Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2019-20

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ



\begin{empheq}[box={\color{violet}\fboxsep=8pt\fbox }]{align}
\frac{d f}{d t}=...
...d y}{d t}
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{d z}{d t}\notag
\end{empheq}


Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Θα θεωρήσω γνωστές κάποιες βασικές έννοιες Αναλυτικής Γεωμετρίας και Γραμμικής Άλγεβρας στους Ευκλείδειους χώρους. Ενδεικτικά:

Διανύσματα στον $ \mathbb{R}^n$, γραμμικοί υπόχωροι του $ \mathbb{R}^n$, ευθείες στον $ \mathbb{R}^2$, ευθείες και επίπεδα στον $ \mathbb{R}^3$.
Συστήματα, πίνακες, ορίζουσες.
Μήκος διανύσματος, εσωτερικό γινόμενο και γωνία διανυσμάτων, ανισότητα Cauchy, τριγωνική ανισότητα. Εξωτερικό γινόμενο στον $ \mathbb{R}^3$.
Εξίσωση ευθείας στον $ \mathbb{R}^2$ και στον $ \mathbb{R}^3$. Εξίσωση επιπέδου στον $ \mathbb{R}^3$.
Απόσταση σημείου από ευθεία και από επίπεδο. Προβολή σημείου σε ευθεία και σε επίπεδο.
Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες στον $ \mathbb{R}^2$. Καρτεσιανές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες στον $ \mathbb{R}^3$.
Ημιεπίπεδα, δίσκοι, κύκλοι, ελλείψεις, παραβολές, υπερβολές στον $ \mathbb{R}^2$. Ημιχώροι, μπάλες, σφαίρες, ελλειψοειδή, παραβολοειδή, υπερβολοειδή, κώνοι στον $ \mathbb{R}^3$.

Φυσικά, στην πορεία του μαθήματος θα γίνεται η απαραίτητη υπενθύμιση αυτών των εννοιών.

Το κυρίως περιεχόμενο του μαθήματος είναι:

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (από τον $ \mathbb{R}^n$ στον $ \mathbb{R}^m$). Γράφημα συνάρτησης. Ισοσταθμικές καμπύλες και ισοσταθμικές επιφάνειες πραγματικής συνάρτησης.

Ανοικτά σύνολα στον $ \mathbb{R}^n$. Συνοριακά σημεία, σημεία συσσώρευσης. Όριο και συνέχεια συνάρτησης.

Μερικές παράγωγοι και το γεωμετρικό νόημά τους. Εφαπτόμενο επίπεδο. Παραγωγισιμότητα πραγματικής συνάρτησης και διανυσματικής συνάρτησης. Παράγωγος (πίνακας). Κλίση συνάρτησης. Το θεώρημα με την συνέχεια των μερικών παραγώγων. (Απόδειξη στην περίπτωση $ n=2$, $ m=1$.) Ιδιότητες παραγώγου.

Καμπύλες στον $ \mathbb{R}^n$. Καρτεσιανή και παραμετρική εξίσωση καμπύλης. Παράγωγος καμπύλης (ταχύτητα).

Κανόνας αλυσίδας. Ειδικές περιπτώσεις.

Κατά κατεύθυνση παράγωγος πραγματικής συνάρτησης. Η φυσική σημασία της κλίσης. Ορθογωνιότητα κλίσης και ισοσταθμικών καμπυλών και επιφανειών.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Ισότητα μεικτών παραγώγων. Τύπος του Taylor πρώτης και δεύτερης τάξης.

Τοπικά ακρότατα. Κριτήριο πρώτης παραγώγου. Εσσιανή. Τετραγωνικές μορφές. Θετικά (και αρνητικά) ορισμένες τετραγωνικές μορφές (και πίνακες).

Κλειστά σύνολα. Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής (χωρίς απόδειξη). Εφαρμογή σε θετικά ορισμένες τετραγωνικές μορφές. Κριτήριο δεύτερης παραγώγου.

Γενικό κριτήριο για θετικότητα τετραγωνικής μορφής (χωρίς απόδειξη). Κριτήριο βάσει ιδιοτιμών. Τοπικά ακρότατα και σαγματικά σημεία για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Ολικά ακρότατα. Ακρότατα υπό συνθήκες. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Ακρότατα υπό μία συνθήκη και υπό περισσότερες από μία συνθήκες.

Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Η περίπτωση μίας εξίσωσης. (Μάλλον χωρίς απόδειξη.) Το εφαπτόμενο επίπεδο ισοσταθμικής επιφάνειας. Η περίπτωση περισσοτέρων της μίας εξισώσεων.

Το θεώρημα για ύπαρξη τοπικού αντιστρόφου.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τετάρτη και Πέμπτη 1-3 στην αίθουσα Α201.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 11-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι τα μαθήματα Απειροστικός Λογισμός Ι, Αναλυτική Γεωμετρία και Μιγαδικοί Αριθμοί, και Εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω αρκετά πιστά τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden, Tromba.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος.

1.5 Βιβλιογραφία.

Δύο πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Calculus" του Apostol και το "Introduction to Calculus and Analysis" των Courant, John.

1.6 Βαθμολόγηση.

Την Τρίτη 31 Μαρτίου, 6:45-8:15, θα γίνει πρόοδος (στην πρώτη μισή ύλη). Για όσους γράψουν την πρόοδο ο τελικός βαθμός θα προκύψει κατά 30% (υποχρεωτικά) από τον βαθμό της προόδου και κατά 70% από τον βαθμό του τελικού διαγωνίσματος (στην δεύτερη μισή ύλη). Για όσους δεν γράψουν την πρόοδο ο τελικός βαθμός θα είναι ο βαθμός του τελικού διαγωνίσματος (σε ολόκληρη την ύλη).

1.7 Ασκήσεις και Εργαστήριο.

Στο τέλος κάθε εβδομάδας θα αναρτώ εδώ ένα φυλλάδιο ασκήσεων πάνω στην ύλη της εβδομάδας. Θεωρώ απολύτως απαραίτητο να λύνετε τις ασκήσεις του φυλλαδίου.

Κάθε εβδομάδα (από την δεύτερη και μετά) θα γίνεται ένα τετράωρο εργαστήριο, Τρίτη 1-5 στις αίθουσες Ε212, Ε214, όπου θα λύνετε ασκήσεις παρόμοιες με τις ασκήσεις του φυλλαδίου της προηγούμενης εβδομάδας, με τη βοήθεια τη δική μου και των βοηθών.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

1η εβδομάδα (3-7/2).

[8/2] Οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας και το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

2η εβδομάδα (10-14/2).

[13/2] Όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι τέσσερις πρώτες διαλέξεις). Έχω ξαναγράψει τα παραδείγματα για το γράφημα και τα ισοσταθμικά σύνολα συνάρτησης.

[14/2] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

3η εβδομάδα (17-21/2).

[22/2] Όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι έξι πρώτες διαλέξεις).

[23/2] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.

4η εβδομάδα (24-28/2).

[29/2] Οι οκτώ πρώτες διαλέξεις και το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων.

5η εβδομάδα (2-6/3).

[9/3] Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων και οι δέκα πρώτες διαλέξεις.

Λόγω της γνωστής κατάστασης, οι διαλέξεις (και η πρόοδος) αναβάλλονται επ' αόριστον. Δεν θα επιτρέψουμε στον ιό να μορφωθεί!

Επειδή η κατάσταση είναι πολύ απρόβλεπτη, από τώρα και στο εξής θα ακολουθήσουμε το εξής σύστημα. Κάθε εβδομάδα θα αναρτώ εδώ σημειώσεις θεωρίας για την εβδομάδα και ένα αντίστοιχο φυλλάδιο ασκήσεων. Έτσι, δεν θα ξεκοπείτε από την ροή του μαθήματος. Όταν με το καλό αρχίσουμε πάλι τα μαθήματα, τότε ανάλογα με τις γενικότερες (εννοώ στο τμήμα, στο πανεπιστήμιο, αλλά και στα πανεπιστήμια της χώρας) διευθετήσεις, είτε θα αρχίσουμε τις διαλέξεις πάνω στην θεωρία από εκεί που σταματήσαμε την προηγούμενη εβδομάδα, είτε (αν απομένει λίγος χρόνος) θα γίνουν διαλέξεις πάνω σε ασκήσεις των φυλλαδίων, είτε κάτι μεικτό. Βλέποντας και κάνοντας, λοιπόν. Εσείς, πάντως, συνεχίστε να μελετάτε.

6η εβδομάδα (9-13/3).

[13/3] Αναρτώ δεύτερη φορά τις δέκα πρώτες διαλέξεις. Έχω κάνει κάποιες αλλαγές και έχω προσθέσει στο τέλος δύο επιπλέον παραδείγματα σχετικά με μία από τις ασκήσεις του πέμπτου φυλλαδίου.

Συμβουλή: Στην πρώτη ανάγνωση των σημειώσεων δεν χρειάζεται να διαβάζετε τις αποδείξεις των θεωρητικών προτάσεων. Φροντίστε, όμως, να κατανοείτε τις διατυπώσεις των προτάσεων καθώς και τα (πολλά) παραδείγματα.

Αύριο ή μεθαύριο θα αναρτήσω επιπλέον σημειώσεις και το επόμενο φυλλάδιο ασκήσεων.

[14/3] Οι δώδεκα πρώτες διαλέξεις. Υπάρχουν δύο νέες ενότητες: μία για καμπύλες και μία για την έννοια της κατά κατεύθυνση παραγώγου πραγματικής συνάρτησης. Σχετικό με αυτά είναι το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.

Σε μία εβδομάδα περίπου θα ακολουθήσουν κι άλλες σημειώσεις και το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων. Ελπίζω έτσι να καταφέρω να σας κρατήσω μέσα στο σπίτι ώστε να μην τριγυρνάτε άσκοπα στους δρόμους και μολύνετε παππούδες, γιαγιάδες, καρδιακούς, ασθματικούς και διαβητικούς.

7η εβδομάδα (16-20/3).

[21/3] Οι 14 πρώτες διαλέξεις και το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων.

Το περιεχόμενο της ύλης της έβδομης εβδομάδας είναι μία μικρή και πολύ απλή ενότητα για παραγώγους ανώτερης τάξης (κυρίως δεύτερης τάξης), και μία ενότητα για αναπτύγματα Taylor πρώτης και δεύτερης τάξης. Αυτή η δεύτερη ενότητα είναι λίγο πιο περίπλοκη. Το "πρόβλημα" είναι ότι υπάρχουν μερικές νέες έννοιες (τετραγωνικές μορφές, Εσσιανή μορφή και Εσσιανός πίνακας συνάρτησης) και οι αντίστοιχοι συμβολισμοί, αλλά οι έννοιες αυτές δεν έχουν ιδιαίτερο βάθος. Νομίζω ότι δεν πρέπει να υπάρχει ουσιαστικό πρόβλημα στην κατανόησή τους. Φροντίστε να καταλάβετε πώς σχετίζονται η κλίση και η Εσσιανή τετραγωνική μορφή μίας συνάρτησης f με το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης της f.

Επαναλαμβάνω ότι κατά την πρώτη ανάγνωση των σημειώσεων δεν χρειάζεται να διαβάζετε τις αποδείξεις των θεωρητικών προτάσεων. Οι ασκήσεις μπορούν να λυθούν εύκολα, αρκεί να διαβάσετε προσεκτικά την περιγραφή ανάμεσα στις προτάσεις, τις διατυπώσεις τους, και τα παραδείγματα.

Η πρώτη άσκηση είναι απλός υπολογισμός μερικών παραγώγων. Η δεύτερη και η τρίτη άσκηση είναι απλή εξάσκηση στον υπολογισμό μερικών παραγώγων βάσει του κανόνα αλυσίδας. Η τέταρτη άσκηση έχει να κάνει με την σχέση ανάμεσα σε τετραγωνικές μορφές και σε πίνακες. (Οι συντελεστές των όρων της τετραγωνικής μορφής, οι οποίοι είναι τετράγωνα των μεταβλητών, είναι οι διαγώνιοι όροι του πίνακα. Οι συντελεστές των όρων της τετραγωνικής μορφής, οι οποίοι είναι γινόμενα διαφορετικών μεταβλητών, μοιράζονται στη μέση και τα μισά τους είναι οι μη-διαγώνιοι όροι του πίνακα.) Υπάρχουν δύο αντίστοιχα παραδείγματα στις σημειώσεις. Για την πέμπτη άσκηση δείτε τα δύο τελευταία παραδείγματα σχετικά με το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης. Δείτε, όμως, και τα αντίστοιχα παραδείγματα (οι ίδιες συναρτήσεις) για το (πιο απλό) ανάπτυγμα Taylor πρώτης τάξης. (Πρώτα, όμως, διαβάστε πολύ καλά τις διατυπώσεις των αντίστοιχων προτάσεων).

Θα προσπαθήσω να αρχίσω σε λίγο καιρό να αναρτώ βιντεάκια με μάθημα. Θα δούμε.

8η εβδομάδα (23-27/3).

[29/3] Οι 16 πρώτες διαλέξεις και το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.

Το περιεχόμενο της ύλης της όγδοης εβδομάδας είναι η εύρεση των τοπικών ακροτάτων πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Εδώ έχουμε το κριτήριο πρώτης παραγώγου και το κριτήριο δεύτερης παραγώγου. Διαβάστε πάρα πολύ προσεκτικά τις διατυπώσεις των διαφόρων προτάσεων και θεωρημάτων (αφήνοντας για αργότερα τις αποδείξεις τους) καθώς και τα πολλά παραδείγματα. Βάσει των παραδειγμάτων θα λύσετε τις ασκήσεις του φυλλαδίου. Υπάρχει και η τελευταία ενότητα, για ιδιοτιμές πινάκων. Με αυτήν ασχοληθείτε μόνο όσοι γνωρίζετε ήδη τις έννοιες της ιδιοτιμής και του ιδιοδιανύσματος πίνακα, από την Γραμμική Άλγεβρα, και διαβάστε μόνο τον ορισμό της ιδιοτιμής και του ιδιοδιανύσματος και την πρόταση 3.3. Αυτή η πρόταση είναι ένα από τα εργαλεία για να αποφασίζετε πότε ένας πίνακας είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένος. Οι υπόλοιποι δεν χρειάζεται να διαβάσετε την ενότητα για ιδιοτιμές και μπορείτε να αγνοήσετε οποιαδήποτε αναφορά σε ιδιοτιμές στην δεύτερη ενότητα.

Η υπόσχεση για βιντεάκια ισχύει. (Έχω ένα προσωρινό προβληματάκι με τον σκηνοθέτη και την μακιγιέζ: ζητούν μια περιουσία για να βγουν από τα σπίτια τους.)



Mihalis Papadimitrakis 2020-03-29