Πραγματική Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)

Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα μετρήσιμης συνάρτησης.

Μέτρο-γινόμενο.

Διάφορα είδη σύγκλισης συναρτήσεων.

Προσημασμένα και μιγαδικά μέτρα. Παραγώγιση μέτρων.

Κλασσικοί χώροι Banach.

Το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Το μάθημα θα γίνεται 11-13 Δευτέρα και Παρασκευή στην Β208. Συναντήσεις με φοιτητές κατόπιν συνεννόησης. Επίσης θα γίνεται ένα δίωρο για επίλυση ασκήσεων 11-1 Τετάρτη στην Β208 (αν αυτήν την ώρα υπάρξει συνέλευση τμήματος, τότε το αντίστοιχο δίωρο θα γίνει 1-3 Τετάρτη, την ίδια μέρα, στην Β212).

1.3 Προαπαιτούμενα.

Πολύ καλή γνώση της προπτυχιακής ανάλυσης (π.χ. τα μαθήματα Ανάλυση Ι και ΙΙ αυτού του τμήματος). Η προπτυχιακή Πραγματική Ανάλυση συνίσταται αλλά δεν προαπαιτείται.

1.4 Βιβλιογραφία.

Στο μάθημα θα ακολουθήσω δικές μου (πρόχειρες) σημειώσεις.

Τρία εξαιρετικά βιβλία για περαιτέρω διάβασμα είναι το Real Analysis του Folland, το Real and Complex Analysis του Rudin, και το Measure Theory του Cohn.

1.5 Βαθμολόγηση.

Τελικό διαγώνισμα.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κ.τ.λ.).

[3/10] Λύστε τις εξής ασκήσεις (από τις σημειώσεις μου):

Ενότητα 1.1: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Έχω διδάξει την ενότητα 1.1. Διαβάστε την προσεκτικά από τις σημειώσεις μου. Προσπαθήστε να συμπληρώσετε ό,τι λείπει, π.χ. όσα εγώ θεωρώ προφανή. Επίσης, διαβάστε προσεκτικά όσα παρέλειψα να κάνω στον πίνακα, π.χ. τεχνικές λεπτομέρειες οι οποίες αναλύονται στις σημειώσεις μου. Αυτός θα είναι γενικά ο τρόπος διαβάσματος στο μάθημα.

[16/10] Λύστε τις εξής ασκήσεις, όπου αυτές με το αστεράκι είναι ίσως πιο σημαντικές από τις άλλες:

Ενότητα 1.2: 3, 4, 7, 8, 10*, 11*.

Ενότητα 1.3: 5*, 7*, 8*, 9.

Ενότητα 1.4: 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 8, 9*, 10*, 11, 14*, 15, 16, 17.

Ενότητα 1.5: 4*, 9, 10, 11*.

Από την ενότητα 1.2 δεν χρειάζεται να διαβάσετε (τώρα) την έννοια του ημιπεπερασμένου (semifinite) μέτρου ούτε τη σχετική πρόταση 1.17. Επίσης δεν χρειάζεται να διαβάσετε την υποενότητα για κατανομές σημειακής μάζας (point-mass distributions), αν και είναι αρκετά ενδιαφέρουσα. Επίσης δεν ανέφερα την έννοια της πλήρωσης (completion) χώρου μέτρου ούτε το σχετικό θεώρημα 1.1. Θα τα αναφέρω αργότερα όταν χρειαστεί. Οπότε παραλείψτε τώρα το (ii) της πρότασης 1.35. Μίλησα για το σύνολο Cantor αλλά όχι για τη συνάρτηση Cantor. Από την ενότητα 1.5 δεν είπα τίποτα για Lebesgue-Stieltjes μέτρα στο R ούτε για μετρικά εξωτερικά μέτρα ούτε για μέτρα Hausdorff και διάσταση Hausdorff, αν και είναι κι αυτά πολύ ενδιαφέροντα. Ουσιαστικά, από την ενότητα 1.5 μίλησα μόνο για τον ορισμό του ομαλού (regular) μέτρου σε τοπολογικό χώρο Hausdorff.

[23/10] Προστίθεται ένα ακόμη δίωρο για επίλυση ασκήσεων. Αυτό θα γίνεται κάθε Τετάρτη 11-1 στην Β208. Αν αυτήν την ώρα υπάρξει συνέλευση τμήματος, τότε το αντίστοιχο δίωρο θα γίνει Τετάρτη, την ίδια μέρα, 1-3 στην Β212.

[25/10] Λόγω συνέλευσης τμήματος, το σημερινό δίωρο ασκήσεων θα γίνει 1-3 στην Β212.

[31/10] Λύστε τις εξής ασκήσεις, όπου αυτές με το αστεράκι είναι ίσως πιο σημαντικές από τις άλλες:

Ενότητα 2.1: 2*, 3 (όχι την τελευταία ερώτηση), 4*, 6*, 7*(όχι το (iii)), 8*, 10*(όχι το (ii)).

Ενότητα 2.2: 1*.

Ενότητα 2.3: 2*, 3*, 4*.

Από την ενότητα 2.2 διαβάστε μόνο τις αρχικές επτά σειρές και αφήστε τις προτάσεις. Επίσης, δεν χρειάζεται να διαβάσετε την ενότητα 2.3 (αν και είναι πολύ ενδιαφέρουσα).

Την Τετάρτη θα κάνουμε μάθημα 11-1 στην Β208. Θα κάνουμε θεωρία. Την Παρασκευή θα κάνουμε ασκήσεις, οπότε στείλτε μου μέχρι και την Πέμπτη τις ασκήσεις που σας δυσκόλεψαν.

[7/11] Λύστε τις ασκήσεις:

Ενότητα 3.1: 2, 3*, 4*, 5*, 7, 8, 9*, 10*, 11*, 12, 13*, 14*, 15*, 16*, 17, 18, 19*, 20*, 21.

Δεν χρειάζεται να διαβάσετε το Λήμμα 3.2.

[3/12] Λύστε τις ασκήσεις:

Ενότητα 3.2: 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9*, 13*, 14*, 15*.

Ενότητα 5.2: 1*, 2*.

Ενότητα 5.3: 2*, 5*, 7(i).

Ενότητα 5.4: 2*.

Ενότητα 5.5: 1*, 3*.

Την Τετάρτη θα κάνουμε μάθημα 1-3 στην Β212.

Mihalis Papadimitrakis 2023-12-03