Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2017-18

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση


Προκαταρκτικά.

Περιεχόμενο του μαθήματος.

Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:

Στοιχεία τοπολογίας μιγαδικού επιπέδου. Ειδικώτερα, συμπάγεια και συνεκτικότητα. Σειρές αριθμών και συναρτήσεων. Επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Ολόμορφες συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση και αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.

Τοπικό θεώρημα Cauchy (και συμπεράσματα σε κυρτά σύνολα). Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: πόλοι, ουσιώδεις. Θεωρήματα Liouville και Morera. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Αρχή ταυτότητας. Αρχή μεγίστου.

Δείκτης στροφής καμπύλης. Ομοτοπία καμπυλών. Αλυσίδες και κύκλοι. Ομολογία. Σφαιρικό θεώρημα Cauchy. Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.

Απλή συνεκτικότητα (τοπολογική, ομοτοπική, ομολογική). Πεπερασμένη συνεκτικότητα και βάσεις ομολογίας.

Ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή. Θεώρημα του Montel. Θεώρημα του Hurewicz.

Σύμμορφες απεικονίσεις. Θεώρημα Riemann.

Ό,τι άλλο προκύψει.

Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 3-5 στην αίθουσα Β212.

Βιβλιογραφία.

"Complex Analysis" (3rd ed) του Ahlfors, "Real and Complex Analysis" (3rd ed) του Rudin.

Κάθε εβδομάδα θα αναρτώ και προσωπικές σημειώσεις (στα αγγλικά).

Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από δύο υποχρεωτικές προόδους (50 τοις εκατό η καθεμία).

Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη που παραλείπω από τις σημειώσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

Πρώτη εβδομάδα (5-9/2).

[8/2] Οι σημειώσεις (στα αγγλικά) της πρώτης εβδομάδας (και λίγο παραπάνω). Τις επόμενες ημέρες θα ανεβάσω ένα πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων για εξάσκηση.

[11/2] Το πρώτο φυλάδιο ασκήσεων.

Δεύτερη εβδομάδα (12-16/2).

[14/2] Οι σημειώσεις όπως έχουν διαμορφωθεί τώρα. Περιέχουν την ύλη μερικών ακόμη εβδομάδων. Έχω κάνει και κάποιες αλλαγές στις προηγούμενες σημειώσεις.

[19/2] Το δεύτερο φυλάδιο ασκήσεων.

Από τις ασκήσεις στις σημειώσεις μου επιλέγω κάποιες λίγες πολύ χαρακτηριστικές και σίγουρα όχι τις δύσκολες. (Αν είναι κάποιες δύσκολες, όπως μία στο δεύτερο φυλάδιο, θα τις σημειώνω με αστερίσκο.) Αν προσέξετε τις ασκήσεις που βάζω στα φυλλάδια, τότε το μάθημα το έχετε σίγουρο.

Για να σας παρακινήσω να μελετάτε τις ασκήσεις (αλλά και για να έχω μια αίσθηση της ανταπόκρισης του ακροατηρίου στις διάφορες έννοιες), αποφάσισα να ζητώ να μου δίνετε λυμένες κάποιες ακόμη πιο λίγες από κάθε φυλλάδιο, και θα υπολογίσω την εργασία σας με τις ασκήσεις ως ένα ποσοστό στον τελικό βαθμό. Αρχίζοντας, θα ήθελα να μου φέρετε λυμένες τις 3, 9 από το πρώτο φυλλάδιο και τις 3, 9, 11 από το δεύτερο φυλλάδιο, μέχρι την Τρίτη 27/2 στο μάθημα (αλλά όχι αργότερα).

Οι σημειώσεις όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα. Όπως και πριν, οι σημειώσεις περιέχουν την ύλη μερικών ακόμη εβδομάδων.

Υπάρχουν οι εξής αλλαγές σε σχέση με τις προηγούμενες σημειώσεις (πέρα από τις νέες ενότητες): (i) Ο ορισμός της συνέχειας στο άπειρο και το σχετικό παράδειγμα με τις ρητές συναρτήσεις στο τέλος της ενότητας 1.4. (ii) Ο ορισμός του χωρίου (region) και του κλειστού χωρίου (closed region) στην ενότητα 1.6. (iii) Μια μικρή αλλαγή στο παράδειγμα 3.2.7 και ένα νέο παράδειγμα 3.2.8 στην ενότητα 3.2 (επικαμπύλια ολοκληρώματα). (iv) Τα παραδείγματα 5.2.1 και 5.2.2 στην ενότητα 5.2. (v) Στην ενότητα 5.5 έχω αλλάξει τον όρο "αντιπαράγωγος" (antiderivative) σε "αρχική συνάρτηση" (primitive). Επίσης υπάρχει μία νέα πρόταση 5.21, έχουν γίνει μικροαλλαγές στα παραδείγματα 5.5.1, 5.5.3, 5.5.4 και υπάρχουν νέα παραδείγματα 5.5.5, 5.5.6. (vi) Αλλαγές σε διάφορες ασκήσεις και νέες ασκήσεις.

Τρίτη εβδομάδα (19-23/2).

[25/2] Το τρίτο φυλάδιο ασκήσεων. Προσπαθήστε όλες τις ασκήσεις. Θέλω να μου επιστρέψετε λυμένες τις 2, 4 μέχρι την Τρίτη 6/3 στο μάθημα.

Τέταρτη εβδομάδα (26/2-2/3).

[4/3] Το τέταρτο φυλάδιο ασκήσεων. Προσπαθήστε όλες τις ασκήσεις. Θέλω να μου επιστρέψετε λυμένες τις 3(i,ii), 4(i), 5 μέχρι την Τρίτη 13/3 στο μάθημα.

Πέμπτη εβδομάδα (5/3-9/3).

[5/3] Οι σημειώσεις όπως έχουν διαμορφωθεί μέχρι τώρα. Έχουν προστεθεί δύο μικρές ενότητες στο τέλος του κεφαλαίου 6. Έχουν γίνει και άλλες μικρότερες αλλαγές, αλλά έχω χάσει τον λογαριασμό. Όσα έχω αναρτήσει μέχρι στιγμής επαρκούν για τις επόμενες δυο-τρεις εβδομάδες και πάνω σ' αυτά θα εξεταστείτε στην πρώτη πρόοδο. Δεν θα κάνω καμμία άλλη αλλαγή.

[11/3] Το πέμπτο φυλάδιο ασκήσεων. Όπως πάντα, προσπαθήστε όλες τις ασκήσεις. Επιστρέψτε λυμένες τις 4, 6, 8 μέχρι την Τρίτη 20/3 στο μάθημα.

Έκτη εβδομάδα (12/3-16/3).

[16/3] Το έκτο φυλάδιο ασκήσεων. Επιστρέψτε λυμένες τις 2, 3, 8 μέχρι την Τρίτη 27/3 στο μάθημα.

Έβδομη εβδομάδα (19/3-23/3).

[25/3] Οι σημειώσεις. Ένα νέο κεφάλαιο ζεστό-ζεστό.

Όγδοη εβδομάδα (26/3-30/3).

[12/4] Ένα συμπληρωματικό φυλάδιο ασκήσεων για επανάληψη. Κοιτάξτε και τις ασκήσεις των φυλλαδίων. Υπενθυμίζω ότι η πρώτη πρόοδος αναβλήθηκε και θα γίνει στις 3 την Δευτέρα, 16/4.

Ένατη εβδομάδα (16/4-20/4).

[20/4] Το έβδομο φυλάδιο ασκήσεων. Επιστρέψτε λυμένες τις 1, 6, 8 μέχρι την Τρίτη 24/4 στο μάθημα.

Δέκατη εβδομάδα (23/4-27/4).

[29/4] Το όγδοο φυλάδιο ασκήσεων. Επιστρέψτε λυμένες τις 6, 8, 11 μέχρι την Πέμπτη 3/5 στο μάθημα.

[30/4] Οι σημειώσεις με νέα ύλη.

Ενδέκατη εβδομάδα (30/4-4/5).

Δωδέκατη εβδομάδα (7/5-11/5).

[12/5] Το ένατο φυλάδιο ασκήσεων. Επιστρέψτε λυμένες τις 2, 7 μέχρι την Πέμπτη 17/5 στο μάθημα.

Δέκατη τρίτη εβδομάδα (14/5-18/5).

[14/6] Οι σημειώσεις ολοκληρωμένες.



Mihalis Papadimitrakis 2018-06-14