Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2019-20

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση


Προκαταρκτικά.

Περιεχόμενο του μαθήματος.

Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:

Το μιγαδικό επίπεδο και η σφαίρα του Riemann. Σειρές αριθμών και συναρτήσεων. Επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Ολόμορφες συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση και αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.

Τοπικό θεώρημα Cauchy (και συμπεράσματα σε κυρτά σύνολα). Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: πόλοι, ουσιώδεις. Θεωρήματα Liouville και Morera. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Αρχή ταυτότητας. Αρχή μεγίστου.

Δείκτης στροφής καμπύλης. Ομοτοπία καμπυλών. Αλυσίδες και κύκλοι. Ομολογία. Σφαιρικό θεώρημα Cauchy. Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.

Απλή συνεκτικότητα (τοπολογική, ομοτοπική, ομολογική). Πεπερασμένη συνεκτικότητα και βάσεις ομολογίας.

Ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή. Θεώρημα του Montel. Θεώρημα του Hurewicz.

Σύμμορφες απεικονίσεις. Θεώρημα Riemann.

Ό,τι άλλο προκύψει.

Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 9-11 στην αίθουσα Β212. Ίσως υπάρχει κι ένα δίωρο ασκήσεων Παρασκευή 9-11 στην Β212.

Βιβλιογραφία.

"Complex Analysis" (3rd ed) του Ahlfors, "Real and Complex Analysis" (3rd ed) του Rudin, "Complex Function Theory" (2nd ed) του Sarason.

Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα.

Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

Πρώτη εβδομάδα (23-27/9).

[24/9] Σημειώσεις πάνω σε μετρικούς χώρους. Είναι μικρή παραλλαγή του αντίστοιχου κεφαλαίου των σημειώσεών μου της Ανάλυσης. Επίσης αυτές είναι στα αγγλικά (sorry ...). Μπορείτε να τις συμβουλεύεστε για τις βασικές έννοιες μετρικών χώρων (μάλλον μην ασχοληθείτε με τις ασκήσεις εκτός αν έχετε χρόνο και θέλετε να γνωρίσετε τα όριά σας).

[28/9] Το πρώτο φυλάδιο ασκήσεων. Οι ασκήσεις είναι για μετρικούς χώρους. Μην καταφύγετε στο google για βοήθεια γι αυτό αλλά και για τα επόμενα φυλάδια ασκήσεων. Είναι απείρως προτιμότερο να συνεργαστείτε ή να απευθυνθείτε σε εμένα όποτε χρειαστείτε βοήθεια.

Δεύτερη εβδομάδα (30/9-4/10).

[4/10] Το πρώτο μέρος των σημειώσεων. Σιγά-σιγά θα ανεβάζω καινούργια κομμάτια.

[5/10] Το δεύτερο φυλάδιο ασκήσεων.

Τρίτη εβδομάδα (7-11/10).

[12/10] Το τρίτο φυλάδιο ασκήσεων.

Τέταρτη εβδομάδα (14-18/10).

[20/10] Το τέταρτο φυλάδιο ασκήσεων.

Πέμπτη εβδομάδα (21-25/10).

Οι σημειώσεις με ένα νέο κεφάλαιο.

[26/10] Το πέμπτο φυλάδιο ασκήσεων.

Έκτη εβδομάδα (28/10-1/11).

Οι σημειώσεις με ακόμη ένα νέο κεφάλαιο.

Από τώρα και μέχρι τέλους του εξαμήνου δεν θα ξανακάνουμε μάθημα (ασκήσεις) την Παρασκευή. Η προσέλευση είναι πολύ μικρή. Όποιος δυσκολεύεται ή έχει απορίες πάνω στις ασκήσεις μπορεί οποτεδήποτε να με ρωτά για βοήθεια και υποδείξεις.

Η (μη υποχρεωτική) πρόοδος θα γίνει 9-11 την Παρασκευή 6/12. Η ύλη θα είναι ό,τι έκανα μέχρι και την τοπική συμπεριφορά ολόμορφης συνάρτησης.

Έβδομη εβδομάδα (4-8/11).

[11/11] Το έκτο φυλάδιο ασκήσεων. (Υπάρχουν και τρεις καραμελίτσες στο τέλος.)

Όγδοη εβδομάδα (11-15/11).

[18/11] Το έβδομο φυλάδιο ασκήσεων.

Ένατη εβδομάδα (18-22/11).

[22/11] Το όγδοο φυλάδιο ασκήσεων.



Mihalis Papadimitrakis 2019-11-22