Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2022-23

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ

Περιεχόμενα

• 1 Προκαταρκτικά.
  • 1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
  • 1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
  • 1.3 Προαπαιτούμενα.
  • 1.4 Βιβλίο.
  • 1.5 Βιβλιογραφία.
  • 1.6 Βαθμολόγηση.
  
  
• 2 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 1η εβδομάδα (26-30/9).
  • 2η εβδομάδα (3-7/9).
  • 3η εβδομάδα (10-14/10).
  • 7η εβδομάδα (7-11/11).
  • 8η εβδομάδα (14-18/11).
  • 10η εβδομάδα (28/11-2/12).
  • 13η εβδομάδα.

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Διπλό ολοκλήρωμα σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και σε γενικότερα χωρία του $\mathbb{R}^{2}$ και ιδιότητες. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε διαδοχικά απλά ολοκληρώματα και το θεώρημα του Fubini. Αλλαγή μεταβλητής σε διπλό ολοκλήρωμα.

Τριπλό ολοκλήρωμα σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και σε γενικότερα χωρία του $\mathbb{R}^{3}$ και ιδιότητες. Αναγωγή τριπλού ολοκληρώματος σε διαδοχικά απλά ολοκληρώματα και το θεώρημα του Fubini. Αλλαγή μεταβλητής σε τριπλό ολοκλήρωμα.

Γενικευμένο διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα.

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στον $\mathbb{R}^{n}$.

Παραμέτριση και αναπαραμέτριση καμπύλης. Μήκος καμπύλης. Προσανατολισμένη καμπύλη. Άθροισμα διαδοχικών καμπυλών.

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα βαθμωτού και διανυσματικού πεδίου στον $\mathbb{R}^{n}$ και ιδιότητες.

Παραμέτριση επιφάνειας στον $\mathbb{R}^{3}$. Εμβαδόν επιφάνειας. Προσανατολισμένη επιφάνεια. Άθροισμα διαδοχικών επιφανειών.

Επιφανειακό ολοκλήρωμα βαθμωτού και διανυσματικού πεδίου στον $\mathbb{R}^{3}$ και ιδιότητες.

Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου στον $\mathbb{R}^{3}$.

Το θεώρημα του Green για ολοκληρώματα σε χωρία του $\mathbb{R}^{2}$ (και οι διάφορες μορφές του).

Το θεώρημα του Stokes για επιφανειακά ολοκληρώματα στον $\mathbb{R}^{3}$. Η φυσική σημασία του στροβιλισμού διανυσματικού πεδίου.

Συντηρητικό/αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο. Πεδίο δυναμικού.

Το θεώρημα του Gauss για ολοκληρώματα σε χωρία του $\mathbb{R}^{3}$. Η φυσική σημασία της απόκλισης διανυσματικού πεδίου.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα (θεωρία) θα γίνονται Δευτέρα και Τετάρτη 1-3 στην αίθουσα Α201. Οι ασκήσεις θα γίνονται (από εμένα) Παρασκευή 9-11 στην αίθουσα Α201.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα και Τετάρτη 12-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι οι προηγούμενοι Απειροστικοί Λογισμοί, η Αναλυτική Γεωμετρία καθώς και η Γραμμική Άλγεβρα του πρώτου έτους.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω τα κεφάλαια 5-8 του βιβλίου "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden, Tromba.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος. Εξ άλλου θα αλλάξω σε πολλά σημεία τη σειρά παρουσίασης των διαφόρων θεμάτων.

1.5 Βιβλιογραφία.

Δύο πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Calculus" του Apostol (υπάρχει και η ελληνική μετάφραση, αλλά της παλιότερης αμερικάνικης έκδοσης) και το "Introduction to Calculus and Analysis" των Courant, John.

1.6 Βαθμολόγηση.

Στις 18 Νοεμβρίου θα γίνει προαιρετική πρόοδος πάνω στην πρώτη μισή ύλη του μαθήματος. Στο τέλος του εξαμήνου θα γίνει το τελικό διαγώνισμα.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (σημειώσεις, ασκήσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

Ειδικότερα, στο τέλος κάθε εβδομάδας, το σαββατοκύριακο, θα αναρτώ πρόχειρες σημειώσεις με ό,τι έκανα στη θεωρία, καθώς και ένα φυλλάδιο ασκήσεων με απαντήσεις (όχι λύσεις).

1η εβδομάδα (26-30/9).

[2/10] Οι διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας και το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Δυστυχώς δεν πρόλαβα να ζωγραφίσω σχήματα στο φυλλάδιο με τις διαλέξεις. Ελπίζω ότι στο εξής θα έχω χρόνο για (τουλάχιστον πρόχειρα) σχήματα.

2η εβδομάδα (3-7/9).

[8/10] Οι διαλέξεις της δεύτερης εβδομάδας και το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

[9/10] Πρόσθεσα (πρόχειρα) σχήματα στις διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας. Ελπίζω να βοηθούν. Και ελπίζω να καταφέρω σήμερα να προσθέσω σχήματα και στις διαλέξεις της δεύτερης εβδομάδας.

Προστέθηκαν σχήματα και στις διαλέξεις της δεύτερης εβδομάδας.

3η εβδομάδα (10-14/10).

[11/10] Η προαιρετική πρόοδος θα γίνει 9-11 στις 18 Νοεμβρίου.

[16/10] Οι διαλέξεις της τρίτης εβδομάδας και το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.

7η εβδομάδα (7-11/11).

[11/11] Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στην ύλη της τέταρτης, της πέμπτης και της έκτης εβδομάδας.

Η (προαιρετική) πρόοδος θα είναι πάνω στην ύλη των έξι πρώτων εβδομάδων: διπλά και τριπλά ολοκληρώματα (όχι γενικευμένα ολοκληρώματα).

Όλες οι διαλέξεις μέχρι και την έκτη εβδομάδα.

8η εβδομάδα (14-18/11).

[18/11] Τα αποτελέσματα της σημερινής προόδου. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογήθηκε με συν 2.5 μονάδες, και κάθε λάθος απάντηση με μείον 0.8 μονάδες. Στην λίστα περιλαμβάνονται μόνο οι φοιτητές του πρώτου τμήματος.

10η εβδομάδα (28/11-2/12).

[3/12] Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στα επικαμπύλια και στα επιφανειακά ολοκληρώματα.

[4/12] Όλες οι διαλέξεις μέχρι και την δέκατη εβδομάδα. Περιλαμβάνονται επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα.

13η εβδομάδα.

[3/1] Το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στα θεωρήματα Green, Stokes, Gauss.

[5/1] Όλες οι διαλέξεις Δεν χρειάζεται να διαβάσετε το ένατο κεφάλαιο (φυσική σημασία στροβιλισμού και απόκλισης) και το δέκατο κεφάλαιο (συντηρητικά πεδία). Η ύλη για το διαγώνισμα είναι μέχρι και το όγδοο κεφάλαιο. Στο ενδέκατο κεφάλαιο έχω γράψει κάποια επαναληπτικά πράγματα που μπορεί να σας φανούν χρήσιμα. Συγγνώμη για την καθυστέρηση, αλλά είχα εξαιρετικά πολλή δουλειά όλες αυτές τις μέρες πάνω σε άσχετα πράγματα (του πανεπιστημίου) που δεν επιδέχονταν αναβολή.

[6/1] Το τελικό διαγώνισμα, που θα γράψετε την ερχόμενη Δευτέρα, θα περιέχει 6 θέματα, από τα οποία τα 4 αναφέρονται στην ύλη του μαθήματος μετά από την πρόοδο, δηλαδή στα θεωρήματα του Green, του Stokes και του Gauss. Αυτά τα 4 θέματα ξεχωρίζουν με έναν διπλό αστερίσκο. Η διάρκεια της εξέτασης είναι δυόμιση ώρες. Όσοι θέλετε να κρατήσετε τον βαθμό σας της προόδου, θα λύσετε μόνο τα 4 θέματα με τον αστερίσκο, θα αναφέρετε στο χαρτί με τα θέματα και με τις απαντήσεις σας αλλά και στο πρόχειρό σας ότι κρατάτε τον βαθμό της προόδου, και θα αποχωρήσετε σε μία ώρα και σαρανταπέντε λεπτά. Τα θέματα είναι πολλαπλής επιλογής (με αρνητική βαθμολογία για τις λανθασμένες απαντήσεις). Έχω προσπαθήσει ώστε να παίξουν ελάχιστο ρόλο τα αριθμητικά λάθη. Όσοι λύσετε τα 4 θέματα με τον αστερίσκο (δηλαδή όσοι κρατήσετε τον βαθμό της προόδου) θα συμπληρώσετε απαντήσεις μόνο για αυτά τα 4 θέματα. Όλοι, φεύγοντας, θα παραδώσετε το χαρτί με τις απαντήσεις σας και το πρόχειρό σας.