Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2020-21

Μιγαδική Ανάλυση (ΜΕΜ-213)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Τα θέματα που θα μελετήσουμε είναι χοντρικά τα εξής:

Μιγαδικοί αριθμοί, όρισμα, δυνάμεις, ρίζες.

Στοιχεία τοπολογίας μιγαδικού επιπέδου. Ειδικώτερα, συμπάγεια και συνεκτικότητα.

Όρια και συνέχεια.

Αναλυτικές συναρτήσεις. Εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αναλυτικοί κλάδοι λογαριθμικής συνάρτησης και ριζών.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα.

Τοπικό θεώρημα Cauchy. Δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο και τύποι Cauchy.

Περιγραφή της έννοιας της απλής συνεκτικότητας και το γενικό θεώρημα Cauchy (χωρίς αποδείξεις).

Αρχή μεγίστου, θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας και θεωρήματα Liouville και Morera.

Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες: αιρόμενες ανωμαλίες, πόλοι, ουσιώδεις ανωμαλίες. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων και υπολογισμοί ολοκληρωμάτων. Αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouchè και θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.

Σύμμορφες απεικονίσεις. Παραδείγματα με δίσκους, ημιεπίπεδα κλπ. Θεώρημα Riemann (χωρίς απόδειξη).

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Επειδή, λόγω της υγειονομικής κατάστασης, δεν μπορεί να γίνει μάθημα με φυσική παρουσία, θα ανεβάζω βιντεοσκοπημένες διαλέξεις μου στο youtube. Για ερωτήσεις θα με βρίσκετε 1-3 κάθε Τρίτη στο γραφείο μου.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι οι Αναλύσεις 1 και 2 και οι τρείς Απειροστικοί Λογισμοί.

1.4 Βιβλιογραφία.

Θα ακολουθήσω τις σημειώσεις μου, τις οποίες θα ανεβάζω σταδιακά κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.

Μερικά πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το Complex Variables των Ash, Novinger, το Functions of One Complex Variable του Conway, το Complex Variables του Fisher, και το Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές των Churchill, Brown.

1.5 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα.

1.6 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα αναρτώ ασκήσεις και ερωτήσεις, με τις απαντήσεις τους ή/και υποδείξεις για την λύση τους.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ ο,τιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη που παραλείπω από τις σημειώσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

[9/10] Ζητώ συγγνώμη που δεν έχω αρχίσει ακόμη την ανάρτηση βίντεο. Αυτό οφείλεται σε κάποιο τεχνικό πρόβλημα, το οποίο θα λυθεί άμεσα.

[10/10] Έχουν αναρτηθεί τα πρώτα πέντε βίντεο:

1. https://www.youtube.com/watch?v=qobejnMtSrY

2. https://www.youtube.com/watch?v=Q89YJJhrTj8

3. https://www.youtube.com/watch?v=xLBYmdykUg8

4. https://www.youtube.com/watch?v=ghFsVvpmXFw

5. https://www.youtube.com/watch?v=f3r3rYJx3ZU

Τα βίντεο θα αναφέρονται ως complex analysis 1, complex analysis 2, κ.τ.λ. μέχρι το τέλος του εξαμήνου.

[11/10] Άλλα τρία βίντεο:

6. https://www.youtube.com/watch?v=xbavtMcXn3s

7. https://www.youtube.com/watch?v=424RE5j_1s8

8. https://www.youtube.com/watch?v=NcuGxAwp49Y

Τα βίντεο ανεβαίνουν κάπως γρήγορα διότι έχω καθυστερήσει. Μετά από την επόμενη εβδομάδα τα βίντεο θα ανεβαίνουν με αργότερο ρυθμό.

[17/10] Άλλα έξι βίντεο:

9. https://www.youtube.com/watch?v=aFzPVCROqQU

10. https://www.youtube.com/watch?v=SI6es0afcNY

11. https://www.youtube.com/watch?v=Z6pqhVyHKFE

12. https://www.youtube.com/watch?v=E5HP2-hFEYk

13. https://www.youtube.com/watch?v=ZioTfx-jdII

14. https://www.youtube.com/watch?v=rzQD977ICc0

Αν τυχόν έχετε παλαιότερες σημειώσεις μου, αγνοήστε τις. Να οι νέες σημειώσεις. Σιγά-σιγά θα προσθέτω νέα κεφάλαια σ' αυτές.

[18/10] Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Οι ασκήσεις είναι πολλές, αλλά οι περισσότερες είναι υπολογιστικές.

Τα επόμενα δύο βίντεο:

15. https://www.youtube.com/watch?v=5GFzYBPEBV4

16. https://www.youtube.com/watch?v=mX83fFD7rvg

[20/10] Στο πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων έχω προσθέσει υποδείξεις/απαντήσεις για σχεδόν όλες τις ασκήσεις.

[24/10] Οι σημειώσεις με ένα νέο κεφάλαιο (ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα, ακολουθίες, συμπαγή σύνολα, συνεκτικά σύνολα).



Mihalis Papadimitrakis 2020-10-24