Μιχάλης Παπαδημητράκης
Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης,
Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο
Γραφείο: Γ 211
E-mail: papadim AT math.uoc.gr και mihalis.papadimitrakis AT gmail.com, Τηλέφωνο: 2810393840
Το μιγαδικό επίπεδο, η σφαίρα του Riemann και η στερεογραφική προβολή.
Στοιχεία τοπολογίας του μιγαδικού επιπέδου. Ειδικώτερα, οι έννοιες της συμπάγειας και της συνεκτικότητας.
Όρια και συνέχεια.
Επικαμπύλια ολοκληρώματα.
Αναλυτικές συναρτήσεις. Παραδείγματα. Η εκθετική συνάρτηση και αναλυτικοί κλάδοι της λογαριθμικής συνάρτησης και των ριζών.
Το Τοπικό Θεώρημα του Cauchy (και συμπεράσματα σε αστρόμορφα σύνολα).
Ο δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο και οι τύποι του Cauchy (σε αστρόμορφα σύνολα). Αρχή Μεγίστου.
Σειρές Taylor και Laurent. Ανωμαλίες: αιρόμενες, πόλοι, ουσιώδεις. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.
Το Θεώρημα των Ολοκληρωτικών Υπολοίπων, η Αρχή Ορίσματος, το Θεώρημα του Rouchè και το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης.
Η έννοια της σύμμορφης απεικόνισης. Παραδείγματα με δίσκους, ημιεπίπεδα κλπ. Το Θεώρημα του Riemann (χωρίς απόδειξη).
Αποφασίστηκε (μετά από τα τρία πρώτα δίωρα μαθήματος) να καταργηθεί το τμήμα στο οποίο διδάσκω (σε συνεργασία με τον κύριο Νεστορίδη).
Επομένως,το μάθημα θα γίνεται σε ένα μόνο τμήμα με διδάσκοντα τον κύριο Γρυλλάκη.
Επειδή, όμως, είχα ήδη αρχίσει να αναρτώ εδώ κάποιες σημειώσεις μου και μερικοί φοιτητές μού ζήτησαν να συνεχίσω να το κάνω, αποφάσισα να ανταποκριθώ στην παράκληση αυτή. Ίσως βοηθήσουν αυτές οι σημειώσεις, αν και τονίζω ότι το μάθημα του κυρίου Γρυλλάκη μπορεί να έχει διαφορετική στόχευση.
Οι πρώτες σημειώσεις είναι εδώ.
Οι ανανεωμένες σημειώσεις είναι εδώ. Προστέθηκε ένα κεφάλαιο για την τοπολογία του
μιγαδικού επιπέδου.
Προσοχή στην τελευταία ενότητα με την έννοια της συνεκτικότητας. Η έννοια αυτή συνήθως δεν διδάσκεται σε ένα τυπικό μάθημα για μετρικούς
χώρους, αλλά παίζει σημαντικό ρόλο στη Μιγαδική Ανάλυση.
Δείτε εδώ. Προστέθηκε ένα κεφάλαιο για όρια και συνέχεια συναρτήσεων.
Ξαναδείτε εδώ. Πρόσθεσα και το κεφάλαιο για επικαμπύλια ολοκληρώματα.
Ανανεωμένες σημειώσεις εδώ. Νέο κεφάλαιο για αναλυτικές συναρτήσεις, εξισώσεις Cauchy - Riemann, συμμορφία και αρμονικές συναρτήσεις.
Στις σημειώσεις εδώ προστέθηκε ένα κεφάλαιο για τα βασικά παραδείγματα αναλυτικών συναρτήσεων: γραμμικοί κλασματικοί μετασχηματισμοί, εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση, δυνάμεις και ρίζες. Προσέξτε ιδιαιτέρως την λογαριθμική συνάρτηση και τις ρίζες και την σχετική έννοια του "αναλυτικού κλάδου".
Ένα ακόμη κεφάλαιο στις σημειώσεις εδώ. Περιλαμβάνει: Το Θεώρημα του Cauchy για τρίγωνα,
το Γενικό Θεώρημα του Cauchy σε αστρόμορφα σύνολα, δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο, οι τύποι του Cauchy για κύκλους αλλά και
για γενικές καμπύλες σε αστρόμορφα σύνολα, η άπειρη παραγωγισιμότητα μιας αναλυτικής συνάρτησης, το Θεώρημα του Liouville, η Αρχή Μεγίστου
και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.
Ζητώ συγγνώμη που δεν έχω καταφέρει να βάλω σχήματα στις σημειώσεις. Θα γίνει κι αυτό αλλά λίγο αργότερα. Μόλις βρω χρόνο.
Πρόσθεσα στο έβδομο κεφάλαιο μια ενότητα για το Θεώρημα του Morera. Δείτε εδώ.
Σε λίγες ημέρες θα ακολουθήσει το κεφάλαιο για σειρές Taylor, σειρές Laurent και πολλά άλλα.
Στις ήδη υπάρχουσες σημειώσεις πρόσθεσα σχήματα και έκανα κάποιες αλλαγές κυρίως στο τελευταίο κεφάλαιο. Νομίζω ότι τώρα είναι
πολύ καλύτερα. Δείτε εδώ.
Μέσα στην εβδομάδα θα προσθέσω το κεφάλαιο για σειρές Taylor, Laurent κλπ.
Δείτε εδώ τις σημειώσεις με το όγδοο κεφάλαιο για σειρές μιγαδικών αριθμών, για ακολουθίες συναρτήσεων και σειρές συναρτήσεων και ομοιόμορφη σύγκλιση, για δυναμοσειρές, για σειρές Taylor και Laurent, για ρίζες και την Αρχή Ταυτότητας και, τέλος, για μεμονωμένες ανωμαλίες (αιρόμενες ανωμαλίες, πόλους, ουσιώδεις ανωμαλίες).
Έχουν γίνει μερικές αλλαγές στο όγδοο κεφάλαιο, κυρίως στην τελευταία ενότητα για τις μεμονωμένες ανωμαλίες, και προστέθηκε η πρώτη ενότητα
του ένατου κεφαλαίου για τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Δείτε εδώ.
Πρόκειται να προσθέσω τα σχετικά με την Αρχή Ορίσματος, το Θεώρημα του Rouchè και το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης. Έτσι θα συμπληρωθεί η βασική προπτυχιακή ύλη του μαθήματος. Θα προσθέσω, επίσης, ένα κεφάλαιο με το Σφαιρικό Θεώρημα του Cauchy και ένα κεφάλαιο με μια εισαγωγή στο Θεώρημα Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann.