Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών,    Πανεπιστήμιο Κρήτης,

Λεωφόρος Κνωσσού, 714 09 Ηράκλειο,

Γραφείο: Γ 118,

E-mail: papadim AT math.uoc.gr,    Τηλέφωνο: 2810393840

Φθινόπωρο 2012-13

Αρμονική Ανάλυση (Μ2115 ή Μ216)

1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Το πρώτο μέρος του μαθήματος (περίπου τρεις εβδομάδες) θα αφιερωθεί στη συνοπτική παρουσίαση του ολοκληρώματος Lebesgue. Δεν θα εξεταστείτε σ'αυτό το μέρος, αλλά η καλή κατανόησή του απαιτείται για τα επόμενα. Για το μάθημα αυτό, δεν χρειάζεται να γνωρίζετε τις αποδείξεις των διαφόρων σχετικών αποτελεσμάτων. Χρειάζεται, όμως, να γνωρίζετε τα αποτελέσματα. Επίσης, καλό θα ήταν για τη γενικότερη μαθηματική συγκρότησή σας να έχετε αποκομίσει μια γενική ιδέα για τη διαδικασία ορισμού του ολοκληρώματος Lebesgue.

Το δεύτερο και κύριο μέρος του μαθήματος είναι η παρουσίαση των σειρών Fourier και του μετασχηματισμού Fourier. Τα αντικείμενα αυτά είναι εξαιτερικά σημαντικά για πολλούς κλάδους των μαθηματικών αλλά και της επιστήμης γενικότερα και ελπίζω να υπάρχει χρόνος για να δούμε και κάποιες εφαρμογές.

2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Δευτέρα και Τρίτη 3-5 στην Θ201.

Το γραφείο μου είναι στο Γ118 και οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 2-3 και Τετάρτη 4-5.

Αν δεν μπορείτε να έρθετε στις ώρες γραφείου μου, επικοινωνήστε μαζί μου για να κανονίσουμε συνάντηση κάποια άλλη ώρα.

3 Προαπαιτούμενα.

Ανάλυση 1 και Ανάλυση 2.

4 Βιβλίο.

Δεν υπάρχει βιβλίο. Κάθε εβδομάδα (ίσως περισσότερες από μία φορές) θα ανεβάζω σ' αυτήν την ιστοσελίδα σημειώσεις από το μάθημά μου. Οι σημειώσεις αυτές θα περιέχουν με περισσότερη λεπτομέρεια το περιεχόμενο των διαλέξεων. Πάντως, οι σημειώσεις δεν αντικαθιστούν την παρακολούθηση των διαλέξεων.

5 Βιβλιογραφία.

Για το ολοκλήρωμα Lebesgue συμβουλευτείτε το βιβλίο "Functional Analysis" των Riesz, Nagy και ειδικώτερα τις ενότητες 16-21, 28, 33, 34.

Για τις σειρές και τον μετασχηματισμό Fourier συμβουλευτείτε το βιβλίο "Fourier series and integrals" των Dym, McKean. Τα μέρη του βιβλίου τα οποία είναι πιο κοντά στο πνεύμα του μαθήματος είναι: από το πρώτο κεφάλαιο οι ενότητες 1.1 - 1.5 και από το δεύτερο κεφάλαιο οι ενότητες 2.1 - 2.6. Οι υπόλοιπες ενότητες αυτών των δυο κεφαλαίων διαπραγματεύονται μερικές πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές και δεν μπορώ να προβλέψω πόσες από αυτές θα προλάβουμε να δούμε (πιθανόν πολύ λίγες).

6 Βαθμολόγηση.

Τελικό διαγώνισμα.

Ανάλογα με το πώς θα προχωρήσει το μάθημα, μπορεί να σκεφτώ εναλλακτικούς τρόπους βαθμολόγησης (ασκήσεις, παρουσιάσεις κλπ) σε εθελοντική βάση.

7 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ τις σημειώσεις που ανέφερα προηγουμένως καθώς και ο,τιδήποτε άλλο σχετικό με το μάθημα (ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

7.1 24-28 Σεπτεμβρίου 2012.

Οι πρώτες σημειώσεις είναι εδώ.

7.2 1-5 Οκτωβρίου 2012.

Οι δεύτερες σημειώσεις είναι εδώ. Κάθε φορά οι τελευταίες σημειώσεις περιλαμβάνουν όλες τις προηγούμενες.

Υπάρχουν τρίτες σημειώσεις εδώ. (Όπως είπαμε, περιλαμβάνονται οι προηγούμενες με κάποιες μικροδιορθώσεις.)

7.3 8-12 Οκτωβρίου 2012.

Οι τέταρτες σημειώσεις είναι εδώ.

Το αυριανό μάθημα, της Τρίτης 9 Οκτωβρίου, δεν θα γίνει λόγω αναστολής λειτουργίας του πανεπιστημίου. Σκέφτομαι να αναπληρώσω το αυριανό μάθημα την Πέμπτη, 1-3. Θα δω αύριο αν υπάρχει αίθουσα και θα βγάλω ανακοίνωση ακριβώς εδώ.

Το μάθημα της Τρίτης 9 Οκτωβρίου θα αναπληρωθεί την Πέμπτη 11 Οκτωβρίου, ώρα 1-3, αίθουσα Θ202.

7.4 15-19 Οκτωβρίου 2012.

Οι σημειώσεις, όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα, είναι εδώ.

Μάλλον αυτό το Σαββατοκύριακο θα αναρτήσω εδώ μερικές ασκήσεις.

Όντως, το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων είναι εδώ. Οι ασκήσεις αυτές έχουν να κάνουν με την έννοια του ολοκληρώματος Lebesgue και δεν θα εξεταστείτε σε παρόμοιες ασκήσεις. Πάντως, θα συνιστούσα να τις κοιτάξετε για καλύτερη εξοικείωση με το ολοκλήρωμα Lebesgue. Προσπάθησα να συμπεριλάβω απλές κατά το δυνατόν ασκήσεις: μερικές είναι πάρα πολύ απλές και κάποιες (πολύ λίγες) είναι κάπως πιο δύσκολες.

7.5 22-26 Οκτωβρίου 2012.

Οι σημειώσεις, όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα, είναι εδώ. Έχω κάνει κάποιες αλλαγές στα προηγούμενα, μέχρι και την ενότητα για τον χώρο $L^1(I)$, και δεν πρόκειται να κάνω άλλες. Μπορείτε, αν θέλετε να τυπώσετε μέχρι αυτό το σημείο. Στις σημειώσεις περιλαμβάνονται και κάποια πράγματα από την επόμενη ενότητα, για τον χώρο $L^2(I)$, αλλά δεν είναι πλήρη και μάλλον θα κάνω αλλαγές σ' αυτά. Γι αυτό, μην τα τυπώσετε ακόμη.

Τώρα, προσέξτε. Οι σημειώσεις μου είναι πλήρεις από άποψη μαθηματικής αυστηρότητας και βασίζονται στο ολοκλήρωμα Lebesgue, το κατεξοχήν εργαλείο για σοβαρή αρμονική ανάλυση, αλλά γι αυτό καταλήγουν να είναι εξαιρετικά δύσκολες για προπτυχιακούς φοιτητές οι οποίοι χρειάζεται να γνωρίζουν κυρίως κάποιες τεχνικές της αρμονικής ανάλυσης με μια στοιχειώδη θεωρητική τεκμηρίωση αυτών των τεχνικών. Γι αυτό έχω ετοιμάσει τις οδηγίες προς ναυτιλομένους, Ι, τις οποίες θα βρείτε εδώ. Είναι λεπτομερείς οδηγίες για το ποιά ακριβώς σημεία από τις εκτεταμένες και πολλές φορές υπερβολικά θεωρητικές σημειώσεις απαιτείται να διαβάσετε και για το τι να προσέξετε περισσότερο. Ελπίζω να σας βοηθήσουν. Κάθε εβδομάδα θα γράφω ανάλογες οδηγίες και για τα επόμενα.

Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων είναι εδώ. Όλες οι ασκήσεις (εκτός από μερικά ερωτήματα της τελευταίας άσκησης) είναι σχετικά απλές.

Αν, λόγω της αυριανής απεργίας, δεν κινηθούν τα λεωφορεία προς το πανεπιστήμιο, τότε το αυριανό (Τρίτη, 6 Νοεμβρίου) μάθημα δεν θα γίνει και θα αναπληρωθεί μιαν άλλη φορά.

7.6 26-20 Νοεμβρίου 2012.

Λόγω απουσίας μου, τα μαθήματα αυτής της εβδομάδας δεν θα γίνουν την Δευτέρα και την Τρίτη και θα αναπληρωθούν αργότερα (ίσως και προς το τέλος της εβδομάδας).

7.7 3-7 Δεκεμβρίου 2012.

Οι σημειώσεις, όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα, είναι εδώ. Περιέχουν όλα όσα έχω πει για τον χώρο $L^2(I)$.

Το πρώτο δίωρο αναπλήρωσης θα γίνει Πέμπτη 6 Δεκεμβρίου, ώρα 3-5 στην Θ201.

7.8 10-14 Δεκεμβρίου 2012.

Το δεύτερο δίωρο αναπλήρωσης θα γίνει Πέμπτη 13 Δεκεμβρίου, ώρα 1-3 στην Θ201.

7.9 17-21 Δεκεμβρίου 2012.

Οι σημειώσεις, όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα, είναι εδώ. Περιέχουν όλα όσα έχω πει για τις σειρές Fourier στους χώρους $L^1([0,1))$ και $L^2([0,1))$.

Σε λίγο θα ακολουθήσουν και τα σχετικά με τον μετασχηματισμό Fourier στους $L^1(\mathbb{R})$ και $L^2(\mathbb{R})$.

Οι καινούργιες σημειώσεις με τον μετασχηματισμό Fourier στον $L^1(\mathbb{R})$ είναι εδώ.

Αύριο θα ακολουθήσει και ο $L^2(\mathbb{R})$. Σύντομα θα έχετε και τις "οδηγίες προς ναυτιλομένους" και ασκήσεις (κυρίως αυτές).

Όπως είπα και στο μάθημα, θα γίνουν δυο-τρία δίωρα ασκήσεων μετά τις γιορτές. Θα ανακοινώσω εδώ πότε ακριβώς θα γίνουν.

Οι τελευταίες σημειώσεις με τον μετασχηματισμό Fourier στον $L^2(\mathbb{R})$ είναι εδώ.

ΚΑΛΟ ΔΙΑΒΑΣΜΑ (δίπλα στην φάτνη τα Χριστούγεννα και περιμένοντας το φλουρί την Πρωτοχρονιά).

Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων είναι εδώ. Είναι σχετικό με τις σειρές Fourier.

Μέχρι αύριο, ελπίζω να ανεβάσω και το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων σχετικά με τον μετασχηματισμό Fourier.

Επιτέλους, το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων, για τον μετασχηματισμό Fourier, είναι εδώ.

Και: οι οδηγίες προς ναυτιλομένους, ΙΙ είναι εδώ.

7.10 6 Ιανουαρίου 2013.

Γεια σας και πάλι. Ελπίζω οι διακοπές σας να ήταν ευχάριστες και χαλαρωτικές.

Όμως, τώρα ξαναρχίζουμε πριν το τέλος με τρία δίωρα ασκήσεων: την Παρασκευή 11/1, ώρα 1-3, την Τρίτη 15/1, ώρα 10-12, και την Τετάρτη 16/1, ώρα 1-3. Πείτε μου, σας παρακαλώ, νωρίς αν έχετε κάποιο σοβαρό πρόβλημα με αυτές τις ώρες. Αύριο-μεθαύριο θα ανακοινώσω τις αίθουσες.

Ωραία, κάποιος δεν μπορεί να έρθει την Τρίτη (λόγω διαγωνίσματος), οπότε λέω να αλλάξω το δίωρο της Τρίτης και να το κάνω την Δευτέρα 14/1, ώρα 5-7. Νωρίτερα δεν γίνεται, διότι νομίζω ότι κάποιοι από σας δίνουν Θεωρία Ομάδων 1-4.

7.11 10 Ιανουαρίου 2013.

Οι ασκήσεις θα γίνουν στην αίθουσα Θ207 και τις τρεις ημέρες.

7.12 17 Ιανουαρίου 2013.

Εδώ θα βρείτε λύσεις ασκήσεων που έκανα στα τελευταία δίωρα ασκήσεων. Περιλαμβάνουν ασκήσεις του τρίτου φυλλαδίου.

Θα ακολουθήσουν και λύσεις ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.

Εδώ θα βρείτε λύσεις ασκήσεων από το τέταρτο φυλλάδιο.

Προσέχετε για τυχόν λάθη, διότι όλα αυτά γράφτηκαν κάτω από πίεση χρόνου.

Καλό διάβασμα και καλή επιτυχία στο διαγώνισμα.

Πρέπει να πω ότι το μάθημα θα μπορούσε, από πλευράς μου, να είναι αρκετά καλύτερο. Πάντως, ευχαριστώ για την υπομονή σας και το ενδιαφέρον που δείξατε. Χάρηκα το μάθημα έχοντάς σας ως ακροατήριο.

7.13 20 Ιανουαρίου 2013.

Οι λύσεις δυο ακόμη ασκήσεων είναι εδώ.

Κι άλλη μια άσκηση λυμένη εδώ.

7.14 3 Φεβρουαρίου 2013.

Οι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.