Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2016-17

Συναρτησιακή Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)

Περιεχόμενα

• 1 Προκαταρκτικά.
  • 1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
  • 1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
  • 1.3 Προαπαιτούμενα.
  • 1.4 Βιβλιογραφία.
  • 1.5 Ασκήσεις.
  • 1.6 Βαθμολόγηση.
  
  
• 2 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 1η εβδομάδα (6-10/2).
  • 2η εβδομάδα (13-17/2).
  • 3η εβδομάδα (20-24/2).
  • 4η εβδομάδα (27/2-3/3).
  • 5η εβδομάδα (6-10/3).
  • 6η εβδομάδα (13-17/3).
  • 7η εβδομάδα (20-24/3).
  • 8η εβδομάδα (27-31/3).
  • 9η εβδομάδα (3-7/4).
  • 10η εβδομάδα (24-28/4).
  • 11η εβδομάδα (1-5/5).
  • 12η εβδομάδα (8-12/5).
  • 13η εβδομάδα (15-19/5).

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.

Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής$-*$ σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες $\sigma(X,X^*)$, $\sigma(X^*,X)$, $\sigma(X^*,X^{**})$. Θεώρημα Alaoglou.

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.

Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Παρασκευή 9-11 στην αίθουσα Β 212. Θα γίνεται κι ένα δίωρο ασκήσεων/συζήτησης Τετάρτη 11-1 στην Β212.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα και Πέμπτη 12-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου (μέτρο, χώροι $L^p$ κλπ).

1.4 Βιβλιογραφία.

Ένα εξαιρετικό βιβλίο το οποίο είναι πολύ κοντά στο πώς σκέφτομαι το μάθημα είναι το "Functional Analysis" του Lax.

Άλλα βιβλία (κοντά στο μάθημα) είναι: το "A course in Functional Analysis" του Conway, το "Linear Analysis" του Bollobás, το "Functional Analysis" των Riesz, Nagy, το "Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.

1.5 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).

1η εβδομάδα (6-10/2).

[11/2] Περιληπτικά οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας.

Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

2η εβδομάδα (13-17/2).

[18/2] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Θα συνιστούσα να προσπαθείτε να λύνετε όλες τις ασκήσεις των φυλλαδίων. Ζητώ να μου φέρνετε λυμένες μικρό αριθμό ασκήσεων επειδή γνωρίζω ότι απαιτείται κάποιος χρόνος για την προσεκτική διατύπωση των λύσεων. Αλλά θεωρώ ότι όλες οι ασκήσεις που προτείνω έχουν κάποια αξία.

3η εβδομάδα (20-24/2).

[21/2] Από τώρα και στο εξής θα γίνεται ένα δίωρο ασκήσεων/συζήτησης κάθε Τετάρτη 11-1 στην Β212. Ειδικά αυτήν την εβδομάδα το δίωρο θα γίνει την Πέμπτη 9-11 στην Β212.

[25/2] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

[26/2] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.

4η εβδομάδα (27/2-3/3).

[4/3] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα και το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων.

5η εβδομάδα (6-10/3).

[11/3] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα και το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων.

6η εβδομάδα (13-17/3).

[15/3] Το σημερινό δίωρο ασκήσεων αναβάλλεται λόγω απουσίας μου από το Ηράκλειο.

[17/3] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

[18/3] Το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.

7η εβδομάδα (20-24/3).

[22/3] Το σημερινό δίωρο ασκήσεων αναβάλλεται λόγω απουσίας μου από το Ηράκλειο.

[24/3] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

[25/3] Το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων με αίσθημα Εθνικής Υπερηφάνειας συμμετέχει κι αυτό στην σημερινή μας εορτή.

8η εβδομάδα (27-31/3).

[28/3] Αποφάσισα να αλλάξω τον τρόπο βαθμολόγησης. Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει μόνο από το τελικό διαγώνισμα. Οι ασκήσεις δεν θα μετρήσουν στον τελικό βαθμό. Θα συνεχίσω να δίνω φυλλάδια ασκήσεων κάθε εβδομάδα αλλά δεν θα μου δίνετε λυμένη καμμία από αυτές. Ο λόγος είναι ότι μέχρι τώρα ελάχιστοι από εσάς μου δίνετε λυμένες ασκήσεις με συστηματικό τρόπο και σταθερό ρυθμό. Είναι κάποιοι από εσάς που δεν μου έχουν δώσει ποτέ ή ελάχιστες φορές λυμένες ασκήσεις.

[2/4] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

Το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.

9η εβδομάδα (3-7/4).

[8/4] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

Το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων.

10η εβδομάδα (24-28/4).

[29/4] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

Το δέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

11η εβδομάδα (1-5/5).

[5/5] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

[6/5] Το ενδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

12η εβδομάδα (8-12/5).

[13/5] Περιληπτικά όσα κάναμε μέχρι τώρα.

[14/5] Το δωδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

13η εβδομάδα (15-19/5).

[24/5] Για το τελικό διαγώνισμα δείτε (εκτός από την θεωρία) τις εξής ασκήσεις:

Φυλλάδιο 1: 1,5,7.
Φυλλάδιο 2: 1,2,5,6,7,10.
Φυλλάδιο 3: 3,4,5.
Φυλλάδιο 5: 1,2,3.
Φυλλάδιο 6: 1,2,3,4,7,8,9,10,11,14.
Φυλλάδιο 7: 1.
Φυλλάδιο 8: 1,7,8,11.
Φυλλάδιο 9: 2,3,4,6,8,10,11.
Φυλλάδιο 10: 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14.
Φυλλάδιο 11: 1,2,3,8,10.
Φυλλάδιο 12: 1,2,3,4,5,6,7,10,13.

Για ημερομηνία τελικού διαγωνίσματος προτείνω την Πέμπτη 15 Ιουνίου ή την Δευτέρα 19 Ιουνίου. Συνεννοηθείτε και στείλτε μου e-mail.

[18/6] Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει αύριο (όπως έχουμε πει) 10-2.