Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2020-21

Συναρτησιακή Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.

Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής$ -*$ σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες $ \sigma(X,X^*)$, $ \sigma(X^*,X)$, $ \sigma(X^*,X^{**})$. Θεώρημα Alaoglou.

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.

Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.

Όλα αυτά (και πολλά περισσότερα) περιέχονται στις εκτενείς σημειώσεις μου. Στο μάθημα θα ακολουθήσω τις πιο στοχευμένες σημειώσεις μου, οι οποίες ουσιαστικά αποτελούν την ύλη που κάλυψα την τελευταία φορά που δίδαξα το μάθημα.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τυπικά, τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 11-13.

Επειδή το πιθανότερο είναι ότι τα μαθήματα κι αυτού του εξαμήνου θα γίνουν εξ αποστάσεως, θα ανεβάζω βίντεο στο youtube, και θα χρησιμοποιήσω τις παραπάνω ώρες ως διαδικτυακές ώρες γραφείου.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου. Η συναρτησιακή ανάλυση είναι πολύ φτωχή χωρίς παραδείγματα από την πραγματική ανάλυση (χώροι μέτρου, χώροι $ L^p$ κ.τ.λ.).

1.4 Βιβλιογραφία.

"Functional Analysis" του Lax.
"A course in Functional Analysis" του Conway.
"Linear Analysis" του Bollobás.
"Functional Analysis" των Riesz, Nagy.
"Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.

1.5 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).

[24/1] Δείτε τις σημειώσεις που ανέβασα πιο πάνω (εκεί που αναφέρομαι στο περιεχόμενο του μαθήματος).

[10/2] Για τις διαδικτυακές ώρες γραφείου θα χρησιμοποιούμε τα εξής links:

για Τρίτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92610845585,

για Πέμπτη 11-13 το link https://zoom.us/j/92703920792.

Οι ώρες γραφείου θα ξεκινήσουν την δεύτερη εβδομάδα μαθημάτων, δηλαδή από Τρίτη 16-2.

[11/2] Ιδού το πρώτο βίντεο:

1. https://www.youtube.com/watch?v=nxNNTipYUOs

Είμαι πολύ αργός. (Ομολογώ ότι θα έκοβα φλέβες αν το παρακολουθούσα.) Αλλά θα συνεχίσω έτσι προσπαθώντας να γίνω όσο πιο κατανοητός γίνεται. Οι σημειώσεις είναι λίγο πιο "στεγνές".

Τα επόμενα βίντεο, πάντοτε πολύ αναλυτικά:

2. https://www.youtube.com/watch?v=Yl6vzkUZw28

3. https://www.youtube.com/watch?v=QDAC3JkLcvg

4. https://www.youtube.com/watch?v=EIZgBgJ1J9w

5. https://www.youtube.com/watch?v=9nyD5Vr6bPs

[16/2] Άλλα τέσσερα βίντεο:

6. https://www.youtube.com/watch?v=pgtHeq5iC6k

7. https://www.youtube.com/watch?v=cN9fXHZqidQ

8. https://www.youtube.com/watch?v=ujmyb2wV-jQ

9. https://www.youtube.com/watch?v=LgWGQN7E5vk

[20/2] To πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των τεσσάρων πρώτων ασκήσεων μέχρι την Τρίτη.

[28/2] Άλλα δέκα βίντεο.

10. https://www.youtube.com/watch?v=pUtwi8GvhqA

11. https://www.youtube.com/watch?v=62b2lZMZHwg

12. https://www.youtube.com/watch?v=ISd19Ot_wPk

13. https://www.youtube.com/watch?v=XONlxhcSnvE

14. https://www.youtube.com/watch?v=8u0fnAY4MsM

15. https://www.youtube.com/watch?v=JesMfH1ypBE

16. https://www.youtube.com/watch?v=L8G6W5TJ484

17. https://www.youtube.com/watch?v=B5egyQkjLKc

18. https://www.youtube.com/watch?v=D5NeD4IoCLU

19. https://www.youtube.com/watch?v=MO7UYMpqjuw

[5/3] Τα επόμενα έξι βίντεο.

20. https://www.youtube.com/watch?v=CVk4F2olVr0

21. https://www.youtube.com/watch?v=6Zty0Xdi0D0

22. https://www.youtube.com/watch?v=dH_DmUW18co

23. https://www.youtube.com/watch?v=7B4F05dU4aY

24. https://www.youtube.com/watch?v=cmw-xqh3rLI

25. https://www.youtube.com/watch?v=mA4DBVUCLso

[14/3] To δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των ασκήσεων 1, 2, 6, 10 μέχρι την Παρασκευή.

Επίσης, άλλα πέντε βίντεο. Το δεύτερο φυλλάδιο βασίζεται και σ' αυτά.

26. https://www.youtube.com/watch?v=8HHW4NlkShg

27. https://www.youtube.com/watch?v=8He-feXWBY4

28. https://www.youtube.com/watch?v=v5Ps9OAnoZM

29. https://www.youtube.com/watch?v=m9xm9nTnqRg

30. https://www.youtube.com/watch?v=DCRAsYcTveo

[24/3] Τα επόμενα πέντε βίντεο.

31. https://www.youtube.com/watch?v=tSOdOIgv4UM

32. https://www.youtube.com/watch?v=PQH4x1kQubU

33. https://www.youtube.com/watch?v=3J9BOzCjySk

34. https://www.youtube.com/watch?v=nbZ1uWLJltM

35. https://www.youtube.com/watch?v=dSdehIa-TpE

Αύριο-μεθαύριο θα αναρτήσω μερικά ακόμη βίντεο.

[26/3] Τα επόμενα πέντε βίντεο.

36. https://www.youtube.com/watch?v=aVeWF4OSnJw

37. https://www.youtube.com/watch?v=arKKuDhDYS0

38. https://www.youtube.com/watch?v=1lrBsJ1X118

39. https://www.youtube.com/watch?v=fxYbxzDGCj8

40. https://www.youtube.com/watch?v=qRta4iBf-lM

[4/4] Άλλα τρία βίντεο. Με αυτά τελειώνουν όσα έχουμε να πούμε για χώρους με νόρμα και χώρους με εσωτερικό γινόμενο.

41. https://www.youtube.com/watch?v=Cgf66HV8JGc

42. https://www.youtube.com/watch?v=Gr3vdkLFY34

43. https://www.youtube.com/watch?v=LLN0UjJN2w4

[6/4] To τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Στείλτε μου τις λύσεις των ασκήσεων 1, 2 μέχρι την Παρασκευή.

[9/4] Αρχίζουμε με το θέμα του δυικού χώρου.

44. https://www.youtube.com/watch?v=mZ_D2gGUauw

45. https://www.youtube.com/watch?v=tKReRRfrdqo

46. https://www.youtube.com/watch?v=tJ1FprAZz7w

47. https://www.youtube.com/watch?v=vmrCkODORKQ

48. https://www.youtube.com/watch?v=AI_oWB3Gs2s

[16/4] Σημαντικά παραδείγματα δυικών χώρων.

49. https://www.youtube.com/watch?v=eGY5UxKTfLc

50. https://www.youtube.com/watch?v=Mch_r_6Rh68

51. https://www.youtube.com/watch?v=pdcb0A7Pq6E

[20/4] Ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης: το Θεώρημα Hahn-Banach (και Bohnenblust-Sobczyk).

52. https://www.youtube.com/watch?v=-kFKtSeGI-s

53. https://www.youtube.com/watch?v=HFV2p9vlr_E

[21/4] Σημαντικές εφαρμογές του Θεωρήματος Hahn-Banach (και Bohnenblust-Sobczyk).

54. https://www.youtube.com/watch?v=N9MXoUev124

55. https://www.youtube.com/watch?v=boasOp0OL_s

56. https://www.youtube.com/watch?v=LpTiAZOvIyE

57. https://www.youtube.com/watch?v=ekA8Wje9iUQ

[28/4] Ο δεύτερος δυικός χώρος.

58. https://www.youtube.com/watch?v=pAv9YYZgsjk

59. https://www.youtube.com/watch?v=zgg6iNdrzQU

Το θεώρημα του Baire και η Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος.

60. https://www.youtube.com/watch?v=sFPKqBrjd84

61. https://www.youtube.com/watch?v=ZwR4AbUamQ4

62. https://www.youtube.com/watch?v=4S7Em0P6aJo

Ασθενής και ασθενής-άστρο σύγκλιση.

63. https://www.youtube.com/watch?v=OeBs-cLgAvU

64. https://www.youtube.com/watch?v=tlWppDB85lc

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές.

65. https://www.youtube.com/watch?v=xe2MahOSTBg

66. https://www.youtube.com/watch?v=vUaeOmNIMBo

67. https://www.youtube.com/watch?v=rGuvqCuLhHI

[30/4] Ο δυικός τελεστής (για φραγμένο τελεστή ανάμεσα σε χώρους με νόρμα), και ο συζυγής τελεστής (για φραγμένο τελεστή ανάμεσα σε χώρους Hilbert).

68. https://www.youtube.com/watch?v=9ImlUUyUwXs

69. https://www.youtube.com/watch?v=0AXewMraoKE

70. https://www.youtube.com/watch?v=05IR5WnIfKI

71. https://www.youtube.com/watch?v=eEYzIfN9ICc

[12/5] Άλγεβρες Banach.

72. https://www.youtube.com/watch?v=8_l5iY3wmzI

73. https://www.youtube.com/watch?v=BoRBBLHycv4

Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος.

74. https://www.youtube.com/watch?v=l99ibMPERNQ

Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης.

75. https://www.youtube.com/watch?v=QYK3HkBYU6Q

76. https://www.youtube.com/watch?v=efRZgwBqJaU

Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος.

77. https://www.youtube.com/watch?v=iuB5s5PS9SY

Παραδείγματα φραγμένων τελεστών σε χώρους ακολουθιών.

78. https://www.youtube.com/watch?v=xrtDTdOf39M

79. https://www.youtube.com/watch?v=yV55mzRbs-E

80. https://www.youtube.com/watch?v=DmsZwbvJbTw

[17/5] Παραδείγματα φραγμένων τελεστών σε χώρους συναρτήσεων.

81. https://www.youtube.com/watch?v=AcxFBzJYAFc

82. https://www.youtube.com/watch?v=ub1BgmJ3vAU

83. https://www.youtube.com/watch?v=l-eLkCBs6fY

Συμπαγείς τελεστές.

84. https://www.youtube.com/watch?v=nQ-rPmUIfOc

85. https://www.youtube.com/watch?v=RhDJDGbr5oQ

Θα πούμε ακόμη λίγα πράγματα για συμπαγείς τελεστές και θα τελειώσουμε με λίγη από την θεωρία της ασθενούς τοπολογίας. Το τελικό διαγώνισμα μάλλον θα γίνει προς το τέλος Ιουνίου.



Mihalis Papadimitrakis 2021-05-17