Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2016-17

Μιγαδική Ανάλυση (ΜΕΜ213 ή Μ2111)

Περιεχόμενα

• 1 Προκαταρκτικά.
  • 1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
  • 1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
  • 1.3 Προαπαιτούμενα.
  • 1.4 Βιβλίο.
  • 1.5 Βιβλιογραφία.
  • 1.6 Βαθμολόγηση.
  • 1.7 Ασκήσεις.
  
  
• 2 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 1η εβδομάδα (19-25/9).
  • 2η εβδομάδα (26/9-2/10).
  • 3η εβδομάδα (3-9/10).
  • 4η εβδομάδα (10-16/10).
  • 5η εβδομάδα (17-23/10).
  • 6η εβδομάδα (24-30/10).
  • 7η εβδομάδα (31/10-6/11).
  • 8η εβδομάδα (7-13/11).
  • 9η εβδομάδα (14-20/11).
  • 10η εβδομάδα (21-27/11).
  • 11η εβδομάδα (28/11-4/12).
  • 12η και 13η εβδομάδα (5-18/12).
  • 25/1/2017
  • 7/8/2017
  • 17/9/2017

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:

Μιγαδικό επίπεδο και σφαίρα του Riemann.

Στοιχεία τοπολογίας μιγαδικού επιπέδου. Ειδικώτερα, συμπάγεια και συνεκτικότητα.

Όρια και συνέχεια.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Αναλυτικές συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση και αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.

Τοπικό θεώρημα Cauchy (και συμπεράσματα σε αστρόμορφα σύνολα).

Δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο και τύποι Cauchy (σε αστρόμορφα σύνολα). Αρχή μεγίστου, θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας και θεωρήματα Liouville και Morera.

Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: αιρόμενες, πόλοι, ουσιώδεις. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.

Σύμμορφες απεικονίσεις. Παραδείγματα με δίσκους, ημιεπίπεδα κλπ. Θεώρημα Riemann (χωρίς απόδειξη).

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Δευτέρα και Τετάρτη 5-7 στην αίθουσα Α 201.

Οι ώρες γραφείου μου είναι (προσωρινά) Δευτέρα και Τετάρτη 4-5 ή άλλες ώρες μετά από συνεννόηση.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι οι Αναλύσεις 1 και 2 και οι τρείς Απειροστικοί Λογισμοί.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω αρκετά πιστά τις σημειώσεις μου. Ο,τιδήποτε παραλείπω στις διαλέξεις θα το σημειώνω στο ημερολόγιο μαθήματος παρακάτω. Επίσης, λίγο αργότερα θα προσθέσω κάποια πράγματα στο τέλος των σημειώσεων.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι οι σημειώσεις δεν υποκαθιστούν την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος (όσο προβληματική κι αν έχει γίνει αυτή λόγω του υπερβολικού πλήθους του ακροατηρίου).

1.5 Βιβλιογραφία.

Τρία πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Complex Variables" των Ash, Novinger, το "Functions of One Complex Variable" του Conway και το "Complex Variables" του Fisher. Δύο ακόμη καλά βιβλία είναι το "Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές" των Churchill, Brown και το "Μιγαδική Ανάλυση" των Bak, Newman.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα. Δεν θα έχουμε πρόοδο.

1.7 Ασκήσεις.

Γίνεται ένα δίωρο ασκήσεων Παρασκευή 1-3 στην αίθουσα Α 214.

Κάθε εβδομάδα θα αναρτώ ασκήσεις και ερωτήσεις, με τις απαντήσεις τους ή/και υποδείξεις για την λύση τους.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη που παραλείπω από τις σημειώσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

1η εβδομάδα (19-25/9).

[25/9] Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων (με απαντήσεις σε κάποιες από αυτές).

Διαβάστε όλα όσα περιέχονται στην ενότητα 1.1 των σημειώσεων και από την ενότητα 1.2 όλα τα σχετικά με το $\infty$ και το $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Πρέπει να κατανοήσετε τη διαφορά ανάμεσα στο $\infty$ του $\widehat{\mathbb{C}}$ και στα $-\infty$ και $+\infty$ του $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$. Προσέξτε: στο μάθημα δεν θα αναφερθούμε καθόλου στη στερεογραφική προβολή και στην τριδιάστατη μοναδιαία σφαίρα. Πρέπει να γνωρίζετε τις πράξεις (και τις απροσδιόριστες μορφές) στο $\widehat{\mathbb{C}}$ και το ότι το $z\to\infty$ ισοδυναμεί (εξ ορισμού) με το $\vert z\vert\to+\infty$. Τέλος, πρέπει να γνωρίζετε τις έννοιες της ευθείας, του κύκλου και του γενικευμένου κύκλου στο $\widehat{\mathbb{C}}$.

2η εβδομάδα (26/9-2/10).

[28/9] Διαβάστε την ενότητα 2.1. Αγνοήστε τις γενικότητες περί μετρικού χώρου και μετρικής καθώς και την χορδική μετρική στο $\widehat{\mathbb{C}}$. Όλες οι έννοιες που μάθαμε (εσωτερικά σημεία, συνοριακά σημεία, οριακά σημεία, ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα, κλπ, κλπ) θα τις σκεφτόμαστε στο πλαίσιο του μιγαδικού επιπέδου με την Ευκλείδεια μετρική. Το μόνο που χρειάζεται να ξέρετε σε σχέση με το $\infty$ είναι ο ορισμός των περιοχών του.

[30/9] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Με απαντήσεις και υποδείξεις.

[1/10] Δείτε το πρώτο φυλλάδιο ερωτήσεων. Απαντήστε τις (απλές) ερωτήσεις και μετά δείτε τις σωστές απαντήσεις στην πίσω σελίδα. Ομοίως για το δεύτερο φυλλάδιο ερωτήσεων.

3η εβδομάδα (3-9/10).

[8/10] Διαβάστε τις ενότητες 2.2 και 2.3 (δεν έχουμε κάνει τις προτάσεις 2.11 και 2.12 ακόμη). Παραλείψτε τα περί του $\widehat{\mathbb{C}}$.

Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων και το τρίτο φυλλάδιο ερωτήσεων.

4η εβδομάδα (10-16/10).

[11/10] Λόγω απουσίας μου από το Ηράκλειο, το μάθημα της ερχόμενης Δευτέρας 17/10 θα γίνει την Παρασκευή 21/10, 3-5 στην αίθουσα Α 201. Το μάθημα της Τετάρτης 19/10 θα γίνει κανονικά.

5η εβδομάδα (17-23/10).

[19/10] Αποδείξαμε τις προτάσεις 2.11 και 2.12 της ενότητας 2.3. Διαβάστε την ενότητα 2.4 μέχρι τον ορισμό της συνεκτικής συνιστώσας συνόλου. Παραλείψτε την πρόταση 2.14, τον ορισμό της αλληλουχίας σημείων και το θεώρημα 2.3. Αποδείξαμε ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα και κατ' επέκταση κάθε πολυγωνική γραμμή είναι συνεκτικό σύνολο με διαφορετικό τρόπο απ' ότι στις σημειώσεις: δεν βασιστήκαμε στο θεώρημα 2.3 αλλά σε βασικές έννοιες της ανάλυσης (ύπαρξη supremum).

Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων και το τέταρτο φυλλάδιο ερωτήσεων.

[23/10] Μιλήσαμε και για τις συνεκτικές συνιστώσες συνόλου και αποδείξαμε τις προτάσεις 2.16 και 2.17 (όχι την 2.18). Διαβάστε την ενότητα 3.1. Απέδειξα την πρόταση 3.5 ενώ δεν την αποδεικνύω στις σημειώσεις. Διαβάστε και τις ενότητες 3.2, 3.3 και 3.4. Μην ασχοληθείτε με την έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας και την πρόταση 3.12. Επίσης, δεν παρέδωσα την απόδειξη του θεωρήματος 3.2 (αν και καλό θα ήταν να την διαβάσετε.) Με άλλα λόγια, τελειώσαμε και το κεφάλαιο 3.

Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων.

6η εβδομάδα (24-30/10).

[29/10] Τελειώσαμε το κεφάλαιο 4 και από το κεφάλαιο 5 αναφέραμε μόνο τον ορισμό της παραγωγισιμότητας.

Το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων και το πέμπτο φυλλάδιο ερωτήσεων.

[30/10] Το έκτο φυλλάδιο ερωτήσεων.

7η εβδομάδα (31/10-6/11).

[6/11] Διαβάστε την ενότητα 5.1 (παραλείψτε ο,τιδήποτε σχετικό με το σημείο $\infty$). Από την ενότητα 5.2 αποδείξαμε ότι αν η $f=u+iv$ είναι παραγωγίσιμη στο $z_0$, τότε οι μερικές παράγωγοι των $u,v$ στο $z_0$ ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Αποδείξαμε και τις προτάσεις 5.8 και 5.9. Διαβάστε τα παραδείγματα της ενότητας 5.2. Τέλος, διαβάστε τις ενότητες 5.3 και 6.2. (Παραλείψαμε τις ενότητες 5.4 και 6.1.)

Το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων και το έβδομο φυλλάδιο ερωτήσεων.

8η εβδομάδα (7-13/11).

[13/11] Διαβάστε τις ενότητες 6.2 και 6.3.

Το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.

9η εβδομάδα (14-20/11).

[17/11] Διαβάστε την ενότητα 6.4 και την ενότητα 7.1 μέχρι πριν το θεώρημα 7.1.

Το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων.

10η εβδομάδα (21-27/11).

[24/11] Διαβάστε τις ενότητες 7.1 και 7.2.

Το δέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

11η εβδομάδα (28/11-4/12).

[30/11] Σήμερα δεν θα γίνει το μάθημα λόγω απουσίας μου από το Ηράκλειο. Θα αναπληρωθεί την Παρασκευή 1-3 στην Α 201. Οι ασκήσεις που γίνονται εκείνη την ώρα θα γίνουν 3-5 στην Α 201.

[4/12] Διαβάστε τις ενότητες 7.3, 7.4 και 7.5.

Το ενδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

12η και 13η εβδομάδα (5-18/12).

[17/12] Διαβάστε: (1) Την ενότητα 8.1 παραλείποντας το Λήμμα 8.1 και το Θεώρημα 8.3. (2) Την ενότητα 8.2 παραλείποντας την απόδειξη της πρότασης 8.10. (3) Την ενότητα 8.3 παραλείποντας τις αποδείξεις των θεωρημάτων 8.4 και 8.5 και κάθε αναφορά στο σημείο $\infty$. (Επίσης στις διατυπώσεις των θεωρημάτων 8.4 και 8.5 αντικαταστήστε την έκφραση "σε κάθε συμπαγές" με την έκφραση "σε κάθε κλειστό δίσκο".) (4) Την ενότητα 8.4 παραλείποντας την απόδειξη της πρότασης 8.15. (5) Την ενότητα 8.5 παραλείποντας το θεώρημα 8.6 και οτιδήποτε μετά από αυτό. (6) Την ενότητα 8.6 παραλείποντας το θεώρημα 8.7 (και το παράδειγμα μετά από αυτό) καθώς και τις προτάσεις 8.16, 8.17 και 8.18. (7) Από την ενότητα 9.1 παραλείψτε την απόδειξη του θεωρήματος 9.1, παραλείψτε την πρόταση 9.1, διαβάστε το παράδειγμα 9.1.4 και παραλείψτε οτιδήποτε μετά από αυτό.

Το δωδέκατο και δέκατο τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.

[18/12] Περιγράφω αυτά που περιμένω να γνωρίζετε από την ύλη που δίδαξα. Σε παρένθεση προτείνω κάποιες ασκήσεις που πρέπει να προσέξετε. Οι περισσότερες έχουν λυθεί από τον βοηθό (ή εμένα). Κατά ενότητα:

1.1. Στοιχειώδεις ιδιότητες των μιγαδικών και ειδικώτερα του ορίσματος. (Ασκήσεις: 11, 16, 17.)

2.4. Αναγνώριση απλών συνεκτικών συνόλων και ειδικώτερα ανοικτών συνεκτικών συνόλων (βάσει πολυγωνικών γραμμών). (Ασκήσεις: 4, 5.)

3.1. Χειρισμός απλών ορίων. (Ασκήσεις: 1.)

3.2. Η έννοια της συνέχειας. (Ασκήσεις: 1.)

3.4. Σχέση συνέχειας και συνεκτικότητας (π.χ. η ιδιότητα ενδιάμεσης τιμής). (Ασκήσεις: 3.)

4.4. Εκτίμηση επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων. (Ασκήσεις: 4.)

5.1. Η έννοια της αναλυτικότητας. (Ασκήσεις: 1, 2.)

5.2. Σχέση αναλυτικότητας και εξισώσεων Cauchy-Riemann. (Ασκήσεις: 1, 2, 4.)

6.2. Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. (Ασκήσεις: 2, 3, 4.)

6.3. Ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης. (Ασκήσεις: 2, 3.)

6.4. Υπολογισμός απλών $n$-οστών ριζών. (Ασκήσεις: 1, 2[α,β].)

7.1. Το θεώρημα του Cauchy για τρίγωνα.

7.2. Ύπαρξη παράγουσας αναλυτικής συνάρτησης. Το θεώρημα του Cauchy σε αστρόμορφα σύνολα. Η σχέση ανάμεσα στην ύπαρξη παράγουσας και στα επικαμύλια ολοκληρώματα. (Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 5.)

7.3. Το γεωμετρικό νόημα του δείκτη στροφής και ο τύπος υπολογισμού του με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα.

7.4. Οι τύποι του Cauchy (για τη συνάρτηση και τις παραγώγους της) για κύκλους αλλά και για γενικότερες κλειστές καμπύλες (σε αστρόμορφα σύνολα). Η άπειρη παραγωγισιμότητα αναλυτικής συνάρτησης. (Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4.)

7.5. Το θεώρημα του Liouville. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Η Αρχή Μεγίστου. (Ασκήσεις: 2, 4, 6.)

8.1. Εφαρμογή των κριτηρίων ρίζας και λόγου. (Ασκήσεις: 3, 4.)

8.2. Εφαρμογή ομοιόμορφης σύγκλισης στην εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος.

8.3. Υπολογισμός της ακτίνας (ή ακτίνων) σύγκλισης δυναμοσειράς (και με το κριτήριο λόγου) και εύρεση του δίσκου (ή δακτύλιου) σύγκλισης δυναμοσειράς. (Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4.)

8.4. Εύρεση της σειράς Taylor/Laurent απλών συναρτήσεων (π.χ. ρητών, εκθετικών). Χειρισμός με βάση τις παραγώγους στο κέντρο αλλά και με χρήση της γεωμετρικής ή της εκθετικής σειράς. Μια συνάρτηση μπορεί (με το ίδιο κέντρο αλλά σε διαφορετικούς δίσκους/δακτύλιους) να έχει παραπάνω από μία σειρά Taylor/Laurent. (Ασκήσεις: 1, 2.)

8.5. Πολλαπλότητα ρίζας. Μια συνάρτηση μηδενίζεται ταυτοτικά αν έχει ρίζα άπειρης πολλαπλότητας. (Ασκήσεις: 2, 3.)

8.6. Εύρεση μεμονωμένων ανωμαλιών και διαχωρισμός σε πόλους και ουσιώδεις ανωμαλίες. Υπολογισμός τάξης πόλου και εύρεση του ιδιάζοντος μέρους της σειράς Laurent για απλές συναρτήσεις (π.χ. ρητές, εκθετικές). Χειρισμός και με χρήση της γεωμετρικής ή της εκθετικής σειράς. (Ασκήσεις: 1, 2, 3.)

9.1. Υπολογισμός ολοκληρωτικού υπολοίπου σε απλές περιπτώσεις (π.χ. πόλου τάξης $N$). Υπολογισμός ολοκληρώματος ρητής συνάρτησης με βαθμό παρονομαστή κατά τουλάχιστον δύο μονάδες μεγαλύτερο από τον βαθμό αριθμητή και η οποία δεν έχει ανωμαλία στον πραγματικό άξονα. (Ασκήσεις: 1, 2, 3(πρώτο και δεύτερο ολοκλήρωμα).)

25/1/2017

Όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους μπορούν να έρθουν στο γραφείο μου μεθαύριο, Παρασκευή 27/1, 10-12.

Οι φοιτητές με τους παρακάτω αριθμούς μητρώου καλούνται για επανεξέταση στο γραφείο μου στις 2 την Παρασκευή 27/1.

ΑΜ: 4191, 1550, 4511, 1800, 2053, 4071, 4564, 4705, 4648, 4754, 4581, 4751, 4777, 1836, 4980, 4922, 5106.

7/8/2017

Τα διαγωνίσματα Ιανουαρίου, Φεβρουαρίου και Μαΐου είναι αυτά εδώ: Ιανουαρίου, Φεβρουαρίου και Μαΐου.

17/9/2017

Εδώ είναι οι βαθμοί περιόδου Σεπτεμβρίου. Όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους μπορούν να έρθουν την Τρίτη 11-2 στο γραφείο μου.