Μιχάλης Παπαδημητράκης
Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης,
Λεωφόρος Κνωσσού, 714 09 Ηράκλειο,
Γραφείο: Γ 118,
E-mail: papadim AT math.uoc.gr, Τηλέφωνο: 2810393840
Το γραφείο μου είναι στο Γ118 και οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα 11-12, Τρίτη 10-11 και Τετάρτη 11-12. Αν δεν μπορείτε να έρθετε στις ώρες γραφείου μου, επικοινωνήστε μαζί μου για να κανονίσουμε συνάντηση κάποια άλλη ώρα.
Δείτε εδώ κάποιες βασικές γνώσεις από τη γραμμική άλγεβρα των ευκλείδειων χώρων.
Νόρμα και εσωτερικό γινόμενο στον ευκλείδειο χώρο.
Μπάλες και ορθ. παραλληλεπίπεδα.
Ανοικτά και κλειστά σύνολα. Εσωτερικά σημεία, εξωτερικά σημεία και συνοριακά σημεία υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου.
Επειδή παρουσιάστηκε κάποιο πρόβλημα με την ανακοίνωση του ωρολόγιου προγράμματος, όσοι δεν ήρθατε την πρώτη μέρα δείτε εδώ για μια σύνοψη όσων παρέδωσα.
Χαρακτηρίσαμε τα ανοικτά σύνολα σε σχέση με τα εσωτερικά τους σημεία και σε σχέση με τα συνοριακά τους σημεία. Επίσης, χαρακτηρίσαμε τα κλειστά σύνολα
σε σχέση με τα συνοριακά τους σημεία.
Μιλήσαμε για ενώσεις και τομές ανοικτών συνόλων καθώς και για ενώσεις και τομές κλειστών συνόλων.
Συμπαγή σύνολα. Παραδείγματα συμπαγών και μη-συμπαγών συνόλων.
Αποδείξαμε ότι κάθε συμπαγές σύνολο είναι κλειστό και φραγμένο.
Είμαστε στη μέση της απόδειξης ότι κάθε κλειστό ορθ. παραλληλεπίπεδο είναι συμπαγές.
Τελειώσαμε την απόδειξη ότι κάθε κλειστό ορθ. παραλληλεπίπεδο είναι συμπαγές.
Αποδείξαμε ότι κλειστό υποσύνολο συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές.
Αποδείξαμε ότι κάθε κλειστό και φραγμένο σύνολο είναι συμπαγές.
Αποδείξαμε ότι ένα κλειστό σύνολο και ένα συμπαγές σύνολο τα οποία είναι ξένα έχουν θετική μεταξύ τους απόσταση.
Ορίσαμε τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας για συνάρτηση ορισμένη σε υποσύνολο ενός ευκλείδειου χώρου και με τιμές σε έναν άλλο ευκλείδειο χώρο.
Αποδείξαμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής αν και μόνο αν όλες οι συντεταγμένες συναρτήσεις της είναι συνεχείς.
Μιλήσαμε για τη συνέχεια σε σχέση με τις απλές αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση συναρτήσεων κλπ.) και σε σχέση με τη σύνθεση συναρτήσεων.
Δείτε εδώ για μερικές ασκήσεις.
Η (προαιρετική) πρόοδος θα γίνει το Σάββατο 28-4-2012, αμέσως μετά τις απαραίτητες προσευχές του Πάσχα, σε αίθουσες και ώρα που θα ανακοινωθούν σύντομα.
Το μάθημα δεν έγινε. Οι γνώμες διίστανται αν οι λόγοι ήταν συμβολικοί οι πρακτικοί.
Τέλος πάντων, το θέμα είναι πολύ λυπηρό: και για τις αιτίες (ποιές άραγε;) που προκαλούν αυτές τις αντιδράσεις αλλά και για τον τρόπο αντίδρασης.
Το μάθημα δεν θα γίνει ούτε τη Δευτέρα.
Και τα δυο μαθήματα θα αναπληρωθούν σε ημέρες και ώρες που θα ανακοινώσω σύντομα.
Και για να μην ξεχνιόμαστε και σκουριάζουμε, δείτε εδώ για παραπάνω ασκήσεις.
Και κάτι ακόμη: Κάποια θέματα που θα δούμε στη διάρκεια του εξαμήνου είναι αρκετά θεωρητικά και σκέφτομαι να τα διατυπώνω αλλά να μην τα αποδεικνύω. Πιθανόν κάποιοι από εσάς να ενδιαφέρεστε να μάθετε κάτι παραπάνω αλλά και να δοκιμάσετε τον εαυτό σας. Σκέφτομαι, λοιπόν, να αναθέσω σε όσους δείξουν ενδιαφέρον κάποια θεωρητικά θέματα να τα μελετήσουν και να τα παρουσιάσουν εκτός κανονικού μαθήματος. Περιμένω εκδήλωση ενδιαφέροντος.
Αποδείξαμε ότι η αντίστροφη εικόνα μέσω συνεχούς συνάρτησης ενός ανοικτού συνόλου είναι τομή ανοικτού συνόλου με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Είδαμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του αποτελέσματος για αναγνώριση ανοικτών συνόλων.
Αποδείξαμε ότι η εικόνα μέσω συνεχούς συνάρτησης ενός συμπαγούς υποσυνόλου του πεδίου ορισμού της συνάρτησης είναι συμπαγές σύνολο.
Αποδείξαμε ότι ένα συμπαγές υποσύνολο της ευθείας έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο.
Αποδείξαμε ότι μια συνεχής πραγματική συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
Είδαμε τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας.
Αποδείξαμε ότι μια συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό.
Ορίσαμε την παραγωγισιμότητα συνάρτησης πολλών μεταβλητών σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της.
Αποδείξαμε ότι η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια.
Δείτε εδώ για ασκήσεις. Όσο πιο δύσκολες τόσο περισσότερα αστεράκια έχουν. Πρέπει όλοι να μπορείτε να λύσετε τις ασκήσεις χωρίς αστεράκια. Όσοι έχετε πρόβλημα, το συντομότερο στο γραφείο μου.
Αποδείξαμε τους τύπους για την παράγωγο αθροίσματος και υπολογίσαμε την παράγωγο αφφινικής συνάρτησης και την παράγωγο σταθερής συνάρτησης.
Αποδείξαμε δυο βασικές ανισότητες για γραμμικούς μετασχηματισμούς.
Αποδείξαμε τον κανόνα της αλυσίδας.
Αποδείξαμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν και μόνο αν οι συντεταγμένες συναρτήσεις της είναι όλες παραγωγίσιμες.
Ορίσαμε τις μερικές παραγώγους.
Αποδείξαμε ότι, αν μια συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και υπάρχουν οι μερικές παράγωγοί της στο σημείο
αυτό, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται στο σημείο αυτό.
Δείτε εδώ
για ασκήσεις.
Μαθήματα αναπλήρωσης: Σάββατο 17-3-2012 και Σάββατο 31-3-2012, 4-6 στην Θ201.
Αποδείξαμε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο, τότε υπάρχουν οι μερικές παράγωγοί της στο σημείο αυτό και είδαμε τη σχέση
ανάμεσα στις μερικές παραγώγους και την παράγωγο.
Αποδείξαμε (το περίπου αντίστροφο του προηγούμενου) ότι, αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης σε μια περιοχή ενός σημείου και είναι
όλες συνεχείς στο σημείο αυτό, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ίδιο σημείο.
Είδαμε και παράδειγμα εφαρμογής των δυο παραπάνω αποτελεσμάτων για απόδειξη παραγωγισιμότητας και εύρεση παραγώγου από τις μερικές παραγώγους.
Τέλος, αποδείξαμε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ενός ευθ. τμήματος και γνωρίζουμε ένα άνω φράγμα των μερικών παραγώγων της
στο ευθ. τμήμα, τότε υπάρχει ένα συγκεκριμένο άνω φράγμα του λόγου της απόστασης ανάμεσα στις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του ευθ. τμήματος
προς το μήκος του ευθ. τμήματος.
Δείτε εδώ για ασκήσεις.
Υπενθυμίζω τα μαθήματα αναπλήρωσης: Σάββατο 17-3-2012 και Σάββατο 31-3-2012, 4-6 στην Θ201.
Αποδείξαμε το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης (εκτός από ένα τελευταίο σημείο).
Δείτε εδώ για ασκήσεις.
Τελειώσαμε την απόδειξη του θεωρήματος αντίστροφης απεικόνισης και κάναμε διάφορα σχόλια. Ένα από αυτά είναι σχετικό με τη διαφορά ανάμεσα στη διάσταση 1 και στις ανώτερες διαστάσεις. Αν μια πραγματική συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα της πραγματικής ευθείας, είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και η παράγωγός της δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του διαστήματος, τότε συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα σε ολόκληρο το διάστημα και επομένως αντιστρέψιμη. Αν, όμως, η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό υποσύνολο ενός ευκλείδειου χώρου διάστασης μεγαλύτερης του 1 με τιμές σε ευκλείδειο χώρο ίδιας διάστασης, είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό σύνολο και η παράγωγός της είναι συνεχής και (η ορίζουσά της) δε μηδενίζεται σε κανένα σημείο του ανοικτού συνόλου, τότε δεν συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα σε ολόκληρο το ανοικτό σύνολο. Συνεπάγεται μόνο ότι η συνάρτηση είναι "τοπικά" ένα-προς-ένα. Δηλαδή, ότι αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο του πεδίου ορισμού μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό υποσύνολο του πεδίου ορισμού (το οποίο μπορεί να είναι πολύ μικρό) γύρω από το σημείο που επιλέξαμε ώστε η συνάρτηση περιορισμένη σε αυτό το υποσύνολο να είναι ένα-προς-ένα.
Αποδείξαμε το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης.
Δείτε εδώ για ασκήσεις.
Ορίσαμε τον όγκο ενός (κλειστού ή ανοικτού) ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Μιλήσαμε για διαμερίσεις ενός κλειστού ορθ. παρ/πέδου. Ορίσαμε τα άνω και
κάτω αθροίσματα Darboux μιας φραγμένης συνάρτησης σε κλειστό ορθ. παρ/πεδο ως προς μια διαμέριση του ορθ. παρ/πέδου.
Αποδείξαμε ότι το κάτω άθροισμα Darboux είναι μικρότερο από ή ίσο με το άνω άθροισμα Darboux (ως προς την ίδια διαμέριση). Αποδείξαμε ότι, αν η διαμέριση λεπταίνει, τότε το κάτω άθροισμα
Darboux δεν μικραίνει και το άνω άθροισμα Darboux δεν μεγαλώνει. Τέλος, αποδείξαμε ότι κάθε κάτω άθροισμα Darboux είναι μικρότερο από ή ίσο με κάθε άνω άθροισμα Darboux.
Ορίσαμε το κάτω και το άνω ολοκλήρωμα μιας φραγμένης συνάρτησης σε κλειστό ορθ. παρ/πεδο. Ορίσαμε πότε μια φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κλειστό
ορθ. παρ/πεδο και το ολοκλήρωμά της.
Αποδείξαμε ότι μια σταθερή συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κλειστό ορθ. παρ/πεδο και ότι το ολοκλήρωμά της είναι ίσο με την τιμή της επί τον όγκο του ορθ. παρ/πέδου. Αποδείξαμε ότι η συνάρτηση Dirichlet δεν είναι ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε κλειστό ορθ. παρ/πεδο (με θετικό όγκο).
Αποδείξαμε το κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemann.
Αποδείξαμε ότι μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό ορθ. παρ/πεδο είναι ολοκληρώσιμη στο ορθ. παρ/πεδο.
Αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, διάφορα αποτελέσματα για άθροισμα συναρτήσεων, γινόμενο συναρτήσεων, γινόμενο συνάρτησης με σταθερά, ανισότητες, απόλυτες τιμές κλπ, τα οποία είναι
γενικεύσεις αντίστοιχων γνωστών αποτελεσμάτων για συναρτήσεις μιας μεταβλητής. (Δείτε τις ασκήσεις τις επόμενης Δευτέρας.)
Ορίσαμε την έννοια του συνόλου μέτρου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι ένα υποσύνολο ενός συνόλου μέτρου μηδέν είναι σύνολο μέτρου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι η ένωση αριθμήσιμου πλήθους συνόλων μέτρου μηδέν είναι σύνολο μέτρου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι κάθε αριθμήσιμο σύνολο είναι μέτρου μηδέν.
Ορίσαμε την έννοια του συνόλου περιεχομένου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι ένα υποσύνολο ενός συνόλου περιεχομένου μηδέν είναι σύνολο περιεχομένου μηδέν. Αποδείξαμε ότι η ένωση πεπερασμένου πλήθους συνόλων περιεχομένου μηδέν
είναι σύνολο περιεχομένου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι περιεχομένου μηδέν.
Αποδείξαμε ότι, αν ένα σύνολο είναι περιεχομένου μηδέν, τότε είναι μέτρου μηδέν. Αποδείξαμε το αντίστροφο για συμπαγή σύνολα.
Αποδείξαμε ότι ένα (κλειστό ή ανοικτό) ορθ. παρ/πεδο με θετικό όγκο δεν είναι μέτρου μηδέν ούτε περιεχομένου μηδέν.
Αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, το βασικό θεώρημα του Lebesgue: Μια φραγμένη συνάρτηση σε κλειστό ορθ. παρ/πεδο είναι ολοκληρώσιμη στο ορθ. παρ/πεδο αν και μόνο αν το
σύνολο των σημείων ασυνέχειάς της είναι μέτρου μηδέν.
Δείτε εδώ για ασκήσεις.
Υπενθυμίζω το μάθημα αναπλήρωσης: Σάββατο 31-3-2012, 4-6 στην Θ201.
Αποδείξαμε ότι το σύνολο των συνοριακών σημείων ενός συνόλου είναι κλειστό και ότι το σύνολο των συνοριακών σημείων ενός φραγμένου συνόλου είναι φραγμένο (και, επομένως, συμπαγές).
Ορίσαμε την χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου.
Αποδείξαμε ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός φραγμένου συνόλου είναι ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε ορθ. παρ/πεδο περιέχει το σύνολο αν και μόνο αν το σύνολο των συνοριακών σημείων
του συνόλου είναι μέτρου μηδέν ή, ισοδύναμα, περιεχομένου μηδέν.
Ορίσαμε τα Jordan-μετρήσιμα σύνολα και τον όγκο ενός Jordan-μετρήσιμου συνόλου.
Αναφέραμε χωρίς απόδειξη ότι, αν δυο σύνολα είναι Jordan-μετρήσιμα, τότε η ένωσή τους και η τομή τους είναι Jordan-μετρήσιμα σύνολα. Επίσης, αν ένα σύνολο είναι Jordan-μετρήσιμο
και περιέχεται σε ένα ορθ. παρ/πεδο, τότε η συνολοθεωρητική διαφορά του συνόλου από το ορθ. παρ/πεδο είναι Jordan-μετρήσιμο σύνολο.
Αποδείξαμε ότι το γράφημα μιας συνεχούς (πραγματικής) συνάρτησης σε ορθ. παρ/πεδο είναι μέτρου μηδέν ή, ισοδύναμα, περιεχομένου μηδέν και ότι το σύνολο που βρίσκεται κάτω από το γράφημα
μέχρι κάποιο ύψος αλλά και το σύνολο που βρίσκεται πάνω από το γράφημα μέχρι κάποιο ύψος είναι Jordan-μετρήσιμα σύνολα και αναφέραμε τύπους για τους όγκους αυτών των συνόλων συναρτήσει του
ολοκληρώματος της συνάρτησης.
Ορίσαμε το ολοκλήρωμα συνάρτησης σε Jordan-μετρήσιμο σύνολο.
Διατυπώσαμε χωρίς απόδειξη το θεώρημα του Fubini.
Διατυπώσαμε χωρίς απόδειξη το θεώρημα για την αλλαγή μεταβλητής σε ολοκλήρωμα.
Θυμηθήκαμε την έννοια του δυικού γραμμικού χώρου ενός γραμμικού χώρου και την έννοια της δυικής βάσης (του δυικού χώρου) μιας βάσης (του χώρου).
Ορίσαμε την έννοια του k-τανυστή επί ενός γραμμικού χώρου. Είδαμε τα δυο κλασσικά παραδείγματα: το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στον ευκλείδειο χώρο ως παράδειγμα 2-τανυστή και την
ορίζουσα n επί n πινάκων ως παράδειγμα n-τανυστή στον ευκλείδειο χώρο (διάστασης n).
Ορίσαμε το άθροισμα δυο k-τανυστών και το γινόμενο αριθμού και k-τανυστή. Επομένως, το σύνολο των k-τανυστών είναι γραμμικός χώρος.
Ορίσαμε το τανυστικό γινόμενο ενός k-τανυστή και ενός l-τανυστή (επί του ίδιου γραμμικού χώρου) και είδαμε διάφορες αλγεβρικές ιδιότητες του τανυστικού γινομένου (προσεταιριστική,
επιμεριστική κλπ).
Χρησιμοποιώντας μια βάση του γραμμικού χώρου (πεπερασμένης διάστασης) και τη δυική βάση του δυικού χώρου, κατασκευάσαμε συγκεκριμένη βάση του συνόλου των k-τανυστών επί του γραμμικού χώρου.
Δείτε εδώ
για ασκήσεις.
Η πρώτη (προαιρετική) πρόοδος θα γίνει το Σάββατο 28-4-2012, 4-6 στην Θ201.
Αν έχουμε έναν γραμμικό τελεστή ανάμεσα σε δυο γραμμικούς χώρους, θυμηθήκαμε ποιος είναι ο δυικός τελεστής και ορίσαμε πώς ο δυικός τελεστής απεικονίζει k-τανυστές επί του δεύτερου
γραμμικού χώρου σε k-τανυστές επί του πρώτου γραμμικού χώρου.
Θυμηθήκαμε ότι, αν έχουμε ένα εσωτερικό γινόμενο σε έναν γραμμικό χώρο, τότε υπάρχει βάση του γραμμικού χώρου η οποία είναι ορθοκανονική ως προς το συγκεκριμένο εσωτερικό γινόμενο.
Ορίσαμε την έννοια του εναλλάσσοντα k-τανυστή.
Αποδείξαμε ότι, αν το k είναι μεγαλύτερο από τη διάσταση του γραμμικού χώρου, τότε κάθε εναλλάσσων k-τανυστής ω είναι μηδενικός, ω=0. Αποδείξαμε ότι, αν αναδιατάξουμε τα
διανύσματα-μεταβλητές ενός εναλλάσσοντα k-τανυστή ω, τότε η τιμή του ω πολλαπλασιάζεται με το πρόσημο της συγκεκριμένης αναδιάταξης.
Ορίσαμε τον εναλλάσσοντα ενός k-τανυστή και αποδείξαμε ότι ο εναλλάσσων ενός k-τανυστή είναι εναλλάσσων k-τανυστής.
Ορίσαμε το γινόμενο-σφήνα δυο εναλλασσόντων k-τανυστών και αναφέραμε μερικές βασικές ιδιότητες του γινομένου-σφήνα, αποδεικνύοντας κάποιες από αυτές.
Χρησιμοποιώντας μια βάση του γραμμικού χώρου και τη δυική βάση του δυικού χώρου, κατασκευάσαμε συγκεκριμένη βάση του συνόλου των εναλλασσόντων k-τανυστών επί του γραμμικού χώρου.
Αποδείξαμε ότι, αν αλλάξουμε τα k διανύσματα-μεταβλητές ενός εναλλάσσοντα k-τανυστή ω μέσω ενός kxk πίνακα, τότε η τιμή του ω πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα του πίνακα.
Ορίσαμε μια σχέση ανάμεσα σε δυο οποιεσδήποτε βάσεις ενός γραμμικού χώρου ανάλογα με το πρόσημο της ορίζουσας του πίνακα μετατροπής της μιας βάσης στην άλλη και αποδείξαμε ότι
αυτή η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας και ότι καθορίζονται ακριβώς δυο κλάσεις ισοδυναμίας: οι κλάσεις αυτές ονομάζονται προσανατολισμοί του γραμμικού χώρου.
Αποδείξαμε ότι, αν n είναι η διάσταση του γραμμικού χώρου, τότε κάθε εναλλάσσων n-τανυστής έχει τιμή με θετικό πρόσημο σε κάθε βάση ενός από τους δυο προσανατολισμούς και τιμή με αρνητικό πρόσημο σε κάθε βάση του άλλου προσανατολισμού.
Αν έχουμε ένα εσωτερικό γινόμενο σε έναν γραμμικό χώρο, τότε είδαμε ότι ο πίνακας μετατροπής δυο ορθοκανονικών (ως προς το ίδιο αυτό εσωτερικό γινόμενο) βάσεων είναι ορθογώνιος, οπότε
έχει ορίζουσα ίση με 1 ή -1. Αν n είναι η διάσταση του γραμμικού χώρου και αν ονομάσουμε έναν από τους δυο προσανατολισμούς θετικό, αποδείξαμε ότι υπάρχει μοναδικός εναλλάσσων
n-τανυστής ο οποίος έχει τιμή 1 σε κάθε ορθοκανονική βάση με θετικό προσανατολισμό και τιμή -1 σε κάθε ορθοκανονική βάση με αρνητικό προσανατολισμό. Αυτός ο εναλλάσσων n-τανυστής
ονομάζεται στοιχειώδης όγκος του γραμμικού χώρου.
Ορίσαμε την έννοια του εξωτερικού γινομένου στον n-διάστατο ευκλείδειο χώρο και είδαμε μερικές βασικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου.
Ορίσαμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου και διάφορες "πράξεις" διανυσματικών πεδίων (πρόσθεση, γινόμενο με αριθμό, γινόμενο με συνάρτηση, εσωτερικό γινόμενο, απόκλιση κλπ).
Ορίσαμε την έννοια της διαφορικής k-μορφής σε υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου (μια συνάρτηση είναι 0-μορφή).
Ορίσαμε το διαφορικό μιας συνάρτησης (δηλαδή μιας 0-μορφής). Το διαφορικό μιας συνάρτησης είναι μια 1-μορφή.
Αποδείξαμε ότι, αν x1, . . . ,xn είναι οι στοιχειώδεις συναρτήσεις-συντεταγμένων του n-διάστατου ευκλείδειου χώρου, τότε τα διαφορικά dx1, . . . , dxn είναι οι βασικές
διαφορικές 1-μορφές και αποδείξαμε τον τύπο που εκφράζει το διαφορικό μιας συνάρτησης συναρτήσει αυτών των βασικών διαφορικών.
Αν έχουμε μια συνάρτηση από έναν ευκλείδειο χώρο σε έναν άλλο ευκλείδειο χώρο, καθορίσαμε πώς η συνάρτηση αυτή μετατρέπει διανυσματικά πεδία του πρώτου χώρου σε διανυσματικά πεδία του δεύτερου χώρου και πώς η συνάρτηση μετατρέπει διαφορικές k-μορφές του δεύτερου χώρου σε διαφορικές k-μορφές του πρώτου χώρου. Είδαμε διάφορες βασικές σχετικές ιδιότητες (και αποδείξαμε τον τύπο μετατροπής μιας διαφορικής 1-μορφής του δεύτερου χώρου σε διαφορική 1-μορφή του πρώτου χώρου).
Αν έχουμε μια συνάρτηση από έναν ευκλείδειο χώρο σε έναν άλλο ευκλείδειο χώρο, αποδείξαμε τον τύπο μετατροπής μιας διαφορικής n-μορφής του δεύτερου χώρου σε διαφορική n-μορφή
του πρώτου χώρου.
Ορίσαμε το διαφορικό μιας k-μορφής. Το διαφορικό μιας k-μορφής είναι μια (k+1)-μορφή.
Αποδείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του διαφορικού (ως τελεστή σε διαφορικές μορφές). Ειδικώτερα, τον "κανόνα γινομένου-σφήνα" καθώς και ότι, αν εφαρμοστεί δυο φορές το διαφορικό σε οποιαδήποτε k-μορφή, τότε προκύπτει η μηδενική (k+2)-μορφή.
Ορίσαμε τις έννοιες της κλειστής διαφορικής μορφής και της ακριβούς διαφορικής μορφής και είδαμε, εύκολα, ότι κάθε ακριβής διαφορική μορφή είναι κλειστή.
Αποδείξαμε ότι κάθε κλειστή 1-μορφή σε ολόκληρο τον διδιάστατο ευκλείδειο χώρο είναι ακριβής και αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, το θεώρημα του Poincare ότι κάθε κλειστή
διαφορική μορφή σε αστρόμορφο υποσύνολο του (n-διάστατου) ευκλείδειου χώρου είναι ακριβής.
Ορίσαμε την έννοια του n-κύβου σε υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου και είδαμε ότι αυτή η έννοια γενικεύει την έννοια της καμπύλης (n=1) και της επιφάνειας (n=2).
Ορίσαμε την έννοια της n-αλυσίδας σε υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου.
Ορίσαμε την έννοια του συνόρου μιας n-αλυσίδας. Το σύνορο μιας n-αλυσίδας είναι μια (n-1)-αλυσίδα.
Μελετήσαμε διεξοδικά το σύνορο μιας 1-αλυσίδας, μιας 2-αλυσίδας και μιας 3-αλυσίδας. Αποδείξαμε ότι το σύνορο του συνόρου μιας 2-αλυσίδας είναι η μηδενική 0-αλυσίδα και ότι το σύνορο
του συνόρου μιας 3-αλυσίδας είναι η μηδενική 1-αλυσίδα.
Αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, ότι, γενικότερα, το σύνορο του συνόρου μιας n-αλυσίδας είναι η μηδενική (n-2)-αλυσίδα.
Είδαμε διεξοδικά παράδειγμα 1-μορφής η οποία είναι κλειστή αλλά όχι ακριβής.
Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιας διαφορικής k-μορφής πάνω σε μια k-αλυσίδα.
Αποδείξαμε το θεώρημα του Stokes.
Θα γίνουν τρία δίωρα ασκήσεων στην Θ201 την Τρίτη (12-6), 10-12, την Πέμπτη (14-6), 2-4, και την Παρασκευή (15-6), 2-4.
Αλλαγή: Το δίωρο της Τρίτης θα γίνει στην Θ206, 4-6, αντί στην Θ201, 10-12. Τα άλλα δυο δίωρα δεν αλλάζουν.
Δείτε εδώ για ασκήσεις.
Δείτε εδώ για επιπλέον ασκήσεις.
Δείτε εδώ για επιπλέον ασκήσεις.
Όπως ανακοίνωσα στο μάθημα της Παρασκευής (15-6), το τελικό διαγώνισμα θα είναι με ανοικτές σημειώσεις.
Τα αποτελέσματα της εξέτασης Σεπτεμβρίου έχουν αναρτηθεί στον διάδρομο Γ λίγο πιο πέρα από το γραφείο μου. Αργότερα (σήμερα) θα τα αναρτήσω και σ'αυτήν την ιστοσελίδα.