next up previous contents
Next: 8 Πρόβλημα 7 (24/8/2001) Up: Προβλήματα για το Μαθηματικό Previous: 6 Πρόβλημα 5 (28/7/2001)   Contents

7 Πρόβλημα 6 (14/8/2001) - Λύθηκε (16/8/01)

Μια σφαιρική μπάλα βρίσκεται πάνω στο πάτωμα και εφάπτεται στο σημείο $A$. Την παίρνουμε από κει και παίζουμε για κάμποση ώρα. Μετά την τοποθετούμε πάλι στο πάτωμα, στο σημείο $A$. Δείξτε ότι κάποιο σημείο της μπάλας βρίσκεται ακριβώς στη θέση που είχε πριν πάρουμε τη μπάλα.

Λύση από Τιμόθεο Ζαντορόζνι (16/8/2001): κείμενο και εικόνα.

Λύση από Φάνη Ματσούκα (19/8/2001): κείμενο και εικόνα.

Και μια λύση ολίγον πιο high tech ...

Είναι φανερό ότι η όλη κίνηση της μπάλας από την αρχική μέχρι την τελική θέση μπορεί να αντικατασταθεί με κάποια κίνηση της μπάλας γύρω από το κέντρο της, το οποίο θεωρούμε σαν την αρχή των αξόνων. Μια τέτοια στερεά κίνηση που σταθεροποιεί την αρχή των αξόνων έχει τα εξής πολύ σημαντικά χαρακτηριστικά:

  1. Είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Υπάρχει δηλ. ένας $3\times3$ πίνακας $A$ τέτοιος ώστε για κάθε διάνυσμα (σημείο) $x$ η τελική του θέση δίνεται από το γινόμενο $Ax$ (το διάνυσμα γράφεται σαν ένας $3\times 1$ πίνακας-στήλη).
  2. Είναι ισομετρία. Για κάθε δηλ. $x \in {\mathbf R}^3$ έχουμε

    \begin{displaymath} {\left\vert{Ax}\right\vert} = {\left\vert{x}\right\vert}, \end{displaymath}

    όπου ${\left\vert{v}\right\vert}$ παριστάνει το (Ευκλείδιο) μήκος του διανύσματος $v$.
  3. Διατηρεί τον «προσανατολισμό» της σφαίρας. Αυτός ο περιορισμός έπεται από την περιγραφή της κίνησης ως μια στερεά κίνηση. Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασηματισμός $x \to -x$ είναι ισομετρία αλλά όχι στερεά κίνηση (είναι αδύνατο να κάνουμε μια κίνηση της μπάλας και να καταλήξει κάθε σημείο στο αντιποδικό του - τότε, εξάλλου, δε θα είχε και το πρόβλημα που συζητάμε λύση).

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο $x$ πάνω στη σφαίρα ώστε $Ax = x$ (σταθερό σημείο). Ο περιορισμός ότι το $x$ είναι πάνω στη σφαίρα (έχουμε δηλ. ${\left\vert{x}\right\vert}=1$) είναι περιττός μια και μπορούμε πάντα να διαιρέσουμε τυχόν σταθερό διάνυσμα με το μήκος του και να πάρουμε έτσι ένα σταθερό σημείο πάνω στη σφαίρα.

Ζητούμε με άλλα λόγια να δείξουμε ότι ο αριθμός $1$ είναι ιδιοτιμή του πίνακα $A$ (το αντίστοιχο - ή, ένα από τα αντίστοιχα - διάνυσμα είναι τότε σταθερό σημείο). Αλλά οι ιδιοτιμές του πίνακα $A$ είναι οι ρίζες του «χαρακτηριστικού» πολυωνύμου

\begin{displaymath} f(x) = \det (A - xI), \end{displaymath}

όπου $I$ είναι ο $3\times3$ μοναδιαίος πίνακας. Το $f$ είναι βαθμού 3, άρα έχει σίγουρα κάποια πραγματική ρίζα. Επειδή ο $A$ είναι ισομετρία έπεται εύκολα ότι κάθε πραγματική ιδιοτιμή πρέπει να είναι $\pm 1$.

Αν είναι 1, έχουμε τελειώσει. Έστω ότι το -1 είναι ιδιοτιμή. Υπάρχει τότε κάποιο μη-μηδενικό διάνυσμα $x$ τέτοιο ώστε $Ax = -x$. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρη η ευθεία που ενώνει τα $x$ και $-x$ απεικονίζεται στον εαυτό της. Άρα και ο αντίστοιχος «ισημερινός», ο μέγιστος δηλ. κύκλος κάθετος στην ευθεία αυτή απεικονίζεται στον εαυτό του. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορεί ένας κύκλος να απεικονιστεί ισομετρικά στον εαυτό του. Είτε στρίβοντας (αριστερόστροφα) κατά μια γωνία $\theta$, είτε κάνοντας μια ανάκλαση πρώτα ($x \to -x$) γύρω από το κέντρο του και μετά στρίβοντας. Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται επειδή σε αυτήν την περίπτωση ο πίνακας $A$ δε θα διατηρούσε τον προσανατολισμό της σφαίρας. Στη δεύτερη περίπτωση το τυχόν σημείο $\phi$ του ισημερινού $\phi \in [-\pi, \pi]$ απεικονίζεται στο $-\phi+\theta$. Αυτή όμως η απεικόνιση έχει το σταθερό σημείο $\phi = \theta/2$.


Mihalis Kolountzakis