Online Σεμινάριο Προβλημάτων

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Αρχή λειτουργίας: Ιούνιος 2006

Η ιστοσελίδα αυτή δεν ενημερώνεται πια.


Κοιτάξτε στο http://kolount.wordpress.com

Περιεχόμενα

• 1 Σκοπός
• 2 Τα προβλήματα
  • 2.1 Μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών (6/6/2006) - Λύθηκε: §3.1
  • 2.2 Μια στήλη από τούβλα (6/6/2006)
  • 2.3 Η πραγματική ευθεία σαν ένωση διαστημάτων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης) - Λύθηκε: §3.3
  • 2.4 Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης)
  • 2.5 Βάσεις απειροδιάστατων γραμμικών χώρων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης)
  • 2.6 Τομές ορθογωνίων παράλληλων προς τους άξονες (10/6/2006) - Λύθηκε: §3.2
  • 2.7 Προβολές σημείων στα κύρια επίπεδα (16/6/2006)
  • 2.8 Κάλυψη ευθείας (16/6/2006)
  • 2.9 Συναρτήσεις πάνω στους άρρητους (15/8/06 - Π. Παπάζογλου)
  • 2.10 Πλήθος λέξεων από 0 και 1 (22/9/06)
  • 2.11 Στρατηγική απελευθέρωσης (10/1/08 - Μ. Γιακουμάκης)
  
  
• 3 Οι λύσεις ή υποδείξεις των προβλημάτων
  • 3.1 Μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών (13/6/2006-Γιώργος Τσαρπαλής, Παν. Αθηνών (eirik@math.uoa.gr))
  • 3.2 Τομές ορθογωνίων παράλληλων προς τους άξονες (15/6/2006-Δημήτρης Κουκουλόπουλος, ΑΠΘ (dimkouk@gmail.com))
  • 3.3 Η πραγματική ευθεία σαν ένωση διαστημάτων (16/6/2006 - Δημήτρης Κουκουλόπουλος, ΑΠΘ (dimkouk@gmail.com))

1 Σκοπός

6/6/2006:

Σκοπός της σελίδας αυτής είναι να προτείνει προβλήματα Μαθηματικών, κατάλληλα για ικανούς φοιτητές, και να δημοσιεύει τις λύσεις τους.

Θα είναι στα πρότυπα μιας παλιότερης προσπάθειας που είχε γίνει ως προετοιμασία για τον Μαθηματικό Διαγωνισμό. Αυτή τη φορά δεν υπάρχει κάποια αντίστοιχη διοργάνωση αλλά τα προβλήματα θα μπαίνουν για το ενδιαφέρον τους και μόνο.

Η συχνότητα εμφάνισης των προβλημάτων θα ποικίλλει αλλά ελπίζω ότι θα είναι τουλάχιστον ένα κάθε εβδομάδα.

Οι λύσεις θα εμφανίζονται φυσικά σε ακόμη λιγότερο τακτά διαστήματα, αφού άλλα προβλήματα θα λύνονται γρήγορα κι άλλα όχι.

Αν έχετε λύσει κάποιο πρόβλημα στείλτε μου τη λύση με e-mail. Αν ξέρετε να τη γράψετε και σε latex ακόμη καλύτερα. Αν προτιμάτε μπορείτε να σκανάρετε ένα χαρτί και να στείλετε αυτό.

Τα καλά προβλήματα είναι επίσης ευπρόσδεκτα.

2 Τα προβλήματα

2.1 Μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών (6/6/2006) - Λύθηκε: §3.1

Το πρόβλημα αυτό είχε μείνει άλυτο όταν είχε τεθεί παλιότερα εδώ, αλλά δεν είναι και τόσο δύσκολο.

Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών αριθμών $a_n \in {\mathbf C}\setminus{0}$ τέτοια ώστε για κάθε $i \neq j$ ισχύει ${\left\vert{a_i - a_j}\right\vert} \ge 1$ και $\sum_{n=1}^\infty {\left\vert{a_n}\right\vert}^{-3} = +\infty$;

2.2 Μια στήλη από τούβλα (6/6/2006)

Κι αυτό έχει μείνει άλυτο από παλιότερα.

Σας δίνεται ένα άπειρο πλήθος από ίδια ορθογώνια τούβλα, διαστάσεων $30 \times 10 \times 10$ cm. Δείξτε ότι μπορείτε να φτιάξετε ένα σωρό από αυτά ο οποίος

(α)

να ισορροπεί,

(β)

να έχει ένα τούβλο σε κάθε οριζόντιο επίπεδο και

(γ)

προβαλλόμενος κατακόρυφα κάτω να φτάνει 100 m μακριά.

(Προσπαθείστε να δώσετε μια λύση χωρίς πράξεις, στηριζόμενοι σε ((φυσικά)) επιχειρήματα.)

2.3 Η πραγματική ευθεία σαν ένωση διαστημάτων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης) - Λύθηκε: §3.3

Δείξτε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν μπορεί να γραφτεί σαν αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο κλειστών και φραγμένων διαστημάτων. Μπορεί να γραφτεί σαν αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο κλειστών συνόλων;

2.4 Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης)

Δείξτε ότι το κατά σημείο όριο μιας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων έχει τουλάχιστο ένα σημείο συνέχειας.

2.5 Βάσεις απειροδιάστατων γραμμικών χώρων (6/6/2006 - Θ. Μήτσης)

Δείξτε ότι κάθε αλγεβρική βάση ενός απειροδιάστατου χώρου Banach έχει πληθάριθμο μεγαλύτερο ή ίσο από τον πληθάριθμο των πραγματικών αριθμών.

2.6 Τομές ορθογωνίων παράλληλων προς τους άξονες (10/6/2006) - Λύθηκε: §3.2

Έστω πεπερασμένα το πλήθος (ανοιχτά) ορθογώνια στο επίπεδο με τις πλευρές τους παράλληλες προς τους $x$ και $y$ άξονες, και τέτοια ώστε ανά δύο τέμνονται. Δείξτε ότι η τομή όλων είναι μη κενή.

2.7 Προβολές σημείων στα κύρια επίπεδα (16/6/2006)

Δίδεται σύνολο από $n$ σημεία στο χώρο, και έστω $n_x, n_y, n_z$ οι πληθάριθμοι των προβολών του στα τρία κύρία επίπεδα $yz$, $zx$, $xy$. Δείξτε ότι

$$n^2 \le n_x n_y n_z.$$

2.8 Κάλυψη ευθείας (16/6/2006)

Έστω $\epsilon>0$ και $A = {\mathbf Z}+(-\epsilon,\epsilon) = \bigcup_{n \in {\mathbf Z}} (n-\epsilon, n+\epsilon)$. Υπάρχει πεπερασμένο σύνολο $\Lambda={\left\{{\lambda_1,\ldots,\lambda_k}\right\}}$ από θετικούς αριθμούς τέτοιο ώστε ${\mathbf R}\subseteq \bigcup_{j=1}^k \lambda_j A$; Συμβολίζουμε εδώ

$$\lambda A = {\left\{{\lambda a: a \in A}\right\}}.$$

2.9 Συναρτήσεις πάνω στους άρρητους (15/8/06 - Π. Παπάζογλου)

1. Υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση ${\mathbf R}\setminus{\mathbf Q}\to {\mathbf R}$;
2. Υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση $[0,1]\setminus{\mathbf Q}\to [0,1]\cap{\mathbf Q}$;

2.10 Πλήθος λέξεων από 0 και 1 (22/9/06)

Έστω $f:{\mathbf Z}\to{\left\{{0,1}\right\}}$ και $n\ge 1$ φυσικός αριθμός τ.ώ. το πλήθος των λέξεων

$$f(x) f(x+1) \cdots f(x+n-1), x \in {\mathbf Z},$$

είναι $\le n$. Δείξτε ότι η συνάρτηση $f$ είναι περιοδική, ότι υπάρχει δηλαδή ακέραιος $T\neq 0$ ώστε $f(x+T) = f(x)$, για κάθε $x\in{\mathbf Z}$.

2.11 Στρατηγική απελευθέρωσης (10/1/08 - Μ. Γιακουμάκης)

Σε μια φυλακή υπάρχουν $2n$ βαρυποινίτες ($n$ μεγάλο). Ο διευθυντής της φυλακής αποφασίζει να παίξει ένα σκληρό παιχνίδι μαζί τους:

Σ' ένα δωμάτιο μέσα υπάρχουν $2n$ κλειστά κουτιά και μέσα στα κουτιά υπάρχουν τα ονόματα των $2n$ κρατουμένων, ένα όνομα σε κάθε κουτί, σε θέσεις που είναι άγνωστες στους κρατουμένους. Οι κρατούμενοι μπαίνουν ένας-ένας μέσα στο δωμάτιο, μόνοι τους, και ανοίγουν $n$ κουτιά, τα οποία επιλέγουν αυτοί. Αν μέσα στα $n$ αυτά κουτιά υπάρχει το όνομα του κρατουμένου που τα ανοίγει τότε αυτός, αφού ξανακλείσει όλα τα κουτιά χωρίς να πειράξει τα περιεχόμενά τους, βγαίνει έξω και μπαίνει ο επόμενος. (Αν βγει έξω και ο τελευταίος τότε όλοι οι κρατούμενοι απελευθερώνονται.) Αν όχι τότε το παιχνίδι σταματάει και όλοι οι κρατούμενοι εκτελούνται.

Οι κρατούμενοι μπορούν να συννενοηθούν για το ποια στρατηγική θα ακολουθήσουν πριν αρχίσει το παιχνίδι αλλά απαγορεύεται να ανταλλάξουν οποιαδήποτε πληροφορία αφού αρχίσει το παιχνίδι.

Είναι φανερό ότι αν κάθε κρατούμενος μπει μέσα και ανοίξει $n$ κουτιά στην τύχη τότε η πιθανότητα να βρεί το δικό του όνομα είναι 1/2, άρα η πιθανότητα να επιζήσουν οι κρατούμενοι, αν παίζουν με αυτό τον τρόπο, είναι $2^{-n}$, που πηγαίνει στο 0 απελπιστικά γρήγορα.

Δείξτε ότι οι κρατούμενοι μπορούν να επιλέξουν να παίξουν με μια στρατηγική που τους εγγυάται πιθανότητα επιβίωσης η οποία δε συγκλίνει στο 0 με το $n \to \infty$.

3 Οι λύσεις ή υποδείξεις των προβλημάτων

3.1 Μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών (13/6/2006-Γιώργος Τσαρπαλής, Παν. Αθηνών (eirik@math.uoa.gr))

Η λύση του προβλήματος 2.1 είναι εδώ σε PDF.

Η ιδέα, όπως φαίνεται και στην απόδειξη του Γ.Τ., είναι ότι αν θεωρήσουμε τους δίσκους με κέντρα τα $a_j$ και ακτίνα $1/2$ αυτοί δεν τέμνονται. Αν γράψουμε τώρα $A_n$ για το σύνολο των $a_j$ στο «δυαδικό» δακτύλιο

$${\left\{{z\in{\mathbf C}: 2^n\le {\left\vert{z}\right\vert} < 2^{n+1}}\right\}}$$

έχουμε λόγω της άνω ιδιότητας ότι $\char93 A_n \le C 2^{2n}$, όπου $C$ μια σταθερά, αφού το δεξί μέλος αυτής της ανισότητας είναι το εμβαδό του δακτυλίου.

Έχουμε τώρα, αν $\gamma>0$,

$$\begin{eqnarray*} \sum_j {\left\vert{a_j}\right\vert}^{-\gamma} &=& \sum_n \sum_... ...har93 A_n \cdot 2^{-\gamma n}\\ &=& C \sum_n 2^{(2-\gamma)n}, \end{eqnarray*}$$

και αυτή η σειρά συγκλίνει όταν $\gamma > 2$, άρα και για $\gamma=3$.

3.2 Τομές ορθογωνίων παράλληλων προς τους άξονες (15/6/2006-Δημήτρης Κουκουλόπουλος, ΑΠΘ (dimkouk@gmail.com))

Δείτε τη λύση εδώ σε PDF.

3.3 Η πραγματική ευθεία σαν ένωση διαστημάτων (16/6/2006 - Δημήτρης Κουκουλόπουλος, ΑΠΘ (dimkouk@gmail.com))

Δείτε τη λύση εδώ σε PDF.

Η απάντηση του πρώτου ερωτήματος είναι σωστή και μάλιστα μια τροποποίηση του επιχειρήματος δίνει αρνητική απάντηση και στο δεύτερο ερώτημα. Θ. Μήτσης

Η ιστοσελίδα αυτή δεν ενημερώνεται πια.


Κοιτάξτε στο http://kolount.wordpress.com