Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2020-21

Συναρτησιακή Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.

Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής$ -*$ σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες $ \sigma(X,X^*)$, $ \sigma(X^*,X)$, $ \sigma(X^*,X^{**})$. Θεώρημα Alaoglou.

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.

Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.

Όλα αυτά (και πολλά περισσότερα) περιέχονται στις εκτενείς σημειώσεις μου. Στο μάθημα θα ακολουθήσω τις πιο στοχευμένες σημειώσεις μου, οι οποίες ουσιαστικά αποτελούν την ύλη που κάλυψα την τελευταία φορά που δίδαξα το μάθημα.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τυπικά, τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 11-13.

Επειδή το πιθανότερο είναι ότι τα μαθήματα κι αυτού του εξαμήνου θα γίνουν εξ αποστάσεως, θα ανεβάζω βίντεο στο youtube, και θα χρησιμοποιήσω τις παραπάνω ώρες ως διαδικτυακές ώρες γραφείου.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου. Η συναρτησιακή ανάλυση είναι πολύ φτωχή χωρίς παραδείγματα από την πραγματική ανάλυση (χώροι μέτρου, χώροι $ L^p$ κ.τ.λ.).

1.4 Βιβλιογραφία.

"Functional Analysis" του Lax.
"A course in Functional Analysis" του Conway.
"Linear Analysis" του Bollobás.
"Functional Analysis" των Riesz, Nagy.
"Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.

1.5 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).

[24/1] Δείτε τις σημειώσεις που ανέβασα πιο πάνω (εκεί που αναφέρομαι στο περιεχόμενο του μαθήματος).

[10/2] Για τις διαδικτυακές ώρες γραφείου θα χρησιμοποιούμε τα εξής links:

για Τρίτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92610845585,

για Πέμπτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92703920792.

Οι ώρες γραφείου θα ξεκινήσουν την δεύτερη εβδομάδα μαθημάτων, δηλαδή από Τρίτη 16/2.

[11/2] Ιδού το πρώτο βίντεο:

1. https://www.youtube.com/watch?v=nxNNTipYUOs

Είμαι πολύ αργός. (Ομολογώ ότι θα έκοβα φλέβες αν το παρακολουθούσα.) Αλλά θα συνεχίσω έτσι προσπαθώντας να γίνω όσο πιο κατανοητός γίνεται. Οι σημειώσεις είναι λίγο πιο "στεγνές".

Τα επόμενα βίντεο, πάντοτε πολύ αναλυτικά:

2. https://www.youtube.com/watch?v=Yl6vzkUZw28

3. https://www.youtube.com/watch?v=QDAC3JkLcvg

4. https://www.youtube.com/watch?v=EIZgBgJ1J9w

5. https://www.youtube.com/watch?v=9nyD5Vr6bPs

[16/2] Άλλα τέσσερα βίντεο:

6. https://www.youtube.com/watch?v=pgtHeq5iC6k

7. https://www.youtube.com/watch?v=cN9fXHZqidQ

8. https://www.youtube.com/watch?v=ujmyb2wV-jQ

9. https://www.youtube.com/watch?v=LgWGQN7E5vk

[20/2] To πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των τεσσάρων πρώτων ασκήσεων μέχρι την Τρίτη.

[28/2] Άλλα δέκα βίντεο.

10. https://www.youtube.com/watch?v=pUtwi8GvhqA

11. https://www.youtube.com/watch?v=62b2lZMZHwg

12. https://www.youtube.com/watch?v=ISd19Ot_wPk

13. https://www.youtube.com/watch?v=XONlxhcSnvE

14. https://www.youtube.com/watch?v=8u0fnAY4MsM

15. https://www.youtube.com/watch?v=JesMfH1ypBE

16. https://www.youtube.com/watch?v=L8G6W5TJ484

17. https://www.youtube.com/watch?v=B5egyQkjLKc

18. https://www.youtube.com/watch?v=D5NeD4IoCLU

19. https://www.youtube.com/watch?v=MO7UYMpqjuw

5/3] Τα επόμενα έξι βίντεο.

20. https://www.youtube.com/watch?v=CVk4F2olVr0

21. https://www.youtube.com/watch?v=6Zty0Xdi0D0

22. https://www.youtube.com/watch?v=dH_DmUW18co

23. https://www.youtube.com/watch?v=7B4F05dU4aY

24. https://www.youtube.com/watch?v=cmw-xqh3rLI

25. https://www.youtube.com/watch?v=mA4DBVUCLso



Mihalis Papadimitrakis 2021-03-05