Next: 11 Πρόβλημα 10 (22/9/2001) Up: Προβλήματα για το Μαθηματικό Previous: 9 Πρόβλημα 8 (17/9/01) Contents

2001)

Έστω . Δείξτε ότι υπάρχει ακέραιος τ.ώ. το κλασματικό μέρος του $n\sqrt 2$ ανήκει στο διάστημα .

Ορισμός: Αν ${\left\lfloor{x}\right\rfloor}$ είναι το ακέραιο μέρος του $x\in{\mathbf R}$ , δηλ. ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του , τότε το κλασματικό μέρος του ορίζεται ως ${\left\{{x}\right\}} = x - {\left\lfloor{x}\right\rfloor}$ . Είναι πάντα $0 \le {\left\{{x}\right\}} < 1$ , π.χ. ${\left\{{1.1}\right\}}=1$ και ${\left\{{-1.1}\right\}} = 0.9$ .

Λύση από Βάϊο Λάσχο (στη λύση αυτή χρησιμοποιούνται αλγεβρικές ιδιότητες του $\sqrt 2$ ).

Δεύτερη λύση από Βάϊο Λάσχο για κάθε άρρητο στη θέση του $\sqrt 2$

Λύση (παρόμοια με την δεύτερη του Β. Λάσχου) δόθηκε και από τον Τ. Ζαντορόζνι.

Mihalis Kolountzakis