Μιχάλης Παπαδημητράκης
Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο
Γραφείο: Γ 211
E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com
Τηλέφωνο: 2810393840
Ολοκλήρωμα, ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων, μετρικοί χώροι.
Τα μαθήματα (θεωρία) θα γίνονται Δευτέρα και Τετάρτη 1-3 στην αίθουσα Α201. Οι ασκήσεις θα γίνονται Δευτέρα 9-11 στην αίθουσα Α203.
Οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα και Τετάρτη 11-1.
Ουσιαστικό προαπαιτούμενο είναι το μάθημα Ανάλυση Ι.
Τα κεφάλαια 6, 7, 9, 10, 11 του βιβλίου Ανάλυση
Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος. Εξ άλλου θα αλλάξω σε πολλά σημεία τη σειρά παρουσίασης των διαφόρων θεμάτων.
Στη μέση του εξαμήνου και, συγκεκριμένα, 11-1 την Παρασκευή 31 Μαρτίου θα γίνει προαιρετική πρόοδος πάνω στην πρώτη μισή ύλη του μαθήματος.
Στο τέλος του εξαμήνου θα γίνει το τελικό διαγώνισμα.
Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (σημειώσεις, ασκήσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα κλπ). Καλό θα είναι να
ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.
Ειδικότερα, στο τέλος κάθε εβδομάδας θα αναρτώ ένα φυλλάδιο ασκήσεων.
Δεν θα γίνει το δίωρο ασκήσεων την Δευτέρα 13/2.
Μέχρι τώρα, στις διαλέξεις έχουμε δει, από το βιβλίο Ανάλυση, την ενότητα 6.1, την ενότητα 6.2 (με το παράδειγμα 6.2.6., αλλά όχι τα παραδείγματα 6.2.4., 6.2.5., 6.2.7., τα οποία μπορείτε
να διαβάσετε εσείς), και από την ενότητα 6.4 μόνο την πρόταση 6.3 (για το άθροισμα ολοκληρώσιμων συναρτήσεων).
Το αυριανό δίωρο ασκήσεων (9-11) θα γίνει κανονικά.
Η (προαιρετική) πρόοδος θα γίνει 11-1 την Παρασκευή 31 Μαρτίου.
Τελειώσαμε την ενότητα 6.4. Είδαμε τις αποδείξεις των προτάσεων 6.3, 6.5, 6.8, 6.10, 6.12, 6.13, 6.14 (χωρίς την παραγωγισιμότητα της απόλυτο f) και του λήμματος 6.5. Από την ενότητα 7.1 αποδείξαμε την πρόταση 7.1.
[1/3] Οι σημειώσεις περιέχουν στο τελευταίο κεφάλαιο λύσεις πάρα πολλών ασκήσεων όλων των κεφαλαίων. Επομένως, οι λύσεις των ασκήσεων των φυλλαδίων υπάρχουν με μεγάλη πιθανότητα εκεί. Συμβουλή: μην
κοιτάτε αμέσως τις λύσεις, αλλά να προσπαθείτε πρώτα μόνοι σας. Επίσης, καλό είναι να παρακολουθείτε και το δίωρο των ασκήσεων με τον βοηθό.
[2/3] Όσοι θέλετε να έρθετε στην πρόοδο στις 31 Μαρτίου συμπληρώστε μέχρι 13 Μαρτίου τον ΑΜ σας (μόνο μία φορά, παρακαλώ) στην φόρμα
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSewFPK5TMXbDMFLdKzde10FBgdHiFC3RVegoc3fOPwv0ih8HA/viewform?usp=sf_link ώστε να προγραμματίσω καλύτερα την εξέταση (αίθουσες, επιτηρητές κ.τ.λ.).
Παρακαλώ πολύ όσους δηλώσουν συμμετοχή, αν αλλάξουν γνώμη, να με ειδοποιήσουν εγκαίρως για την μη προσέλευσή τους.
[4/3] Έχουμε τελειώσει την ενότητα 7.1 και ουσιαστικά και την ενότητα 7.2. Μένει να αποδείξω την Πρόταση 7.2 και το Θεμελιώδες Θεώρημα. Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων, στο οποίο θεωρήστε δεδομένο το Θεμελιώδες Θεώρημα και στο οποίο οι δύο τελευταίες ασκήσεις είναι κάπως πιο εξεζητημένες. Από την ερχόμενη Δευτέρα θα αφήσουμε τα ολοκληρώματα και θα πάμε σε ακολουθίες συναρτήσεων.
[10/3] Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων.
Την Δευτέρα απέδειξα την Πρόταση 7.2 και το Θεμελιώδες Θεώρημα, και ξεκινήσαμε την ενότητα 9.1. Την Τετάρτη δεν έγινε το μάθημα λόγω κατάληψης. Το μάθημα αυτό θα αναπληρωθεί αργότερα.
[19/3] Αύριο το πρωί, 9-11, αντί του δίωρου ασκήσεων θα γίνει μάθημα θεωρίας. Το μάθημα θεωρίας 1-3 θα γίνει κι αυτό κανονικά.
[26/3] Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων.
Έχουμε τελειώσει τις ενότητες 9.1, 9.2 και 10.1. Από την ενότητα 9.2 έχουμε κάνει: τις προτάσεις 9.2, 9.3, 9.4 και τα θεωρήματα 9.1, 9.2, 9.4 (το τελευταίο χωρίς την απόδειξή του).
Από την ενότητα 10.1 έχουμε κάνει: τις προτάσεις 10.1, 10.2, το κριτήριο Weierstrass και τα θεωρήματα 10.2, 10.3, 10.5 (τα δύο τελευταία χωρίς τις αποδείξεις τους).
Όπως έχω ήδη ανακοινώσει στο μάθημα, η ύλη της πρώτης προόδου περιλαμβάνει ό,τι έχουμε κάνει μέχρι και την ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων.
[2/4] Το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων.
Από την ενότητα 10.2 έχουμε κάνει το θεώρημα 10.6, το θεώρημα 10.7 αλλά στην ασθενή μορφή του, δηλαδή ότι μία δυναμοσειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε κλειστό γνήσιο υποδιάστημα του διαστήματος σύγκλισης, και τα θεωρήματα 10.8 και 10.10 στην ασθενή μορφή τους, δηλαδή ότι η συνάρτηση που ορίζεται από μία δυναμοσειρά είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης. Επίσης, είδαμε τα παραδείγματα της λογαριθμικής και της εκθετικής δυναμοσειράς.
[24/4] Οι βαθμοί της προόδου. Καλή διασκέδαση!
Είδαμε τα παραδείγματα των τριγωνομετρικών δυναμοσειρών. Μπήκαμε στο 11ο κεφάλαιο, στην έννοια του μετρικού χώρου. Τελειώσαμε την ενότητα 11.1.
Από την ενότητα 11.2, ορίσαμε τις έννοιες της περιοχής σημείου, του εσωτερικού σημείου, του συνοριακού σημείου, του εξωτερικού σημείου, του οριακού σημείου και του σημείου συσσώρευσης. Ορίσαμε το εσωτερικό, το σύνορο και την κλειστότητα ενός συνόλου. Αποδείξαμε τις προτάσεις 11.3 (εκτός των δ και ε) και 11.4.
Δεν έγιναν μαθήματα λόγω επαγγελματικού ταξιδιού, και θα αναπληρωθούν την εβδομάδα ανάμεσα στην περίοδο μαθημάτων και την εξεταστική περίοδο.
[7/5] Το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.
[10/5] Αποδείξαμε τις προτάσεις 11.5 και 11.6 και αρχίσαμε την απόδειξη του θεωρήματος 11.1.
Την Τρίτη 23/5, 11-3, στην Α201 θα γίνει αναπλήρωση χαμένων μαθημάτων.
[23/5] Το έβδομο
και το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ορίσαμε τις έννοιες του ορίου συνάρτησης και της συνέχειας συνάρτησης. Αποδείξαμε το θεώρημα 11.2, αναφέραμε τις προτάσεις 11.8 και 11.9, και αποδείξαμε ότι οι προβολές στον Ευκλείδειο χώρο είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Ορίσαμε την έννοια του ορίου ακολουθίας. Αναφέραμε την πρόταση 11.10 και αποδείξαμε την πρόταση 11.11, το [α] της πρότασης 11.12, και την πρόταση 11.15.
Ορίσαμε την έννοια της συμπάγειας, αλλά με διαφορετικό τρόπο από αυτόν στην ενότητα 11.6. Είπαμε ότι ένα σύνολο Κ σε μετρικό χώρο Χ είναι συμπαγές αν κάθε ακολουθία στο Κ έχει τουλάχιστον μία υπακολουθία η οποία συγκλίνει σε στοιχείο του Κ.
Αποδείξαμε ότι αν ένα σύνολο είναι συμπαγές τότε είναι κλειστό και φραγμένο. Αποδείξαμε ότι το αντίστροφο ισχύει αν ο μετρικός χώρος είναι ο Ευκλείδειος χώρος. Αποδείξαμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει αν ο μετρικός χώρος είναι ένα άπειρο σύνολο
με την διακριτή μετρική. Αποδείξαμε το θεώρημα Bolzano-Weierstrass για ακολουθίες στον Ευκλείδειο χώρο. Αποδείξαμε ότι κάθε μη-κενό συμπαγές υποσύνολο της πραγματικής ευθείας (με την Ευκλείδεια μετρική) έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο.
Αποδείξαμε ότι η εικόνα συμπαγούς συνόλου μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι συμπαγές σύνολο. Τέλος, αποδείξαμε ότι κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
Αν θέλετε να κρατήσετε τον βαθμό σας της προόδου, συμπληρώστε τον ΑΜ σας στην φόρμα https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSewFPK5TMXbDMFLdKzde10FBgdHiFC3RVegoc3fOPwv0ih8HA/viewform?usp=pp_url μέχρι την Πέμπτη. (Αν έχετε πρόβλημα με την φόρμα, στείλτε μου ένα μήνυμα.)
[28/5] Όσοι δήλωσαν ότι θα κρατήσουν τον βαθμό της προόδου θα γράψουν αύριο 9-10 (μία ώρα) στην αίθουσα Α212. Οι υπόλοιποι θα γράψουν 9-11 (δύο ώρες) στις υπόλοιπες αίθουσες.