Next: 15 Πρόβλημα 14 (24/10/01) Up: Προβλήματα για το Μαθηματικό Previous: 13 Πρόβλημα 12 (26/9/2001) Contents

2001)

Έστω $z_1, \ldots, z_n \in {\mathbf C}$ .
α) Δείξτε ότι υπάρχει $S \subseteq {\left\{{1,2,\ldots,n}\right\}}$ τ.ώ.

$\begin{displaymath} {\left\vert{\sum_{j \in S} z_j}\right\vert} \ge {1\over 6} \sum_{j=1}^n{\left\vert{z_j}\right\vert}. \end{displaymath}$

β) Δείξτε την παραπάνω ανισότητα με $1\over \pi$ στη θέση του $1\over 6$ .

Λύση από Τ. Ζαντορόζνι (σε μορφή PDF) (κατεβάστε το πρόγραμμα Acrobat Reader αν δε το έχετε ήδη για να μπορέσετε να δείτε το παραπάνω αρχείο).

Mihalis Kolountzakis