Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2021-22

Μιγαδική Ανάλυση (ΜΕΜ-213)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:

Μιγαδικοί αριθμοί, όρισμα, δυνάμεις, ρίζες.

Στοιχεία τοπολογίας μιγαδικού επιπέδου. Ειδικώτερα, συμπάγεια και συνεκτικότητα.

Όρια και συνέχεια.

Αναλυτικές συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Τοπικό θεώρημα Cauchy. Δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο και τύποι Cauchy.

Περιγραφή της έννοιας της απλής συνεκτικότητας και το γενικό θεώρημα Cauchy (χωρίς αποδείξεις).

Αρχή μεγίστου, θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας και θεωρήματα Liouville και Morera.

Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: αιρόμενες ανωμαλίες, πόλοι, ουσιώδεις ανωμαλίες. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων και υπολογισμοί ολοκληρωμάτων. Αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.

Σύμμορφες απεικονίσεις. Παραδείγματα με δίσκους, ημιεπίπεδα κλπ. Θεώρημα Riemann (χωρίς απόδειξη).

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Το μάθημα θα γίνεται (με φυσική παρουσία) 9-11 Τρίτη και Πέμπτη στην Α214. Ώρες γραφείου θα είναι Τετάρτη 9-11 στο Γ211.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι οι Αναλύσεις 1 και 2 και οι τρείς Απειροστικοί Λογισμοί.

1.4 Βιβλιογραφία.

Θα ακολουθήσω τις σημειώσεις μου.

Μερικά πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το Complex Variables των Ash, Novinger, το Functions of One Complex Variable του Conway, το Complex Variables του Fisher, και το Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές των Churchill, Brown.

1.5 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα. Ίσως γίνει (οπότε θα ανακοινωθεί λίγο αργότερα, αλλά έγκαιρα) κάποιο βοηθητικό ενδιάμεσο διαγώνισμα, το οποίο θα είναι οπωσδήποτε προαιρετικό.

1.6 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα αναρτώ ασκήσεις και ερωτήσεις, με τις απαντήσεις τους ή/και υποδείξεις για την λύση τους.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη που παραλείπω από τις σημειώσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

[28/9] Πολλοί από εσάς που θέλετε να εγγραφείτε στο μάθημα, ίσως δυσκολεύεστε, λόγω της γενικότερης υγειονομικής κατάστασης (εμβολιασμοί, πιστοποιητικά, τεστ, κλπ) να έρχεστε στις ώρες διδασκαλίας με φυσική παρουσία. Ιδιαίτερα όσοι δεν έχουν εμβολιαστεί ή δεν έχουν νοσήσει, καλό θα ήταν να μην προσέρχονται, για να προστατεύσουν τους εαυτούς τους αλλά και τους γύρω τους. Όσοι, λοιπόν, προτιμήσουν να μην έρχονται στις ώρες διδασκαλίας μπορούν να βλέπουν τα περσινά βίντεο (δείτε την περσινή ιστοσελίδα). Η ύλη που θα καλυφτεί φέτος δεν θα έχει ουσιαστικές διαφορές με την περσινή ύλη. Καλό θα ήταν, βέβαια, όλοι να παρακολουθούν τον ρυθμό του μαθήματος κοιτώντας αυτήν την ιστοσελίδα για τις εβδομαδιαίες ασκήσεις, για ανακοινώσεις, και πιθανά διαγωνίσματα.

[7/10] Οι σημειώσεις μου.

[18/10] Μέχρι τώρα έχουμε κάνει στην τάξη το πρώτο κεφάλαιο και την ενότητα 2.1 του δεύτερου κεφαλαίου των σημειώσεών μου. Για εξάσκηση λύστε τις εξής ασκήσεις (από τις σημειώσεις μου):

Ενότητα 1.2: 6, 12, 13, 14, 15, 19, 20, 23.

Ενότητα 1.3: 1, 3, 4, 8, 9.

Ενότητα 1.4: 1, 2, 3, 4.

Ενότητα 1.5: 1, 3.

Ενότητα 1.6: 1, 2, 4.

Ενότητα 2.1: 2, 3.

[14/11] Έχουμε ολοκληρώσει το δεύτερο κεφάλαιο των σημειώσεών μου καθώς και το τρίτο κεφάλαιο εκτός από ένα μέρος της ενότητας 3.5 και την ενότητα 3.6. Λύστε τώρα τις εξής ασκήσεις:

Ενότητα 2.1: 4*, 5*.

Ενότητα 2.3: 1, 2, 3*.

Ενότητα 2.4: 1, 2, 3, 4, 5, 6*, 7*.

Ενότητα 2.5: 1, 2*, 3*, 4, 5*.

Ενότητα 3.1: 1, 2, 3, 4, 5, 6*.

Ενότητα 3.2: 1, 2, 3, 4, 5*.

Ενότητα 3.3: 1, 2, 3*, 4*, 5.

Ενότητα 3.4: 1*, 2*.

Το * σημαίνει ότι η άσκηση είναι λίγο πιο δύσκολη.

[1/12] Θα γίνουν δύο αναπληρώσεις μαθημάτων: Τετάρτη 15 και 22 Δεκεμβρίου, 11-1 στην αίθουσα Ε204.

[3/12] Έχουμε τελειώσει το τρίτο, το τέταρτο και το πέμπτο κεφάλαιο των σημειώσεών μου (και έχουμε ξεκινήσει το έκτο). Δεν χρειάζεται να διαβάσετε τις ενότητες 5.4 και 5.6. Λύστε τις εξής ασκήσεις:

Ενότητα 3.5: 1, 2, 3.

Ενότητα 3.6: 1, 2.

Ενότητα 4.1: 1, 2*, 3.

Ενότητα 4.2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ενότητα 4.3: 1, 2, 3.

Ενότητα 4.4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ενότητα 5.1: 1, 2*, 3*.

Ενότητα 5.2: 1, 2, 3, 4, 5*, 6, 7*, 8*, 9**.

Ενότητα 5.3: 1, 2*.

[16/1] Έχουμε τελειώσει την ύλη. Δεν έχουμε καλύψει: τις ενότητες 4 και 6 του πέμπτου κεφαλαίου, την ενότητα 7 του έκτου κεφαλαίου, την ανάλυση ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα από την ενότητα 4 του όγδοου κεφαλαίου, τα παραδείγματα 2-7 στην ενότητα 5 του όγδοου κεφαλαίου, και την ενότητα 6 του όγδοου κεφαλαίου.

Λύστε τις εξής ασκήσεις:

Ενότητα 6.1: 1, 2.

Ενότητα 6.3: 1 (ii και iii), 2 (ii και iii).

Ενότητα 6.4: 1, 2.

Ενότητα 6.5: 1.

Ενότητα 6.6: 1, 3, 5.

Ενότητα 7.1: 1, 3, 4, 5.

Ενότητα 7.3: 1, 2, 3, 4, 6, 8.

Ενότητα 7.4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ενότητα 7.5: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ενότητα 7.6: 1, 2, 3.

Ενότητα 7.7: 1, 2, 3.

Ενότητα 8.1: 1, 2, 3, 4.

Ενότητα 8.2: 1, 2.

Ενότητα 8.3: 1, 2.

Ενότητα 8.4: 1, 2.

Ενότητα 8.5: 1 (τα δύο πρώτα ολοκληρώματα).

Τα πιο σημαντικά: Κεφάλαιο 5 (π.χ. τα σχετικά με εξισώσεις C-R), κεφάλαιο 6, κεφάλαιο 7 (ειδικά οι ενότητες 5 και 7, αλλά και το να μπορεί κάποιος να πει αν μία σειρά συγκλίνει), κεφάλαιο 8 (π.χ. ο υπολογισμός ολοκληρωτικών υπολοίπων, και ο υπολογισμός ολοκληρώματος ρητής συνάρτησης). Επίσης, από τα αρχικά κεφάλαια: υπολογισμός ορισμάτων, δυνάμεων, εκθετικών, ριζών (και των κλάδων τους), λογαρίθμων (και των κλάδων τους), αναγνώριση ανοικτών, κλειστών, συμπαγών και συνεκτικών συνόλων, εσωτερικών και συνοριακών σημείων, και φυσικά οι γνωστές ιδιότητες ορίων και συνέχειας.

Την ερχόμενη εβδομάδα θα βρίσκομαι στο γραφείο μου για ερωτήσεις και απορίες.

[9/3] Όποιος θέλει να δει το γραπτό του μπορεί να έρθει στο γραφείο μου 2-4 την ερχόμενη Παρασκευή, 11/3. Επίσης, όσοι φοιτητές με είχαν ειδοποιήσει μέχρι το τελικό διαγώνισμα ότι δεν μπορούν να συμμετάσχουν σ' αυτό λόγω θετικού τεστ covid, ας μου στείλουν μήνυμα να κανονίσουμε την εξέτασή τους μία από τις επόμενες μέρες.



Mihalis Papadimitrakis 2022-03-09