Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Άνοιξη 2019-20

Συναρτησιακή Ανάλυση (Μεταπτυχιακό)



Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και χώροι Hilbert.

Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και ο δυικός χώρος. Το θεώρημα Hahn-Banach. Ο δεύτερος δυικός χώρος.

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Ασθενής και ασθενής$ -*$ σύγκλιση. Οι ασθενείς τοπολογίες $ \sigma(X,X^*)$, $ \sigma(X^*,X)$, $ \sigma(X^*,X^{**})$. Θεώρημα Alaoglou.

Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης. Θεώρημα κλειστού γραφήματος. Φάσμα τελεστή.

Συμπαγείς τελεστές. Το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς (και κανονικούς) τελεστές σε χώρους Hilbert.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 9-11 στην αίθουσα Β 212.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη 11-1, ή συνάντηση μετά από συνεννόηση.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Θα συνιστούσα να φρεσκάρετε τις προπτυχιακές γνώσεις σας από την γραμμική άλγεβρα και να διαβάσετε κάποια πράγματα προπτυχιακού επιπέδου για μετρικούς χώρους. Μπορείτε να συμβουλευτείτε π.χ. το εισαγωγικό βιβλίο "Introduction to Topology and Modern Analysis" του Simmons και ειδικώτερα τα κεφάλαια 2, 3 (σε κάποιο βαθμό), 4 και 8. Ή κοιτάξτε τις σημειώσεις σας γραμμικής άλγεβρας από τις προπτυχιακές σας σπουδές και το κεφάλαιο μετρικών χώρων (χωρίς την συνεκτικότητα) από το δικό μου σύγγραμμα "Ανάλυση". Αυτές οι γνώσεις θα θεωρηθούν δεδομένες στο μάθημα. Επίσης, δεδομένα θα θεωρηθούν πολλά πράγματα από το μεταπτυχιακό μάθημα της πραγματικής ανάλυσης του προηγούμενου εξαμήνου. Η συναρτησιακή ανάλυση είναι πολύ φτωχή χωρίς παραδείγματα από την πραγματική ανάλυση (χώροι μέτρου, χώροι $ L^p$ κ.τ.λ.).

1.4 Βιβλιογραφία.

"Functional Analysis" του Lax.
"A course in Functional Analysis" του Conway.
"Linear Analysis" του Bollobás.
"Functional Analysis" των Riesz, Nagy.
"Introduction to Functional Analysis" των Taylor, Lay.

1.5 Ασκήσεις.

Κάθε εβδομάδα θα δίνω μερικές ασκήσεις και θα μου δίνετε λυμένες κάποιες από αυτές την επόμενη εβδομάδα.

1.6 Βαθμολόγηση.

Ο βαθμός στο μάθημα θα προκύψει από το τελικό διαγώνισμα (80%) και τις ασκήσεις (20%).

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (ύλη, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα, ασκήσεις κλπ).

1η εβδομάδα (3-7/2).

[8/2] Οι δύο διαλέξεις της πρώτης εβδομάδας (και κάτι παραπάνω).

Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε όσες περισσότερες ασκήσεις μπορείτε και φέρτε τις την Πέμπτη 13/2 στο μάθημα.

Αν υπάρχει ενδιαφέρον, θα μπορούσαμε να βρούμε παραπάνω ώρα για να συζητάμε τις ασκήσεις.

2η εβδομάδα (10-14/2).

[15/2] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις εφτά πρώτες ασκήσεις μέχρι την Πέμπτη 20/2. Κοιτάξτε, αν θέλετε, (χωρίς να μου φέρετε τις λύσεις τους) και τις υπόλοιπες ασκήσεις: περιέχουν μερικά σημαντικά παραδείγματα χώρων με νόρμα.

Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες από όσες ανέπτυξα στον πίνακα για τα παραδείγματα χώρων με νόρμα, ιδίως για χώρους συναρτήσεων (π.χ. για τους χώρους Sobolev) και για χώρους μέτρων. Η πρόταση 1.21 (το λεγόμενο θεώρημα Meyers-Serrin) δεν αποδεικνύεται σ' αυτές τις σημειώσεις. Σκέφτομαι ότι θα ήταν ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα για παρουσίαση από εθελοντή φοιτητή.

3η εβδομάδα (17-21/2).

[22/2] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις ασκήσεις 1, 2, 3 και 9 μέχρι την Πέμπτη 27/2.

Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Πρόσθεσα μία μικρή ενότητα για σειρές στο τέλος του κεφαλαίου για χώρους με νόρμα.

4η εβδομάδα (24-28/2).

[29/2] Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Έχω προσθέσει την ενότητα για χώρους Hilbert, η οποία θα γίνει την ερχόμενη Τρίτη. Επίσης, την Τρίτη θα αναφέρω, χωρίς αποδείξεις, τα αποτελέσματα για χώρους συναρτήσεων. Επίσης, αυτή τη φορά δεν υπάρχει φυλλάδιο ασκήσεων. Καλή ξεκούραση!

5η εβδομάδα (2-6/3).

[8/3] Όσα κάναμε μέχρι τώρα. Δεν είναι ανάγκη να διαβάσετε την γεωμετρική μορφή του θεωρήματος Hahn-Banach. Υπάρχει χάριν πληρότητας.

6η-7η εβδομάδα (9-13/3 και 16-20/3).

[22/3] Λόγω της έκρυθμης κατάστασης η οποία προέκυψε, θα συνεχίσω το μάθημα με τον εξής τρόπο. Θα συνεχίσω να αναρτώ εδώ σημειώσεις (με κάποιες οδηγίες) σε εβδομαδιαία βάση, μαζί με ανάλογα φυλλάδια ασκήσεων. Θα προσπαθήσω πάντως να φτιάξω και κάποια βίντεο. Ό,τι ερωτήσεις έχετε γράψτε τις σε e-mail.

Εδώ είναι η ύλη του μαθήματος μέχρι και την έβδομη εβδομάδα. Αν θυμάμαι καλά, μέχρι πριν κλείσουμε, δηλαδή μέχρι και το πρώτο δίωρο της έκτης εβδομάδας, είχαμε κάνει τον ορισμό του δεύτερου δυικού χώρου, είχαμε εξετάσει την "φυσιολογική εμβύθιση" ενός χώρου με νόρμα μέσα στον δεύτερο δυικό του, και είχαμε ορίσει την έννοια του αυτοπαθούς χώρου με νόρμα. Στην συνέχεια, διαβάστε την πρόταση 3.9 (κάθε χώρος Hilbert είναι αυτοπαθής), την πρόταση 3.10 και το θεώρημα 3.14. Κατόπιν περνάμε στην πολύ σημαντική ενότητα για την αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Εδώ τα κύρια στοιχεία είναι το θεώρημα του Baire, με πάρα πολλές εφαρμογές και πέρα από την συναρτησιακή ανάλυση, και φυσικά η αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Εφαρμογές της τελευταίας είναι τα θεωρήματα 3.15 και 3.16. Προσέξτε ότι για το πρώτο χρειάζεται να υποθέσουμε ότι ο X είναι πλήρης. Τέλος, έχουμε την ενότητα για την ασθενή σύγκλιση ακολουθίας στον χώρο με νόρμα X και την ασθενή-άστρο σύγκλιση ακολουθίας στον δυικό χώρο X'. Η πρόταση 3.11 αναφέρεται στην σχέση ανάμεσα σ' αυτές τις συγκλίσεις και στην ισχυρή (δηλαδή την κανονική) σύγκλιση: η ισχυρή σύγκλιση συνεπάγεται την ασθενή και την ασθενή-άστρο σύγκλιση. Η πρόταση 3.12 μιλάει για την σχέση των ασθενών συγκλίσεων με τις πράξεις, και για την μοναδικότητα ορίου στις ασθενείς συγκλίσεις. Τέλος τα θεωρήματα 3.17 και 3.18 αναφέρονται στην σχέση ανάμεσα στην νόρμα του ασθενούς ορίου ή του ασθενούς-άστρο ορίου και στις νόρμες των όρων της ακολουθίας.

Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις ασκήσεις 1, 2, 3, 7, 10 και 12. Στείλτε μου τις λύσεις (π.χ. φωτογραφημένες) με email μέχρι την Τετάρτη 1 Απριλίου.

8η εβδομάδα (23-27/3).

Εδώ είναι η ύλη του μαθήματος μέχρι και την όγδοη εβδομάδα. Υπάρχουν δύο νέα κεφάλαια.

Το πέμπτο είναι το βασικό. Έχει μία αρχική ενότητα με βασικά στοιχεία τοπολογικών χώρων (γενίκευση των μετρικών χώρων). Τα στοιχεία αυτά (ανοικτά και κλειστά σύνολα, συνεχείς συναρτήσεις, συμπαγή σύνολα) είναι απολύτως απαραίτητα για την κατανόηση του υπόλοιπου κεφαλαίου. Η επόμενη ενότητα ασχολείται με την λεγόμενη ασθενή τοπολογία ενός γραμμικού χώρου X η οποία επάγεται από μία συλλογή γραμμικών συναρτησοειδών στον X. Παρεμπιπτόντως, εδώ συναντάμε και την έννοια του τοπολογικού γραμμικού χώρου η οποία είναι γενικότερη αυτής του χώρου με νόρμα. Η τρίτη ενότητα εφαρμόζει τα αποτελέσματα της δεύτερης, και ορίζονται η ασθενής τοπολογία ενός χώρου με νόρμα X και η ασθενής-άστρο τοπολογία του δυικού χώρου X'. Εδώ εντάσσεται και το θεώρημα του Alaoglou (ή Banach-Alaoglou), ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της συναρτησιακής ανάλυσης. Η απόδειξη του θεωρήματος του Alaoglou είναι δύσκολη, και θα μπορούσατε να την αφήσετε στην πρώτη ανάγνωση. (Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται η πρόταση 5.10 της πρώτης ενότητας.)

Το τέταρτο κεφάλαιο είναι μόνο για όσους θέλουν να έχουν μία πιο σφαιρική γνώση συνδυασμού τοπολογίας και συναρτησιακής ανάλυσης. Το κεφάλαιο αυτό περιέχει ό,τι περιέχει το πέμπτο κεφάλαιο. Όμως, εδώ υπάρχει μία επιπλέον ενότητα για ασθενή τοπολογία σε γενικό σύνολο A η οποία επάγεται από μία συλλογή συναρτήσεων καθεμία από τις οποίες απεικονίζει το A σε έναν αντίστοιχο τοπολογικό χώρο. Βάσει αυτής της γενικότερης ασθενούς τοπολογίας ορίζεται σε άλλη (επιπλέον) ενότητα η τοπολογία-γινόμενο σε καρτεσιανό γινόμενο τοπολογικών χώρων και αποδεικνύεται το θεώρημα του Tychonov για καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών τοπολογικών χώρων. (Στην ίδια ενότητα αποδεικνύεται και το αξίωμα επιλογής από το λήμμα του Zorn.) Η απόδειξη του θεωρήματος του Alaoglou στο τέταρτο κεφάλαιο βασίζεται στο θεώρημα του Tychonov, και έτσι παρουσιάζεται συντομότερη από την απόδειξη στο πέμπτο κεφάλαιο. Τέλος, έχω συμπεριλάβει και το θεώρημα του Mazur για τον διαχωρισμό κυρτών συνόλων από κατάλληλο υπερεπίπεδο. Η απόδειξη βασίζεται στην γεωμετρική μορφή του θεωρήματος Hahn-Banach. Εννοείται ότι θεωρώ το τέταρτο κεφάλαιο "τυπικά" εκτός της βασικής ύλης του μαθήματος.

Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων. Λύστε τις ασκήσεις 1, 2, 3, 4 και στείλτε μου τις λύσεις με email μέχρι την Τετάρτη 8 Απριλίου.



Mihalis Papadimitrakis 2020-04-01