Μιχάλης Παπαδημητράκης
Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο
Γραφείο: Γ 211
E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com
Τηλέφωνο: 2810393840
Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:
Το μιγαδικό επίπεδο και η σφαίρα του Riemann. Σειρές αριθμών και συναρτήσεων. Επικαμπύλια ολοκληρώματα.
Ολόμορφες συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση και αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.
Τοπικό θεώρημα Cauchy (και συμπεράσματα σε κυρτά σύνολα). Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: πόλοι, ουσιώδεις.
Θεωρήματα Liouville και Morera. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Αρχή ταυτότητας. Αρχή μεγίστου.
Δείκτης στροφής καμπύλης. Ομοτοπία καμπυλών. Αλυσίδες και κύκλοι. Ομολογία. Σφαιρικό θεώρημα Cauchy.
Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.
Απλή συνεκτικότητα (τοπολογική, ομοτοπική, ομολογική). Πεπερασμένη συνεκτικότητα και βάσεις ομολογίας.
Ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή. Θεώρημα του Montel. Θεώρημα του Hurewicz.
Σύμμορφες απεικονίσεις. Θεώρημα Riemann.
Ό,τι άλλο προκύψει.
Τα μαθήματα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 9-11 στην αίθουσα Β212. Ίσως υπάρχει κι ένα δίωρο ασκήσεων Παρασκευή 9-11 στην Β212.
"Complex Analysis" (3rd ed) του Ahlfors, "Real and Complex Analysis" (3rd ed) του Rudin, "Complex Function Theory" (2nd ed) του Sarason.
Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα.
Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.
[24/9] Σημειώσεις
πάνω σε μετρικούς χώρους. Είναι μικρή παραλλαγή του αντίστοιχου
κεφαλαίου των σημειώσεών μου της Ανάλυσης. Επίσης αυτές είναι στα αγγλικά (sorry ...). Μπορείτε να τις συμβουλεύεστε για τις βασικές έννοιες
μετρικών χώρων (μάλλον μην ασχοληθείτε με τις ασκήσεις εκτός αν έχετε χρόνο και θέλετε να γνωρίσετε τα όριά σας).
[28/9] Το πρώτο φυλάδιο ασκήσεων. Οι ασκήσεις είναι για μετρικούς χώρους. Μην καταφύγετε στο google για βοήθεια γι αυτό αλλά και για τα επόμενα φυλάδια ασκήσεων. Είναι απείρως προτιμότερο να συνεργαστείτε ή να απευθυνθείτε σε εμένα όποτε χρειαστείτε βοήθεια.
[4/10] Το πρώτο μέρος των σημειώσεων. Σιγά-σιγά θα ανεβάζω καινούργια κομμάτια.
[5/10] Το δεύτερο φυλάδιο ασκήσεων.
[12/10] Το τρίτο φυλάδιο ασκήσεων.
[20/10] Το τέταρτο φυλάδιο ασκήσεων.
Οι σημειώσεις
με ένα νέο κεφάλαιο.
[26/10] Το πέμπτο φυλάδιο ασκήσεων.
Οι σημειώσεις
με ακόμη ένα νέο κεφάλαιο.
Από τώρα και μέχρι τέλους του εξαμήνου δεν θα ξανακάνουμε μάθημα (ασκήσεις) την Παρασκευή. Η προσέλευση είναι πολύ μικρή. Όποιος δυσκολεύεται
ή έχει απορίες πάνω στις ασκήσεις μπορεί οποτεδήποτε να με ρωτά για βοήθεια και υποδείξεις.
Η (μη υποχρεωτική) πρόοδος θα γίνει 9-11 την Παρασκευή 6/12. Η ύλη θα είναι ό,τι έκανα μέχρι και την τοπική συμπεριφορά ολόμορφης συνάρτησης.
[11/11] Το έκτο φυλάδιο ασκήσεων. (Υπάρχουν και τρεις καραμελίτσες στο τέλος.)
[18/11] Το έβδομο φυλάδιο ασκήσεων.
[22/11] Το όγδοο φυλάδιο ασκήσεων.
[25/12] Το ένατο φυλάδιο ασκήσεων.
Οι τελικές σημειώσεις. Έχουν γίνει αρκετές αλλαγές σε σχέση με τις προηγούμενες σημειώσεις.
(i) Έχει προστεθεί στο τέλος ένα κεφάλαιο για μετρικούς χώρους. Ουσιαστικά είναι αυτό που είχα ανεβάσει στις αρχές, ανεξάρτητα από τις σημειώσεις
του μαθήματος, με μία επιπλέον ενότητα για ομοιόμορφη σύγκλιση και με το θεώρημα Arzela-Ascoli.
(ii) Τα θεωρήματα των Weierstrass, Hurwitz και Montel είναι σε μία τελευταία ενότητα στο κεφάλαιο 5.
(iii) Στο κεφάλαιο 6 έχει αλλάξει λίγο η αρχή της ενότητας 6.4.
(iv) Έχει προστεθεί το κεφάλαιο 7 με την απλή συνεκτικότητα και με το θεώρημα του Riemann. Δεν είστε υποχρεωμένοι να διαβάσετε την ενότητα 7.3.
(v) Έχει προστεθεί το κεφάλαιο 8 με αυτά που παρουσίασα στο τέλος για το θέωρημα των Mittag-Leffler και τα διάφορα θεωρήματα του Weierstrass,
για απειρογινόμενα, και για τις συναρτήσεις γάμμα του Euler και ζήτα του Riemann. Δεν είστε υποχρεωμένοι να διαβάσετε το κεφάλαιο 8.
Merry Christmas !!!! με δεντράκι, μελομακάρονα, κουραμπιέδες και Frank Sinatra.