σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες
,
,
. Θεώρημα Alaoglou.
Μιχάλης Παπαδημητράκης
Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο
Γραφείο: Γ 211
E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com
Τηλέφωνο: 2810393840
Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.
Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.
Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες
,
,
. Θεώρημα Alaoglou.
Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.
Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.
Όλα αυτά (και πολλά περισσότερα) περιέχονται στις εκτενείς σημειώσεις μου. Στο μάθημα θα ακολουθήσω τις πιο στοχευμένες σημειώσεις μου, οι οποίες ουσιαστικά αποτελούν την ύλη που κάλυψα την τελευταία φορά που δίδαξα το μάθημα.
Τυπικά, τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 11-13.
Επειδή το πιθανότερο είναι ότι τα μαθήματα κι αυτού του εξαμήνου θα γίνουν εξ αποστάσεως, θα ανεβάζω βίντεο στο youtube, και θα χρησιμοποιήσω τις παραπάνω ώρες ως διαδικτυακές ώρες γραφείου.
Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου
για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και
ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές
και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο
μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου.
Η συναρτησιακή ανάλυση είναι πολύ φτωχή χωρίς παραδείγματα από την πραγματική ανάλυση (χώροι μέτρου, χώροι 
κ.τ.λ.).
"Functional Analysis" του Lax.
"A course in Functional Analysis" του Conway.
"Linear Analysis" του Bollobás.
"Functional Analysis" των Riesz, Nagy.
"Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.
Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.
Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).
Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).
[24/1] Δείτε τις σημειώσεις που ανέβασα πιο πάνω (εκεί που αναφέρομαι στο περιεχόμενο του μαθήματος).
[10/2] Για τις διαδικτυακές ώρες γραφείου θα χρησιμοποιούμε τα εξής links:
για Τρίτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92610845585,
για Πέμπτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92703920792.
Οι ώρες γραφείου θα ξεκινήσουν την δεύτερη εβδομάδα μαθημάτων, δηλαδή από Τρίτη 16-2.
[11/2] Ιδού το πρώτο βίντεο:
1. https://www.youtube.com/watch?v=nxNNTipYUOs
Είμαι πολύ αργός. (Ομολογώ ότι θα έκοβα φλέβες αν το παρακολουθούσα.) Αλλά θα συνεχίσω έτσι προσπαθώντας να γίνω όσο πιο κατανοητός γίνεται. Οι σημειώσεις είναι λίγο πιο "στεγνές".
Τα επόμενα βίντεο, πάντοτε πολύ αναλυτικά:
2. https://www.youtube.com/watch?v=Yl6vzkUZw28
3. https://www.youtube.com/watch?v=QDAC3JkLcvg
4. https://www.youtube.com/watch?v=EIZgBgJ1J9w
5. https://www.youtube.com/watch?v=9nyD5Vr6bPs
[16/2] Άλλα τέσσερα βίντεο:
6. https://www.youtube.com/watch?v=pgtHeq5iC6k
7. https://www.youtube.com/watch?v=cN9fXHZqidQ
8. https://www.youtube.com/watch?v=ujmyb2wV-jQ
9. https://www.youtube.com/watch?v=LgWGQN7E5vk
[20/2] To πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των τεσσάρων πρώτων ασκήσεων μέχρι την Τρίτη.
[28/2] Άλλα δέκα βίντεο.
10. https://www.youtube.com/watch?v=pUtwi8GvhqA
11. https://www.youtube.com/watch?v=62b2lZMZHwg
12. https://www.youtube.com/watch?v=ISd19Ot_wPk
13. https://www.youtube.com/watch?v=XONlxhcSnvE
14. https://www.youtube.com/watch?v=8u0fnAY4MsM
15. https://www.youtube.com/watch?v=JesMfH1ypBE
16. https://www.youtube.com/watch?v=L8G6W5TJ484
17. https://www.youtube.com/watch?v=B5egyQkjLKc
18. https://www.youtube.com/watch?v=D5NeD4IoCLU
19. https://www.youtube.com/watch?v=MO7UYMpqjuw
[5/3] Τα επόμενα έξι βίντεο.
20. https://www.youtube.com/watch?v=CVk4F2olVr0
21. https://www.youtube.com/watch?v=6Zty0Xdi0D0
22. https://www.youtube.com/watch?v=dH_DmUW18co
23. https://www.youtube.com/watch?v=7B4F05dU4aY
24. https://www.youtube.com/watch?v=cmw-xqh3rLI
25. https://www.youtube.com/watch?v=mA4DBVUCLso
[14/3] To δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των ασκήσεων 1, 2, 6, 10 μέχρι την Παρασκευή.
Επίσης, άλλα πέντε βίντεο. Το δεύτερο φυλλάδιο βασίζεται και σ' αυτά.
26. https://www.youtube.com/watch?v=8HHW4NlkShg
27. https://www.youtube.com/watch?v=8He-feXWBY4
28. https://www.youtube.com/watch?v=v5Ps9OAnoZM
29. https://www.youtube.com/watch?v=m9xm9nTnqRg
30. https://www.youtube.com/watch?v=DCRAsYcTveo
[24/3] Τα επόμενα πέντε βίντεο.
31. https://www.youtube.com/watch?v=tSOdOIgv4UM
32. https://www.youtube.com/watch?v=PQH4x1kQubU
33. https://www.youtube.com/watch?v=3J9BOzCjySk
34. https://www.youtube.com/watch?v=nbZ1uWLJltM
35. https://www.youtube.com/watch?v=dSdehIa-TpE
Αύριο-μεθαύριο θα αναρτήσω μερικά ακόμη βίντεο.
[26/3] Τα επόμενα πέντε βίντεο.
36. https://www.youtube.com/watch?v=aVeWF4OSnJw
37. https://www.youtube.com/watch?v=arKKuDhDYS0
38. https://www.youtube.com/watch?v=1lrBsJ1X118
39. https://www.youtube.com/watch?v=fxYbxzDGCj8
40. https://www.youtube.com/watch?v=qRta4iBf-lM
[4/4] Άλλα τρία βίντεο. Με αυτά τελειώνουν όσα έχουμε να πούμε για χώρους με νόρμα και χώρους με εσωτερικό γινόμενο.
41. https://www.youtube.com/watch?v=Cgf66HV8JGc
42. https://www.youtube.com/watch?v=Gr3vdkLFY34
43. https://www.youtube.com/watch?v=LLN0UjJN2w4
[6/4] To τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των ασκήσεων 1, 2 μέχρι την Παρασκευή.
[9/4] Αρχίζουμε με το θέμα του δυικού χώρου.
44. https://www.youtube.com/watch?v=mZ_D2gGUauw
45. https://www.youtube.com/watch?v=tKReRRfrdqo
46. https://www.youtube.com/watch?v=tJ1FprAZz7w
47. https://www.youtube.com/watch?v=vmrCkODORKQ
48. https://www.youtube.com/watch?v=AI_oWB3Gs2s
[16/4] Σημαντικά παραδείγματα δυικών χώρων.
49. https://www.youtube.com/watch?v=eGY5UxKTfLc
50. https://www.youtube.com/watch?v=Mch_r_6Rh68
51. https://www.youtube.com/watch?v=pdcb0A7Pq6E
[20/4] Ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης: το Θεώρημα Hahn-Banach (και Bohnenblust-Sobczyk).
52. https://www.youtube.com/watch?v=-kFKtSeGI-s
53. https://www.youtube.com/watch?v=HFV2p9vlr_E
[21/4] Σημαντικές εφαρμογές του Θεωρήματος Hahn-Banach (και Bohnenblust-Sobczyk).
54. https://www.youtube.com/watch?v=N9MXoUev124
55. https://www.youtube.com/watch?v=boasOp0OL_s
56. https://www.youtube.com/watch?v=LpTiAZOvIyE
57. https://www.youtube.com/watch?v=ekA8Wje9iUQ
[28/4] Ο δεύτερος δυικός χώρος.
58. https://www.youtube.com/watch?v=pAv9YYZgsjk
59. https://www.youtube.com/watch?v=zgg6iNdrzQU
Το θεώρημα του Baire και η Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος.
60. https://www.youtube.com/watch?v=sFPKqBrjd84
61. https://www.youtube.com/watch?v=ZwR4AbUamQ4
62. https://www.youtube.com/watch?v=4S7Em0P6aJo
Ασθενής και ασθενής-άστρο σύγκλιση.
63. https://www.youtube.com/watch?v=OeBs-cLgAvU
64. https://www.youtube.com/watch?v=tlWppDB85lc
Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές.
65. https://www.youtube.com/watch?v=xe2MahOSTBg
66. https://www.youtube.com/watch?v=vUaeOmNIMBo
67. https://www.youtube.com/watch?v=rGuvqCuLhHI
[30/4] Ο δυικός τελεστής (για φραγμένο τελεστή ανάμεσα σε χώρους με νόρμα), και ο συζυγής τελεστής (για φραγμένο τελεστή ανάμεσα σε χώρους Hilbert).
68. https://www.youtube.com/watch?v=9ImlUUyUwXs
69. https://www.youtube.com/watch?v=0AXewMraoKE
70. https://www.youtube.com/watch?v=05IR5WnIfKI
71. https://www.youtube.com/watch?v=eEYzIfN9ICc
[12/5] Άλγεβρες Banach.
72. https://www.youtube.com/watch?v=8_l5iY3wmzI
73. https://www.youtube.com/watch?v=BoRBBLHycv4
Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος.
74. https://www.youtube.com/watch?v=l99ibMPERNQ
Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης.
75. https://www.youtube.com/watch?v=QYK3HkBYU6Q
76. https://www.youtube.com/watch?v=efRZgwBqJaU
Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος.
77. https://www.youtube.com/watch?v=iuB5s5PS9SY
Παραδείγματα φραγμένων τελεστών σε χώρους ακολουθιών.
78. https://www.youtube.com/watch?v=xrtDTdOf39M
79. https://www.youtube.com/watch?v=yV55mzRbs-E
80. https://www.youtube.com/watch?v=DmsZwbvJbTw
[17/5] Παραδείγματα φραγμένων τελεστών σε χώρους συναρτήσεων.
81. https://www.youtube.com/watch?v=AcxFBzJYAFc
82. https://www.youtube.com/watch?v=ub1BgmJ3vAU
83. https://www.youtube.com/watch?v=l-eLkCBs6fY
Συμπαγείς τελεστές.
84. https://www.youtube.com/watch?v=nQ-rPmUIfOc
85. https://www.youtube.com/watch?v=RhDJDGbr5oQ
Θα πούμε ακόμη λίγα πράγματα για συμπαγείς τελεστές και θα τελειώσουμε με λίγη από την θεωρία της ασθενούς τοπολογίας. Το τελικό διαγώνισμα μάλλον θα γίνει προς το τέλος Ιουνίου.
[23/5] Παραδείγματα συμπαγών τελεστών.
86. https://www.youtube.com/watch?v=M0FYEf834Y0
87. https://www.youtube.com/watch?v=R50oWlEm7Uw
Τα θεωρήματα Arzela-Ascoli και Schauder.
88. https://www.youtube.com/watch?v=NZn3AVR-Rzk
89. https://www.youtube.com/watch?v=aPK2eCeuMuc
90. https://www.youtube.com/watch?v=UbEJQBJIU2k
[5/6] Γενικά για τοπολογικούς χώρους.
91. https://www.youtube.com/watch?v=1NAV3ZkW8uQ
92. https://www.youtube.com/watch?v=uNlRMxrUOEU
93. https://www.youtube.com/watch?v=VRfXNoNwaJQ
Ασθενείς τοπολογίες σε γραμμικούς χώρους οι οποίες επάγονται από συλλογές γραμμικών συναρτησοειδών.
94. https://www.youtube.com/watch?v=0L1visj7KEE
95. https://www.youtube.com/watch?v=s0v9XLhft-Y
Ασθενής τοπολογία χώρου με νόρμα.
96. https://www.youtube.com/watch?v=qAH-nMmbrp8
Ασθενής άστρο τοπολογία του δυικού ενός χώρου με νόρμα.
97. https://www.youtube.com/watch?v=-Pm4oHxfbJg
98. https://www.youtube.com/watch?v=14wAWfricHk
Το Θεώρημα του Alaoglou.
99. https://www.youtube.com/watch?v=fxE3b4UCTDM
100. https://www.youtube.com/watch?v=kTmdjKLYeSg
Εδώ σταματά η θεωρία. Μια από τις επόμενες μέρες θα αναρτήσω τα σχετικά με το τελικό διαγώνισμα.
[14/6] Από αύριο το πρωί και μέχρι το βράδυ της Πέμπτης στείλτε μου email για να πάρετε (με email) τα θέματα του διαγωνίσματος.
Από τη στιγμή που θα πάρετε τα θέματα θα έχετε 24 ώρες για να μου στείλετε (με email) τις απαντήσεις σας.
Ειδικά όσοι έχετε και το διαγώνισμα της μιγαδικής ανάλυσης, ζητήστε μου τα θέματα μέχρι το πρωί του Σαββάτου.