Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2019-20

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ



\begin{empheq}[box={\color{violet}\fboxsep=8pt\fbox }]{align}
\frac{d f}{d t}=...
...d y}{d t}
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{d z}{d t}\notag
\end{empheq}


Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Θα θεωρήσω γνωστές κάποιες βασικές έννοιες Αναλυτικής Γεωμετρίας και Γραμμικής Άλγεβρας στους Ευκλείδειους χώρους. Ενδεικτικά:

Διανύσματα στον $ \mathbb{R}^n$, γραμμικοί υπόχωροι του $ \mathbb{R}^n$, ευθείες στον $ \mathbb{R}^2$, ευθείες και επίπεδα στον $ \mathbb{R}^3$.
Συστήματα, πίνακες, ορίζουσες.
Μήκος διανύσματος, εσωτερικό γινόμενο και γωνία διανυσμάτων, ανισότητα Cauchy, τριγωνική ανισότητα. Εξωτερικό γινόμενο στον $ \mathbb{R}^3$.
Εξίσωση ευθείας στον $ \mathbb{R}^2$ και στον $ \mathbb{R}^3$. Εξίσωση επιπέδου στον $ \mathbb{R}^3$.
Απόσταση σημείου από ευθεία και από επίπεδο. Προβολή σημείου σε ευθεία και σε επίπεδο.
Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες στον $ \mathbb{R}^2$. Καρτεσιανές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες στον $ \mathbb{R}^3$.
Ημιεπίπεδα, δίσκοι, κύκλοι, ελλείψεις, παραβολές, υπερβολές στον $ \mathbb{R}^2$. Ημιχώροι, μπάλες, σφαίρες, ελλειψοειδή, παραβολοειδή, υπερβολοειδή, κώνοι στον $ \mathbb{R}^3$.

Φυσικά, στην πορεία του μαθήματος θα γίνεται η απαραίτητη υπενθύμιση αυτών των εννοιών.

Το κυρίως περιεχόμενο του μαθήματος είναι:

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (από τον $ \mathbb{R}^n$ στον $ \mathbb{R}^m$). Γράφημα συνάρτησης. Ισοσταθμικές καμπύλες και ισοσταθμικές επιφάνειες πραγματικής συνάρτησης.

Ανοικτά σύνολα στον $ \mathbb{R}^n$. Συνοριακά σημεία, σημεία συσσώρευσης. Όριο και συνέχεια συνάρτησης.

Μερικές παράγωγοι και το γεωμετρικό νόημά τους. Εφαπτόμενο επίπεδο. Παραγωγισιμότητα πραγματικής συνάρτησης και διανυσματικής συνάρτησης. Παράγωγος (πίνακας). Κλίση συνάρτησης. Το θεώρημα με την συνέχεια των μερικών παραγώγων. (Απόδειξη στην περίπτωση $ n=2$, $ m=1$.) Ιδιότητες παραγώγου.

Καμπύλες στον $ \mathbb{R}^n$. Καρτεσιανή και παραμετρική εξίσωση καμπύλης. Παράγωγος καμπύλης (ταχύτητα).

Κανόνας αλυσίδας. Ειδικές περιπτώσεις.

Κατά κατεύθυνση παράγωγος πραγματικής συνάρτησης. Η φυσική σημασία της κλίσης. Ορθογωνιότητα κλίσης και ισοσταθμικών καμπυλών και επιφανειών.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Ισότητα μεικτών παραγώγων. Τύπος του Taylor πρώτης και δεύτερης τάξης.

Τοπικά ακρότατα. Κριτήριο πρώτης παραγώγου. Εσσιανή. Τετραγωνικές μορφές. Θετικά (και αρνητικά) ορισμένες τετραγωνικές μορφές (και πίνακες).

Κλειστά σύνολα. Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής (χωρίς απόδειξη). Εφαρμογή σε θετικά ορισμένες τετραγωνικές μορφές. Κριτήριο δεύτερης παραγώγου.

Γενικό κριτήριο για θετικότητα τετραγωνικής μορφής (χωρίς απόδειξη). Κριτήριο βάσει ιδιοτιμών. Τοπικά ακρότατα και σαγματικά σημεία για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Ολικά ακρότατα. Ακρότατα υπό συνθήκες. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Ακρότατα υπό μία συνθήκη και υπό περισσότερες από μία συνθήκες.

Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Η περίπτωση μίας εξίσωσης. (Μάλλον χωρίς απόδειξη.) Το εφαπτόμενο επίπεδο ισοσταθμικής επιφάνειας. Η περίπτωση περισσοτέρων της μίας εξισώσεων.

Το θεώρημα για ύπαρξη τοπικού αντιστρόφου.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τετάρτη και Πέμπτη 1-3 στην αίθουσα Α201.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 11-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι τα μαθήματα Απειροστικός Λογισμός Ι, Αναλυτική Γεωμετρία και Μιγαδικοί Αριθμοί, και Εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω αρκετά πιστά τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden, Tromba.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος.

1.5 Βιβλιογραφία.

Δύο πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Calculus" του Apostol και το "Introduction to Calculus and Analysis" των Courant, John.

1.6 Βαθμολόγηση.

Την Τρίτη 31 Μαρτίου, 6:45-8:15, θα γίνει πρόοδος (στην πρώτη μισή ύλη). Για όσους γράψουν την πρόοδο ο τελικός βαθμός θα προκύψει κατά 30% (υποχρεωτικά) από τον βαθμό της προόδου και κατά 70% από τον βαθμό του τελικού διαγωνίσματος (στην δεύτερη μισή ύλη). Για όσους δεν γράψουν την πρόοδο ο τελικός βαθμός θα είναι ο βαθμός του τελικού διαγωνίσματος (σε ολόκληρη την ύλη).

1.7 Ασκήσεις και Εργαστήριο.

Στο τέλος κάθε εβδομάδας θα αναρτώ εδώ ένα φυλλάδιο ασκήσεων πάνω στην ύλη της εβδομάδας. Θεωρώ απολύτως απαραίτητο να λύνετε τις ασκήσεις του φυλλαδίου.

Κάθε εβδομάδα (από την δεύτερη και μετά) θα γίνεται ένα τετράωρο εργαστήριο, Τρίτη 1-5 στις αίθουσες Ε212, Ε214, όπου θα λύνετε ασκήσεις παρόμοιες με τις ασκήσεις του φυλλαδίου της προηγούμενης εβδομάδας, με τη βοήθεια τη δική μου και των βοηθών.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

1η εβδομάδα (3-7/2).

[8/2] Οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας και το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

2η εβδομάδα (10-14/2).

[13/2] Όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι τέσσερις πρώτες διαλέξεις). Έχω ξαναγράψει τα παραδείγματα για το γράφημα και τα ισοσταθμικά σύνολα συνάρτησης.

[14/2] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

3η εβδομάδα (17-21/2).

[22/2] Όσα κάναμε μέχρι τώρα (οι έξι πρώτες διαλέξεις).

[23/2] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.



Mihalis Papadimitrakis 2020-02-23