτούμενα.
  • 1.4 Βιβλίο.
  • 1.5 Βιβλιογραφία.
  • 1.6 Βαθμολόγηση.
  • 1.7 Ασκήσεις και Εργαστήριο.
  
  
• 2 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 1η εβδομάδα (6-10/2).
  • 2η εβδομάδα (13-17/2).
  • 3η εβδομάδα (20-24/2).
  • 4η εβδομάδα (27/2-3/3).
  • 5η εβδομάδα (6-10/3).
  • 6η εβδομάδα (13-17/3).
  • 7η εβδομάδα (20-24/3).
  • 8η εβδομάδα (27-31/3).
  • 9η εβδομάδα (3-7/4).
  • 10η εβδομάδα (24-28/4).
  • 11η εβδομάδα (1-5/5).
  • 12η εβδομάδα (8-12/5).
  • 13η εβδομάδα (15-19/5).
  • Μετά το τέλος των μαθημάτων.

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Διανύσματα στον $\mathbb{R}^n$. Ευθείες στον $\mathbb{R}^2$ και ευθείες και επίπεδα στον $\mathbb{R}^3$. Μήκος, εσωτερικό γινόμενο, γωνία, ανισότητα Cauchy, τριγωνική ανισότητα.

Εξωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{R}^3$. Εμβαδόν παραλληλογράμμου, όγκος παραλληλεπιπέδου. Μεικτό γινόμενο στον $\mathbb{R}^3$.

Εξίσωση ευθείας στον $\mathbb{R}^2$ και στον $\mathbb{R}^3$. Εξίσωση επιπέδου στον $\mathbb{R}^3$. Απόσταση σημείου από ευθεία και από επίπεδο. Προβολή σημείου σε ευθεία και σε επίπεδο.

Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες στον $\mathbb{R}^2$. Καρτεσιανές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες στον $\mathbb{R}^3$.

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (από τον $\mathbb{R}^n$ στον $\mathbb{R}^m$). Γράφημα συνάρτησης. Ισοσταθμικές καμπύλες και ισοσταθμικές επιφάνειες πραγματικής συνάρτησης. Κατακόρυφες τομές γραφήματος.

Ανοικτά σύνολα στον $\mathbb{R}^n$. Συνοριακά σημεία, σημεία συσσώρευσης. Όριο και συνέχεια συνάρτησης.

Μερικές παράγωγοι και το γεωμετρικό νόημά τους. Εφαπτόμενο επίπεδο. Παραγωγισιμότητα πραγματικής συνάρτησης και διανυσματικής συνάρτησης. Παράγωγος (πίνακας). Κλίση συνάρτησης. Το θεώρημα με τη συνέχεια των μερικών παραγώγων. (Απόδειξη στην περίπτωση $n=2$, $m=1$.) Ιδιότητες παραγώγου.

Καμπύλες στον $\mathbb{R}^n$. Καρτεσιανή και παραμετρική εξίσωση καμπύλης. Παράγωγος καμπύλης (ταχύτητα). Μήκος καμπύλης.

Κανόνας αλυσίδας. Ειδικές περιπτώσεις.

Κατά κατεύθυνση παράγωγος πραγματικής συνάρτησης. Η φυσική σημασία της κλίσης. Ορθογωνιότητα κλίσης και ισοσταθμικών καμπυλών και επιφανειών.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Ισότητα μεικτών παραγώγων. Τύπος του Taylor πρώτης και δεύτερης τάξης.

Τοπικά ακρότατα. Κριτήριο πρώτης παραγώγου. Εσσιανή. Τετραγωνικές μορφές. Θετικά (και αρνητικά) ορισμένες τετραγωνικές μορφές (και πίνακες).

Κλειστά σύνολα. Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής (χωρίς απόδειξη). Εφαρμογή σε θετικά ορισμένες τετραγωνικές μορφές. Κριτήριο δεύτερης παραγώγου.

Γενικό κριτήριο για θετικότητα τετραγωνικής μορφής (χωρίς απόδειξη). Κριτήριο βάσει ιδιοτιμών. Τοπικά ακρότατα και σαγματικά σημεία για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Ολικά ακρότατα. Ακρότατα με συνθήκες. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Ακρότατα με μία συνθήκη και με περισσότερες από μία συνθήκες.

Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Η περίπτωση μίας εξίσωσης. (Μάλλον χωρίς απόδειξη.) Το εφαπτόμενο επίπεδο ισοσταθμικής επιφάνειας. Η περίπτωση περισσοτέρων της μίας εξισώσεων.

Το θεώρημα για ύπαρξη τοπικού αντιστρόφου.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη 3-5 και Παρασκευή 1-3 στην αίθουσα Α201.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα και Πέμπτη 12-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι τα μαθήματα Απειροστικός Λογισμός Ι και Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω αρκετά πιστά τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden, Tromba.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος.

1.5 Βιβλιογραφία.

Δύο πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Calculus" του Apostol και το "Introduction to Calculus and Analysis" των Courant, John.

1.6 Βαθμολόγηση.

Στις 3 Απριλίου θα γίνει προαιρετική πρόοδος πάνω στην πρώτη μισή ύλη του μαθήματος. Στο τέλος του εξαμήνου θα γράψετε είτε δεύτερη πρόοδο πάνω στη δεύτερη μισή ύλη είτε τελικό διαγώνισμα πάνω σε ολόκληρη την ύλη του μαθήματος. Η δεύτερη πρόοδος θα γίνει συγχρόνως με το τελικό διαγώνισμα και θα διαρκέσει το μισό χρονικό διάστημα. Όποιος γράψει το τελικό διαγώνισμα αυτομάτως ακυρώνει την πρώτη πρόοδό του.

Ο τελικός βαθμός θα προκύψει είτε από το τελικό διαγώνισμα είτε από τον μέσο όρο των βαθμών των δύο προόδων.

1.7 Ασκήσεις και Εργαστήριο.

Θα γίνονται δύο δίωρα ασκήσεων (από εμένα): Δευτέρα 1-3 στην αίθουσα Α201 και Τρίτη 11-1 στην αίθουσα Α214. Επίσης, θα γίνεται και ένα δίωρο εργαστήριο Πέμπτη 1-3 στην αίθουσα Ε212, όπου θα λύνετε ασκήσεις εσείς με τη βοήθεια τη δική μου και των βοηθών.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

1η εβδομάδα (6-10/2).

[6/2] Το αυριανό (Τρίτη 11-1) δίωρο ασκήσεων και το εργαστήριο της ερχόμενης Πέμπτης (1-3) δεν θα γίνουν επειδή ακόμη δεν έχουν αρχίσει οι διαλέξεις πάνω στην θεωρία. Οι διαλέξεις της Τρίτης (3-5) και της Παρασκευής (1-3) αυτής της εβδομάδας θα γίνουν κανονικά.

[11/2] Περιληπτικά οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας.

[12/2] Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

2η εβδομάδα (13-17/2).

[18/2] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι τέσσερις πρώτες διαλέξεις).

[19/2] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

3η εβδομάδα (20-24/2).

[20/2] Η πρώτη πρόοδος θα γίνει την Τετάρτη 5 Απριλίου, 6-8, στις αίθουσες Α201, Α203, Α214, Ε204.

[26/2] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι έξι πρώτες διαλέξεις).

Έγινε αλλαγή αίθουσας: το δίωρο ασκήσεων της Τρίτης 11-1 θα γίνεται στην Α214 αντί της Ε204. Θα χωρέσουν λίγοι περισσότεροι.

Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.

4η εβδομάδα (27/2-3/3).

[28/2] Αλλάζει η ημερομηνία της προόδου: θα γίνει την Δευτέρα 3 Απριλίου, 6-8, στις αίθουσες Α201, Α203, Α214, Ε204.

Επίσης, θα γίνεται ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων κάθε Τετάρτη 3-5 στην Α201. Αυτό το δίωρο απευθύνεται στους φοιτητές που δεν μπορούν να παρακολουθήσουν το δίωρο ασκήσεων της Τρίτης.

[3/3] Τελικά, το δίωρο ασκήσεων της Τετάρτης θα γίνεται κάθε Δευτέρα 1-3 στην Α201. Αυτό θα αρχίσει από την Δευτέρα 13/3. Την ερχόμενη εβδομάδα το δίωρο θα γίνει την Τετάρτη (8/3) 3-5 στην Α201.

[5/3] Περιληπτικά οι οκτώ πρώτες διαλέξεις.

Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων.

5η εβδομάδα (6-10/3).

[12/3] Περιληπτικά οι δέκα πρώτες διαλέξεις.

Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων.

6η εβδομάδα (13-17/3).

[18/3] Περιληπτικά οι δώδεκα πρώτες διαλέξεις. Οι διαλέξεις των δύο τελευταίων εβδομάδων είναι κάπως αναλυτικότερα γραμμένες. Ελπίζω να μπορέσω να συνεχίσω έτσι μέχρι το τέλος.

[19/3] Το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.

7η εβδομάδα (20-24/3).

[25/3] Περιληπτικά οι δεκατέσσερις πρώτες διαλέξεις.

[26/3] Το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων.

8η εβδομάδα (27-31/3).

[28/3] Έχω ήδη ανακοινώσει ότι αύριο Τετάρτη 3-5 στην Α201 θα γίνει ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων (για όλους τους φοιτητές του τμήματος Α) εν όψει της πρώτης προόδου (που θα γίνει την ερχόμενη Δευτέρα 3/4). Θα αλλάξω ελαφρά το πρόγραμμα ως εξής. Αύριο (την ίδια ώρα 3-5 στην Α201) θα συμπληρώσω κάποια πράγματα θεωρίας την πρώτη ώρα και την δεύτερη ώρα θα κάνω ασκήσεις. Θα συνεχίσω με ασκήσεις και στο δίωρο της Παρασκευής 31/3 (το οποίο κανονικά είναι για θεωρία).

[30/3] Το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.

Στην πρώτη πρόοδο θα εξεταστείτε πάνω σε ό,τι έχουμε κάνει μέχρι και αυτήν την εβδομάδα. Στο αυριανό μάθημα θα λύσω ασκήσεις του όγδοου φυλλαδίου. Παρόμοιες ασκήσεις θα εξεταστούν στην πρώτη πρόοδο. Αύριο θα αναρτήσω εδώ και την θεωρία (περιληπτικά, όπως πάντα) που παρέδωσα αυτήν την εβδομάδα. Τέλος, αν τα καταφέρω, το Σάββατο θα αναρτήσω και ένα υπόδειγμα προόδου.

Περιληπτικά οι δεκαέξι πρώτες διαλέξεις.

[1/4] Οδηγίες για την πρώτη πρόοδο.

Το διαγώνισμα αποτελείται από τέσσερα θέματα πολλαπλής επιλογής με τέσσερις απαντήσεις για κάθε θέμα. Ακριβώς μία από τις τέσσερις απαντήσεις είναι σωστή. Για κάθε σωστή απάντηση παίρνετε 1,75 μονάδες και για κάθε λάθος απάντηση παίρνετε -0.58 μονάδες. Αν δεν δώσετε απάντηση παίρνετε 0 μονάδες. Υπάρχει, επίσης, και ένα θέμα ανάπτυξης το οποίο αξίζει 3 μονάδες.

Υποθέτω ότι γνωρίζετε πολύ καλά τα εξής. (1) Τον ορισμό της παραγωγισιμότητας συνάρτησης και πώς να αποδεικνύετε με βάση τον ορισμό ότι μία συνάρτηση δύο ή τριών μεταβλητών είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο. (2) Να βρίσκετε το εφαπτόμενο επίπεδο και το κάθετο διάνυσμα στο γράφημα συνάρτησης δύο μεταβλητών. (3) Να βρίσκετε το εφαπτόμενο επίπεδο και το κάθετο διάνυσμα σε ισοσταθμική επιφάνεια συνάρτησης τριών μεταβλητών. (4) Να γνωρίζετε την σχέση ανάμεσα στο κάθετο διάνυσμα ή στο εφαπτόμενο επίπεδο ισοσταθμικής επιφάνειας συνάρτησης τριών μεταβλητών και στην κλίση της συνάρτησης. Ομοίως, να γνωρίζετε την σχέση ανάμεσα στο κάθετο διάνυσμα ή στην εφαπτόμενη ευθεία ισοσταθμικής καμπύλης συνάρτησης δύο μεταβλητών και στην κλίση της συνάρτησης. (5) Να γνωρίζετε την σχέση ανάμεσα στην κλίση συνάρτησης δύο ή τριών μεταβλητών και στην κατεύθυνση μέγιστου ή ελάχιστου ή μηδενικού στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης. (6) Να μπορείτε να υπολογίσετε την μερική παράγωγο σύνθετης συνάρτησης ως προς κάποια από τις μεταβλητές εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας.

9η εβδομάδα (3-7/4).

[3/4] Οι φοιτητές με τους παρακάτω αριθμούς μητρώου παρακαλούνται να επικοινωνήσουν επειγόντως μαζί μου σχετικά με το διαγώνισμα που μόλις έγραψαν: καλύτερα θα είναι να με βρούν αύριο Τρίτη στο μάθημα, 11-1 ή 3-5. (Δεν πρόκειται για κακό!)

2169, 1803, 2359, 5461, 2216, 5412, 2373, 5297, 5311, 5275, 2380, 2374, 5225, 5295, 2159, 5569, 5221, 2125, 4921, 2031, 2210, 2165, 5453, 2063, 2309, 2370, 2319, 1720, 2167, 5018, 2345, 5288, 4587, 2151, 2350, 2378, 2363, 5406, 5248, 2364, 2327, 5273, 1705, 5272, 5302, 1822, 5418.

Τελικά, το θέμα που προέκυψε λύθηκε με τον καλύτερο τρόπο. Αγνοήστε το προηγούμενο μήνυμα όσοι έχετε τους παραπάνω αριθμούς μητρώου.

[5/4] Οι βαθμοί της πρώτης προόδου είναι εδώ.

[8/4] Περιληπτικά οι δεκαοκτώ πρώτες διαλέξεις. Η καταγραφή των διαλέξεων γίνεται όλο και πιο λεπτομερής. Δυστυχώς λείπουν τα σχήματα, αλλά δεν επαρκεί ο χρόνος μου και γι αυτά. Υποθέτω ότι όσοι έρχεστε στο μάθημα έχετε αντιγράψει στις σημειώσεις σας τα βοηθητικά σχήματα που φτιάχνω στον πίνακα.

[9/4] Το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων.

Θα γίνει μια μικρή αλλαγή προς το καλύτερο στην διαδικασία εξέτασης. Μπορείτε όλοι να γράψετε όλα τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος. Τα θέματα αυτά θα είναι δύο ειδών: θέματα τύπου πρώτης προόδου (πάνω στην ύλη της πρώτης προόδου) και θέματα τύπου δεύτερης προόδου (πάνω στην μετέπειτα ύλη). Ο τελικός βαθμός όσων από εσάς δεν εξετάστηκαν στην πρώτη πρόοδο θα είναι, φυσικά, ο βαθμός του τελικού διαγωνίσματος. Ο τελικός βαθμός όσων από εσάς εξετάστηκαν στην πρώτη πρόοδο θα είναι ο μεγαλύτερος ανάμεσα στον βαθμό σε όλα τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος και στον μέσο όρο των βαθμών της πρώτης προόδου και των θεμάτων τύπου δεύτερης προόδου του τελικού διαγωνίσματος. Εννοείται ότι όσοι θεωρούν τον βαθμό τους στην πρώτη πρόοδο εξαιρετικό (πχ 10) μπορούν στο τελικό διαγώνισμα να γράψουν μόνο τα θέματα τύπου δεύτερης προόδου. Με την αλλαγή αυτή δεν θα αντιμετωπίσετε στο τελικό διαγώνισμα το δίλημμα αν θα γράψετε όλα τα θέματα ή μόνο τα θέματα τύπου δεύτερης προόδου.

10η εβδομάδα (24-28/4).

[30/4] Περιληπτικά οι είκοσι πρώτες διαλέξεις.

[1/5] Το δέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

11η εβδομάδα (1-5/5).

[5/5] Περιληπτικά οι εικοσιδύο πρώτες διαλέξεις.

[6/5] Το ενδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

12η εβδομάδα (8-12/5).

[14/5] Περιληπτικά οι εικοσιτέσσερις πρώτες διαλέξεις. Επίσης, το δωδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων. Ασχοληθείτε με τις δύο πρώτες ασκήσεις. Οι υπόλοιπες θα γίνουν αφού δούμε κι άλλη θεωρία μέσα στην τελευταία εβδομάδα.

13η εβδομάδα (15-19/5).

[20/5] Περιληπτικά όλες οι εικοσιέξη διαλέξεις.

Σε λίγες μέρες θα αναρτήσω ένα ακόμη συγκεντρωτικό φυλλάδιο ασκήσεων εφ' όλης της ύλης.

[21/5] Να και το επαναληπτικό φυλλάδιο ασκήσεων. Καλή διασκέδαση!

Μετά το τέλος των μαθημάτων.

[15/6] Κάποια τελευταία πράγματα εν όψει του αυριανού τελικού Παπαδημητράκης vs φοιτητές.

1. Το διαγώνισμα θα έχει συνολική διάρκεια 3 ώρες. Θα μοιραστούν δύο κόλλες θεμάτων: η μία έχει θέματα με την αρχική ύλη (την ύλη της πρώτης προόδου) και η άλλη κόλλα έχει θέματα με την τελική ύλη. Όσοι φοιτητές θέλουν να διατηρήσουν τον βαθμό τους της πρώτης προόδου θα πρέπει να ασχοληθούν με την δεύτερη κόλλα και να την παραδώσουν μαζί με τις αντίστοιχες λύσεις μέσα σε μιάμιση ώρα από την αρχή της εξέτασης. Ο τελικός βαθμός όσων αποχωρήσουν στην μιάμιση ώρα θα είναι ο μέσος όρος του βαθμού της πρώτης προόδου και του βαθμού στα θέματα της δεύτερης κόλλας. Ο τελικός βαθμός όσων παραμείνουν και μετά την μιάμιση ώρα (και εφ' όσον έχουν παραδώσει την δεύτερη κόλλα με τις αντίστοιχες λύσεις) θα είναι ο μέγιστος εκ των: (α) βαθμός συνολικού τελικού διαγωνίσματος (πρώτη και δεύτερη κόλλα), (β) μέσος όρος του βαθμού της πρώτης προόδου και του βαθμού στα θέματα της δεύτερης κόλλας. Προσέξτε: Όσοι φοιτητές δεν παραδώσουν την δεύτερη κόλλα μαζί με τις αντίστοιχες λύσεις σε μιάμιση ώρα από την αρχή της εξέτασης χάνουν τον βαθμό της πρώτης προόδου. Γι αυτούς ο τελικός βαθμός θα είναι απλά ο βαθμός του συνολικού τελικού διαγωνίσματος.

2. Μερικές παρατηρήσεις τελευταίας στιγμής ως προς την ουσία των αυριανών θεμάτων.

Για τα θέματα πρώτης προόδου. Περιμένω να γνωρίζετε τα εξής: (α) Πώς βρίσκουμε το εφαπτόμενο επίπεδο και το κάθετο διάνυσμα στο γράφημα συνάρτησης δύο μεταβλητών καθώς και σε ισοσταθμική επιφάνεια συνάρτησης τριών μεταβλητών. Ομοίως για την εφαπτόμενη ευθεία και το κάθετο διάνυσμα στο γράφημα συνάρτησης μίας μεταβλητής και σε ισοσταθμική καμπύλη συνάρτησης δύο μεταβλητών. Ομοίως για την σχέση των προηγουμένων με το ανάδελτα (κλίση) της συνάρτησης. (β) Την σχέση του ανάδελτα μιας συνάρτησης με τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση (κατά κατεύθυνση παράγωγο). (γ) Υπολογισμό μερικών παραγώγων με εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας. (δ) Το νόημα του εσωτερικού γινομένου του ανάδελτα μιας συνάρτησης και της παραγώγου μιας καμπύλης, ειδικά όταν η καμπύλη περιέχεται (ή εφάπτεται) στην ισοσταθμική καμπύλη ή επιφάνεια της συνάρτησης. (δ) Πώς αποδεικνύουμε την παραγωγισιμότητα μιας σχετικά απλής συνάρτησης βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας.

Για τα θέματα δεύτερης προόδου. Περιμένω να γνωρίζετε τα εξής: (α) Πώς αποφασίζουμε αν ένα συγκεκριμένο σημείο είναι σημείο γνήσιου τοπικού μεγίστου ή ελαχίστου ή σαγματικό σημείο (ή τίποτα από αυτά) μιας συνάρτησης βάσει των κριτηρίων πρώτης και δεύτερης παραγώγου. (β) Πώς βρίσκουμε τα πιθανά ακρότατα μιας συνάρτησης υπό συνθήκη με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. (γ) Πώς κρίνουμε αν ένα σύστημα εξισώσεων μπορεί να λυθεί τοπικά ως προς κάποιες από τις μεταβλητές συναρτήσει των υπολοίπων, βάσει κατάλληλης Ιακωβιανής ορίζουσας. (δ) Πώς εφαρμόζουμε το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής για συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά και φραγμένα σύνολα και τί κάνουμε όταν το σύνολο είναι κλειστό αλλά όχι φραγμένο (έχουμε λύσει μερικές σχετικές ασκήσεις). Πώς, από τη στιγμή που έχουμε αποδείξει την ύπαρξη σημείου ολικού ακροτάτου, βρίσκουμε το σημείο ολικού ακροτάτου διακρίνοντας δύο περιπτώσεις: εσωτερικό σημείο (με κριτήριο πρώτης παραγώγου) και συνοριακό σημείο (με πολλαπλασιαστές Lagrange).

Ελπίζω στον αυριανό τελικό να μην νικήσω.

[18/6] Οι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.

Λίγο αργότερα, αν βρω χρόνο, θα ανεβάσω πιο αναλυτικά τους βαθμούς στα δύο μέρη του τελικού διαγωνίσματος. Επίσης, λίγο αργότερα θα ανεβάσω και τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος (εν όψει προετοιμασίας για τον Σεπτέμβρη).

[17/8] Δείτε τα θέματα Ιουνίου: εδώ είναι τα θέματα πάνω την πρώτη μισή ύλη και εδώ τα θέματα πάνω στην δεύτερη μισή ύλη. Στα θέματα πολλαπλής επιλογής φαίνεται η σωστή απάντηση ξεχωριστά (οι λάθος απαντήσεις είναι μέσα σε παρένθεση).

[18/8] Για την περίοδο Σεπτεμβρίου δεν θα μετρήσει ο βαθμός της πρώτης προόδου. Το διαγώνισμα θα είναι τρίωρο και θα περιλαμβάνει θέματα ανάπτυξης και πολλαπλής επιλογής. Οι παρατηρήσεις της [15/6] σχετικά με το τί περιμένω να γνωρίζετε ισχύουν και για το διαγώνισμα του Σεπτεμβρίου.

[9/9] Εδώ είναι οι βαθμοί των θεμάτων πολλαπλής επιλογής του σημερινού διαγωνίσματος. Ανώτατος βαθμός είναι το 7. Όταν διορθώσω και τα θέματα ανάπτυξης (ανώτατος βαθμός 3) θα αναρτήσω τους τελικούς βαθμούς.

[12/9] Εδώ eίναι οι τελικοί βαθμοί της περιόδου Σεπτεμβρίου.

Την Παρασκευή 15/9 και ώρα 11-2 μπορούν να έρθουν στο γραφείο μου όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους (μόνο του Απειροστικού Λογισμού ΙΙ).