Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2020-21

Πραγματική Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα μετρήσιμης συνάρτησης.

Μέτρο-γινόμενο.

Διάφορα είδη σύγκλισης συναρτήσεων.

Προσημασμένα και μιγαδικά μέτρα. Παραγώγιση μέτρων.

Κλασσικοί χώροι Banach.

Το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Λόγω των υγειονομικών περιορισμών, και επειδή είναι πιθανόν να κλείσουμε κάποια στιγμή, σκοπεύω να μην κάνω το μάθημα σε αίθουσα, αλλά να ανεβάζω τις διαλέξεις μου βιντεοσκοπημένες στο youtube. Σ' αυτήν την ιστοσελίδα θα ανεβάζω τακτικά φυλλάδια ασκήσεων, τα οποία δεν θα επιστρέφετε λυμένα. Για ερωτήσεις επί της θεωρίας ή των ασκήσεων μπορείτε να έρχεστε στο γραφείο μου 1-3 κάθε Πέμπτη (ή οποιαδήποτε άλλη ώρα μετά από συνεννόηση).

Αλλαγή: το μάθημα θα γίνεται, με φυσική παρουσία, 3-5 κάθε Τρίτη και Πέμπτη, στην Ε204. Θα ξεκινήσουμε την Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου. Συγγνώμη για την αλλαγή, αλλά και οι κανόνες αλλάζουν ανεξέλεγκτα.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Πολύ καλή γνώση της προπτυχιακής ανάλυσης (π.χ. τα μαθήματα Ανάλυση Ι και ΙΙ αυτού του τμήματος). Η προπτυχιακή Πραγματική Ανάλυση συνίσταται αλλά δεν προαπαιτείται.

1.4 Βιβλιογραφία.

Στο μάθημα θα ακολουθήσω δικές μου σημειώσεις.

Δύο εξαιρετικά βιβλία για περαιτέρω διάβασμα είναι το Real Analysis του Folland και το Real and Complex Analysis του Rudin.

1.5 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κ.τ.λ.).

[19/10] Συγγνώμη αν αυτό προξενήσει ταλαιπωρία, αλλά πρέπει να ξανακατεβάσετε τις σημειώσεις μου. Είναι ίδιες με αυτές που ήδη έχετε, εκτός από τον χωρισμό σε κεφάλαια και άλλες μικρολεπτομέρειες.

Τώρα λύστε τις ασκήσεις:

Ενότητα 1.6: 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12 (δύσκολη).

Ενότητα 2.6: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 16, 17, 19.

Ενότητα 3.3: 2, 3, 5, 10, 11, 12.

Θα παρακαλούσα, για δικό σας καλό, να μην ψάχνετε τις λύσεις στο διαδίκτυο. Προσπαθήστε μόνοι σας. Αν αισθάνεστε ότι χρειάζεστε κάποια υπόδειξη, ρωτήστε εμένα.

[26/10] Λύστε τις ασκήσεις:

Ενότητα 4.6: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 15, 16, 19.

[23/11] Επιτέλους, δύο βίντεο:

x1. https://www.youtube.com/watch?v=mlWh3T9jQK0

x2. https://www.youtube.com/watch?v=PAeadcJJ45s

Μην τα μπλέξετε με τα βίντεο που ανεβάζω για το προπτυχιακό μου μάθημα (complex analysis). Θα δω μήπως τα ξεχωρίσω με κάποιο τρόπο.

Λύστε τις ασκήσεις:

Ενότητα 6.12: 4, 5, 11, 13, 14, 15, 16, 17. Αν θέλετε κοιτάξτε και τις: 1, 7, 10, 18 (ίσως δύσκολη, αλλά μπορεί και όχι). Όταν βλέπετε τοπολογικούς χώρους μπορείτε να θεωρείτε ότι πρόκειται για μετρικούς χώρους (ή ακόμη και για Ευκλείδειους χώρους). Μάλιστα, οι μετρικοί χώροι είναι αυτομάτως χώροι Hausdorff. Για την έννοια του ομαλού (regular) μέτρου Borel χρειάζεστε ουσιαστικά μόνο τον ορισμό: δείτε τους ορισμούς 5.2 και 5.3 (άντε και το λήμμα 5.7).

[24/11] Πέντε ακόμη βίντεο:

x3. https://www.youtube.com/watch?v=_VRY71-8pO0

x4. https://www.youtube.com/watch?v=UIfb8wG3bO8

x5. https://www.youtube.com/watch?v=F4QOiiXxaBY

x6. https://www.youtube.com/watch?v=jyEqQwr9A3E

x7. https://www.youtube.com/watch?v=fC3mLVkjhpI

[25/11] Κι άλλα πέντε βίντεο (με πολύ καλύτερη ποιότητα θέλω να πιστεύω!!):

x8. https://www.youtube.com/watch?v=IlYUmVVVvbs

x9. https://www.youtube.com/watch?v=a1zmXYfxmFo

x10. https://www.youtube.com/watch?v=zF-IsSxjRJI

x11. https://www.youtube.com/watch?v=1A-TO2WEres

x12. https://www.youtube.com/watch?v=Imxo51ZJMew

[30/11] Κι άλλα πέντε βίντεο:

x13. https://www.youtube.com/watch?v=Lc6ITQgd-ak

x14. https://www.youtube.com/watch?v=63OajVNoBxk

x15. https://www.youtube.com/watch?v=_tzzmapzvwk

x16. https://www.youtube.com/watch?v=zMraa7VLLBk

x17. https://www.youtube.com/watch?v=lsy2lLPdCsk

Με αυτά τα βίντεο τελειώσαμε το κεφάλαιο για την έννοια του ολοκληρώματος. Δεν χρειάζεται να διαβάσετε τις ενότητες 7.5, 7.7 και 7.8.

Δεν έχω κάνει τίποτα από το κεφάλαιο 5 για μέτρα Borel. Από το κεφάλαιο αυτό διαβάστε μόνο τον Ορισμό 5.2, και το σχετικό παράδειγμα, το Λήμμα 5.7, και τον Ορισμό 5.3. Ίσως αργότερα, αν χρειαστεί, θα αναφέρω την Πρόταση 5.2 και το Θεώρημα 5.7.

[6/12] Ασκήσεις από την ενότητα 7.9:

Λύστε τις 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14. Όλες αυτές είναι παρόμοιες, και σχετίζονται με τα βασικά θεωρήματα σύγκλισης (μονότονης, κυριαρχημένης, Fatou). Αποδεικνύονται σε δυο-τρεις γραμμές, είτε χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα είτε μιμούμενοι τις αποδείξεις τους.

Την 15 την κάλυψα ως παράδειγμα στην θεωρία. Λύστε τώρα τις 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23. Για την 21 χρησιμοποιήστε μονότονη σύγκλιση, και για την 23 το θεώρημα σειρών.

Λύστε τις 24 (το (i) πρώτα για απλές), 25, 26, 27 (από την 26), 28, 29.

Λύστε τις 33, 34. Χρήσιμες όταν έχουμε ολοκληρώματα με παράμετρο. (Οι 35, 36, 37, 38 είναι σημαντικές εφαρμογές, αλλά δεν χρειάζεται να τις δείτε τώρα.)

[8/12] Πάμε στο όγδοο κεφάλαιο για γινόμενο μέτρων. Πέντε βίντεο για αρχή:

x18. https://www.youtube.com/watch?v=v5YYPJkuQVY

x19. https://www.youtube.com/watch?v=1qi8_Q0qU8s

x20. https://www.youtube.com/watch?v=k2y-rdwbsVI

x21. https://www.youtube.com/watch?v=-bBbCVd034g

x22. https://www.youtube.com/watch?v=PlXCy6RDMFo

Προσέξτε: στις σημειώσεις μου η πρόταση 8.2 είναι λάθος.

[11/12] Με αυτά τα βίντεο τελειώνει το όγδοο κεφάλαιο. Δεν χρειάζεται να διαβάσετε την ενότητα 8.4.

x23. https://www.youtube.com/watch?v=NgkltoPy_M4

x24. https://www.youtube.com/watch?v=3Wi7UHP6A-A

x25. https://www.youtube.com/watch?v=pi8rzIbaVe0

x26. https://www.youtube.com/watch?v=H18eMlzo46k

Κοιτάξτε τις εξής ασκήσεις από την ενότητα 8.5:
2 (Για τον πρώτο αριθμό καλύψτε το σύνολο με αριθμήσιμα μικρά ανοικτά τετράγωνα.),
4 (Θεώρημα 8.6),
6 (Δείτε ξεχωριστά ότι η f_1(x_1) και η f_2(x_2) είναι μετρήσιμες ως προς την σ-άλγεβρα γινόμενο, και μετά εφαρμόστε το Θεώρημα 8.10.),
10 (Για να δείτε ότι η H(x-y) είναι μετρήσιμη, αποδείξτε ξεχωριστά ότι οι f(x-y) και g(y) είναι μετρήσιμες. Για την πρώτη, δείτε ότι το σύνολο των (x,y) για τα οποία το x-y ανήκει στο A είναι Lebesgue μετρήσιμο για κάθε Lebesgue μετρήσιμο A.),
11,
13 (Διορθώστε την τελευταία πρόταση: το μέτρο πρέπει να είναι translation invariant.),
14.

[16/12] Αν έχετε απορίες μπορούμε να κανονίζουμε συναντήσεις στο γραφείο μου. Είμαι σχεδόν κάθε μέρα εκεί, και, αν δεν κάνω λάθος, επιτρέπεται και για εσάς η μετάβαση στο πανεπιστήμιο.

[22/12] Για το ένατο κεφάλαιο:

x27. https://www.youtube.com/watch?v=cxEwr7C9Ii0

x28. https://www.youtube.com/watch?v=d-S-tuddnVE

x29. https://www.youtube.com/watch?v=c2B8CYrP610

[25/12] Τέλος του ένατου κεφαλαίου:

x30. https://www.youtube.com/watch?v=htY4-1HCrVM

x31. https://www.youtube.com/watch?v=vO0IHyU1T5w

Δείτε τις εξής ασκήσεις στην ενότητα 9.6:
1 (Υποθέστε ότι όλες οι f_n είναι πεπερασμένες σ.π.),
2,
3 (Χρησιμοποιήστε κατάλληλη υπακολουθία.),
4,
6,
7 (με το δεύτερο αντίστροφο.),
8 (Για το πρώτο μονοπάτι: πάρτε πρώτα σύνολο A πεπερασμένου μέτρου στο συμπλήρωμα του οποίου το ολοκλήρωμα της g είναι πολύ μικρό, και μετά χωρίστε το ολοκλήρωμα της |f_n-f| στο A, στο σύνολο όπου η |f_n-f| είναι μικρότερη από κατάλληλο δ, και στο υπόλοιπο του A. Για το δεύτερο μονοπάτι: πηγαίνετε με άτοπο. Για το τρίτο μονοπάτι: ακολουθήστε μια παραλλαγή του πρώτου μονοπατιού.),
9 (Χρησιμοποιήστε Egorov σε κατάλληλα σύνολα πεπερασμένου μέτρου.),
11 (Για το (i): ονομάστε g(x) το supremum των |h_n(x)| και πάρτε το σύνολο όπου η g είναι μεγαλύτερη του k.),
12, (Για το (i): πάρτε θετικά ε_n που η σειρά τους συγκλίνει, μετά βρείτε μεγάλα μ_n ώστε το σύνολο που η |f_n| είναι μεγαλύτερη από μ_n να έχει μέτρο μικρότερο από ε_n, και θεωρήστε λ_n το αντίστροφο του τετραγώνου του μ_n.),
13 (Όπως στην 12.),
14 (Μόνο το πρώτο μέρος.),
Οι 18, 19 είναι σημαντικές ασκήσεις-θεωρήματα.

Και μετά από όλα αυτά: ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!!

(Μην ανησυχείτε: θα φροντίσω και για την Πρωτοχρονιά ... )

[30/12] Για το δέκατο κεφάλαιο:

x32. https://www.youtube.com/watch?v=8efwMAUnhCA

x33. https://www.youtube.com/watch?v=4-1wJCjqI_Y

x34. https://www.youtube.com/watch?v=SBn1ipA0ATM

[1/1/2021] Τρία ακόμη βίντεο:

x35. https://www.youtube.com/watch?v=qQsoufO5MPY

x36. https://www.youtube.com/watch?v=zuMSwZeE1WE

x37. https://www.youtube.com/watch?v=5TzmK6xtM8c

Μερικές διορθώσεις. Στην άσκηση 4 της ενότητας 9.6 αγνοήστε την σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση (είναι λάθος). Επίσης, στην άσκηση 18, στους ορισμούς της ομοιόμορφης απόλυτης συνέχειας και της ισοσυνέχειας από πάνω στο κενό σύνολο, θεωρήστε για απλούστευση ότι στα ολοκληρώματα των f_n η απόλυτη τιμή είναι μέσα στα ολοκληρώματα (δηλαδή |f_n|).

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!!!

[5/1] Με αυτά τα βίντεο τελειώνει το δέκατο κεφάλαιο, και η ύλη πάνω στην οποία θα εξεταστείτε:

x38. https://www.youtube.com/watch?v=sYhvK86gHWY

x39. https://www.youtube.com/watch?v=xMhBb4hpB-o

x40. https://www.youtube.com/watch?v=pv9M-H7hYao

Θα ανεβάσω και μερικές ακόμη ασκήσεις.

Πάντως, υπό κανονικές συνθήκες, θα περιελάμβανα και διάφορα από το ενδέκατο κεφάλαιο. Γι αυτό θα συνεχίσω να ανεβάζω βίντεο μέχρι να καλύψω όλη την ύλη που χρειάζεται κάποιος που θέλει να ασχοληθεί με Ανάλυση. Δηλαδή το ενδέκατο κεφάλαιο και τις δύο τελευταίες ενότητες του δέκατου κεφαλαίου. Όποιος ενδιαφέρεται ειδικά για Ανάλυση, και θέλει να ξέρει καλά ό,τι απαιτείται, μπορεί να συνεχίσει να βλέπει τα βίντεο και να διαβάζει τις σημειώσεις. Μάλιστα, στο μάθημα της Συναρτησιακής Ανάλυσης που θα κάνω το επόμενο εξάμηνο, θα χρησιμοποιηθούν οι χώροι L_p και οι χώροι μέτρων ως βασικά παραδείγματα, οπότε όσοι τα γνωρίζουν θα καταλάβουν βαθύτερα το μάθημα. (Το επόμενο εξάμηνο θα εχω μόνο ένα μάθημα, οπότε ελπίζω ότι θα έχω περισσότερο χρόνο να αφιερώσω σ' αυτό.)

[16/1] Δείτε τις εξής ασκήσεις στην ενότητα 10.9:
1 (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από τους δύο ορισμούς της θετικής και της αρνητικής κύμανσης προσημασμένου μέτρου.),
2 (Αν το Α είναι σύνολο φυσικών, τότε το μ(Α) ορίζεται ως το άθροισμα των 1/(2 εις την n) για τα n που ανήκουν στο Α. Για το πρώτο μερος πάρτε κατάλληλα μονοσύνολα Ε_k. Το δεύτερο μέρος είναι εύκολο.),
4 (Για το (i): Το πρώτο είναι εύκολο, και για το δεύτερο αποδείξτε με άτοπο ότι δεν υπάρχει f θεωρώντας μονοσύνολα. Για το (ii): Η απάντηση είναι αρνητική.),
7 με πεπερασμένα μέτρα μ και ν (Θεωρήστε το σύνολο όπου η f είναι μεγαλύτερη ή ίση του 1 και το σύνολο όπου η f είναι μικρότερη ή ίση του -1/n, και αποδείξτε ότι όλα έχουν μ-μέτρο ίσο με 0.),
10,
16 (Για το (i): Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα αφού δείτε ότι η συμμετρική διαφορά των Α,Β είναι υποσύνολο της ένωσης της συμμετρικής διαφοράς των Α,Γ και της συμμετρικής διαφοράς των Β,Γ. Αποδείξτε την πληρότητα χρησιμοποιώντας χαρακτηριστικές συναρτήσεις συνόλων και ολοκληρώματα και το Θεώρημα 9.1. Για το (ii): Χρησιμοποιήστε την Πρόταση 10.15.).

Ο καθένας από εσάς όταν είναι έτοιμος θα μου πει να του δώσω (με email) μερικές ασκήσεις για το σπίτι, και ένα χρονικό περιθώριο να τις λύσει και να μου στείλει τις λύσεις (με email). Βάσει αυτών των ασκήσεων θα σας βαθμολογήσω.

[18/1] Στην άσκηση 16 της ενότητας 10.9 ο (Σ,d) είναι ψευδομετρικός χώρος. Δηλαδή δεν χρειάζεται να ισχύει ότι: d(A,B)=0 συνεπάγεται A=B. (Σε μια τέτοια περίπτωση δημιουργείται μια σχέση ισοδυναμίας: A ισοδ B αν d(A,B)=0. Μετά θεωρούμε τον χώρο πηλίκο Σ/ισοδ και μια αντίστοιχη μετρική d σ' αυτόν.)

Από τώρα και μέχρι τις 4 Φεβρουαρίου μπορείτε να μου ζητήσετε (με email) τα θέματα του διαγωνίσματος. Από τη στιγμή που θα σας τα στείλω θα έχετε περιθώριο δύο ημερών (48 ωρών) για να μου στείλετε (με email) τις απαντήσεις σας.



Mihalis Papadimitrakis 2021-01-21