Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2019-20

Συναρτησιακή Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.

Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής$ -*$ σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες $ \sigma(X,X^*)$, $ \sigma(X^*,X)$, $ \sigma(X^*,X^{**})$. Θεώρημα Alaoglou.

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.

Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 9-11 στην αίθουσα Β 212.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 11-1, ή συνάντηση μετά από συνεννόηση.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου. Η συναρτησιακή ανάλυση είναι πολύ φτωχή χωρίς παραδείγματα από την πραγματική ανάλυση (χώροι μέτρου, χώροι $ L^p$ κ.τ.λ.).

1.4 Βιβλιογραφία.

"Functional Analysis" του Lax.
"A course in Functional Analysis" του Conway.
"Linear Analysis" του Bollobás.
"Functional Analysis" των Riesz, Nagy.
"Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.

1.5 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).

1η εβδομάδα (3-7/2).

[8/2] Οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας (και κάτι παραπάνω).

Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε όσες περισσότερες ασκήσεις μπορείτε και φέρτε τις την Πέμπτη 13/2 στο μάθημα.

Αν υπάρχει ενδιαφέρον, θα μπορούσαμε να βρούμε παραπάνω ώρα για να συζητάμε τις ασκήσεις.

2η εβδομάδα (10-14/2).

[15/2] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις εφτά πρώτες ασκήσεις μέχρι την Πέμπτη 20/2. Κοιτάξτε, αν θέλετε, (χωρίς να μου φέρετε τις λύσεις τους) και τις υπόλοιπες ασκήσεις: περιέχουν μερικά σημαντικά παραδείγματα χώρων με νόρμα.

Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες από όσες ανέπτυξα στον πίνακα για τα παραδείγματα χώρων με νόρμα, ιδίως για χώρους συναρτήσεων (π.χ. για τους χώρους Sobolev) και για χώρους μέτρων. Η πρόταση 1.21 (το λεγόμενο θεώρημα Meyers-Serrin) δεν αποδεικνύεται σ' αυτές τις σημειώσεις. Σκέφτομαι ότι θα ήταν ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα για παρουσίαση από εθελοντή φοιτητή.

3η εβδομάδα (17-21/2).

[22/2] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις ασκήσεις 1, 2, 3 και 9 μέχρι την Πέμπτη 27/2.

Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Πρόσθεσα μία μικρή ενότητα για σειρές στο τέλος του κεφαλαίου για χώρους με νόρμα.



Mihalis Papadimitrakis 2020-02-22