Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο

Γραφείο: Γ 211

E-mail: mpapadim@uoc.gr, mihalis.papadimitrakis@gmail.com

Τηλέφωνο: 2810393840

Προσωπική ιστοσελίδα

Φθινόπωρο 2017-18

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ


\begin{empheq}[box={\color{violet}\fboxsep=8pt\fbox }]{align} \int_{\sigma} \na... ...al\Omega} \mathbf{f}\cdot\mathbf{N} dA\quad Gauss\notag \end{empheq}


Περιεχόμενα

1 Προκαταρκτικά.

1.1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Διπλό ολοκλήρωμα σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και σε γενικότερα χωρία του $ \mathbb{R}^{2}$ και ιδιότητες. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε διαδοχικά απλά ολοκληρώματα και το θεώρημα του Fubini. Αλλαγή μεταβλητής σε διπλό ολοκλήρωμα.

Τριπλό ολοκλήρωμα σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και σε γενικότερα χωρία του $ \mathbb{R}^{3}$ και ιδιότητες. Αναγωγή τριπλού ολοκληρώματος σε διαδοχικά απλά ολοκληρώματα και το θεώρημα του Fubini. Αλλαγή μεταβλητής σε τριπλό ολοκλήρωμα.

Γενικευμένο διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα.

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στον $ \mathbb{R}^{n}$.

Παραμέτριση και αναπαραμέτριση καμπύλης. Μήκος καμπύλης. Προσανατολισμένη καμπύλη. Άθροισμα διαδοχικών καμπυλών.

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα βαθμωτού και διανυσματικού πεδίου στον $ \mathbb{R}^{n}$ και ιδιότητες.

Παραμέτριση επιφάνειας (στον $ \mathbb{R}^{3}$). Εμβαδόν επιφάνειας. Προσανατολισμένη επιφάνεια. Άθροισμα διαδοχικών επιφανειών.

Επιφανειακό ολοκλήρωμα βαθμωτού και διανυσματικού πεδίου και ιδιότητες.

Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου στον $ \mathbb{R}^{3}$.

Το θεώρημα του Green για ολοκληρώματα σε χωρία του $ \mathbb{R}^{2}$ (και οι διάφορες μορφές του).

Το θεώρημα του Stokes για επιφανειακά ολοκληρώματα στον $ \mathbb{R}^{3}$. Η φυσική σημασία του στροβιλισμού διανυσματικού πεδίου.

Συντηρητικό/αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο. Πεδίο δυναμικού.

Το θεώρημα του Gauss για ολοκληρώματα σε χωρία του $ \mathbb{R}^{3}$. Η φυσική σημασία της απόκλισης διανυσματικού πεδίου.

1.2 Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα (θεωρία) θα γίνονται Τρίτη και Πέμπτη 1-3 στην αίθουσα Α201. Οι ασκήσεις θα γίνονται (από εμένα) Παρασκευή 3-5 στην αίθουσα Α201. Το εργαστήριο, όπου θα λύνετε ασκήσεις εσείς με τη βοήθεια των βοηθών, θα γίνεται Τετάρτη 3-5 στην αίθουσα Ε212.

Οι ώρες γραφείου μου είναι Τρίτη και Πέμπτη 12-1.

1.3 Προαπαιτούμενα.

Τυπικά προαπαιτούμενα δεν υπάρχουν. Ουσιαστικά προαπαιτούμενα είναι οι προηγούμενοι Απειροστικοί Λογισμοί, η Αναλυτική Γεωμετρία καθώς και η Γραμμική Άλγεβρα του πρώτου έτους.

1.4 Βιβλίο.

Θα ακολουθήσω τα κεφάλαια 5-8 του βιβλίου "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden, Tromba.

Πάντως, πρέπει να τονίσω ότι το βιβλίο δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση των διαλέξεων και την αλληλεπίδραση φοιτητών και διδάσκοντος. Εξ άλλου θα αλλάξω σε πολλά σημεία τη σειρά παρουσίασης των διαφόρων θεμάτων.

1.5 Βιβλιογραφία.

Δύο πολύ αξιόλογα βιβλία στο επίπεδο του μαθήματος είναι το "Calculus" του Apostol (υπάρχει και η ελληνική μετάφραση, αλλά της παλιότερης αμερικάνικης έκδοσης) και το "Introduction to Calculus and Analysis" των Courant, John.

1.6 Βαθμολόγηση.

Στη μέση περίπου του εξαμήνου (Τετάρτη 22/11) θα γίνει προαιρετική πρόοδος πάνω στην πρώτη μισή ύλη του μαθήματος. Στο τέλος του εξαμήνου θα γίνει το τελικό διαγώνισμα. Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος θα είναι δύο ειδών: θέματα τύπου πρώτης προόδου (πάνω στην ύλη της πρώτης προόδου) και θέματα τύπου δεύτερης προόδου (πάνω στην μετέπειτα ύλη). Ο τελικός βαθμός όσων δεν εξετάστηκαν στην πρώτη πρόοδο θα είναι, φυσικά, ο βαθμός του τελικού διαγωνίσματος. Ο τελικός βαθμός όσων εξετάστηκαν στην πρώτη πρόοδο θα είναι ο μεγαλύτερος ανάμεσα στον βαθμό σε όλα τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος και στον μέσο όρο των βαθμών της πρώτης προόδου και των θεμάτων τύπου δεύτερης προόδου του τελικού διαγωνίσματος. Εννοείται ότι όσοι θεωρούν τον βαθμό τους στην πρώτη πρόοδο ικανοποιητικό (π.χ. 10) μπορούν στο τελικό διαγώνισμα να γράψουν μόνο τα θέματα τύπου δεύτερης προόδου.

2 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ οτιδήποτε σχετικό με το μάθημα (σημειώσεις, ασκήσεις, ανακοινώσεις αλλαγής ώρας, έκτακτα μαθήματα κλπ). Καλό θα είναι να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο όσο συχνότερα γίνεται.

1η εβδομάδα (25-29/9).

[1/10] Οι δύο πρώτες διαλέξεις και το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

2η εβδομάδα (2-6/10).

[6/10] Η πρώτη πρόοδος θα γίνει 7-9 την Τετάρτη 22/11 στις αίθουσες Α201, Α203, Α214 και Ε204.

[7/10] Οι τέσσερις πρώτες διαλέξεις. Αύριο θα αναρτήσω και το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Λυπάμαι πολύ αλλά δεν έχω αρκετό χρόνο να σχεδιάζω σχήματα στις σημειώσεις που αναρτώ. Τα σχήματα τα σχεδιάζω στον πίνακα και υπάρχουν λίγο-πολύ στις σημειώσεις που κρατούν όσοι έρχονται στις διαλέξεις.

[8/10] Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Απαντήσεις του πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων (όχι λύσεις). Μέχρι αύριο θα αναρτήσω και τις απαντήσεις του δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων. Στο εξής θα προσπαθήσω να αναρτώ τις απαντήσεις στο ίδιο φυλλάδιο με τις ασκήσεις.

3η εβδομάδα (9-13/10).

[9/10] Απαντήσεις του δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.

Επειδή είμαι άνθρωπος(;) και κάνω λάθη, πιθανόν κάποιες απαντήσεις, ειδικά αυτές που εξαρτώνται από πολλές αριθμητικές πράξεις, να μην είναι σωστές. Θα ήμουν ευγνώμων αν επισημαίνατε τα λάθη που εντοπίζετε σε εμένα ή στους βοηθούς στο εργαστήριο.

[15/10] Οι έξι πρώτες διαλέξεις και το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων (μαζί με απαντήσεις).

4η εβδομάδα (16-20/10).

[22/10] Οι οκτώ πρώτες διαλέξεις και το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων.

5η εβδομάδα (23-27/10).

[29/10] Οι δέκα πρώτες διαλέξεις και το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων.

Στις σημειώσεις υπάρχει η απόδειξη του τύπου αλλαγής μεταβλητής (για τις δύο διαστάσεις) με πολύ περισσότερες λεπτομέρειες από αυτήν που έκανα στον πίνακα. Διαβάστε την όσοι ενδιαφέρεστε ιδιαίτερα για τα θεωρητικά μαθηματικά. (Πάντως και αυτή η απόδειξη έχει πολλά σκοτεινά σημεία. Προσδιορίστε τα!)

6η εβδομάδα (30/10-3/11).

[5/11] Οι δώδεκα πρώτες διαλέξεις και το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων.

Οι σημειώσεις έχουν πολύ μπλα-μπλα, αλλά δείξτε επιμονή και προσέξτε να καταλάβετε πολύ-πολύ καλά τις νέες έννοιες των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων βαθμωτής και διανυσματικής συνάρτησης. Μετά θα πάμε στις έννοιες των επιφανειακών ολοκληρωμάτων βαθμωτής και διανυσματικής συνάρτησης και θα καταλήξουμε στα κεντρικά θεωρήματα της Διανυσματικής Ανάλυσης που συσχετίζουν όλα αυτά τα ολοκληρώματα: τα θεωρήματα του Green, του Stokes και του Gauss.

7η εβδομάδα (6-10/11).

[7/11] Συμπλήρωσα το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων με τις ασκήσεις που λύθηκαν στο δίωρο ασκήσεων.

[11/11] Οι δεκατέσσερις πρώτες διαλέξεις και το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων.

Την ερχόμενη Παρασκευή δεν γίνονται μαθήματα. Το δίωρο ασκήσεων της Παρασκευής θα αναπληρωθεί την ερχόμενη Τετάρτη, 3-5 στην Ε204. (Επομένως, το εργαστήριο που κανονικά θα γινόταν την ίδια ώρα δεν θα γίνει.) Την εβδομάδα που πέρασε έγιναν πέντε ώρες θεωρία και μία ώρα ασκήσεις, αλλά την ερχόμενη εβδομάδα θα γίνουν τρεις ώρες θεωρία και τρεις ώρες ασκήσεις.

8η εβδομάδα (13-17/11).

[19/11] Οι δεκαέξι πρώτες διαλέξεις και το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων.

Όπως έχουμε πει στο μάθημα, στην πρώτη (προαιρετική) πρόοδο θα εξεταστείτε πάνω στα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα καθώς και στα επικαμπύλια ολοκληρώματα.

9η εβδομάδα (20-24/11).

[21/11] Σήμερα το μάθημα θα γίνει 2-4 (στην ίδια αίθουσα) αντί 1-3.

[24/11] Οι δεκαοκτώ πρώτες διαλέξεις.

[25/11] Το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων και η πρώτη πρόοδος.

[26/11] Οι βαθμοί της πρώτης προόδου. Καλή διασκέδαση!

Οι ΑΜ 3609 και 5297 δεν εμφανίζονται στην κατάσταση των εγγεγραμμένων φοιτητών του μαθήματος.

[27/11] Παρατήρησή μου από την εμπειρία της χτεσινής διόρθωσης. 41 φοιτητές (από τους 122 που ήρθαν στο διαγώνισμα) δεν γνωρίζουν να σχεδιάζουν την γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης . Από τους υπόλοιπους, 23 φοιτητές δεν μπορούν να σχεδιάσουν το απλό χωρίο που ζητούσε το πρώτο ερώτημα της πρώτης άσκησης (αυτό με την εκθετική). Δεν μετρώ καθόλου αυτούς οι οποίοι δεν προσπάθησαν καν να απαντήσουν στο συγκεκριμένο ερώτημα ή έστω να σχεδιάσουν το σχήμα.
Συμπεράσματα; Κάθε άποψη καλοδεχούμενη.

10η εβδομάδα (27/11-1/12).

[3/12] Οι είκοσι πρώτες διαλέξεις και το δέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

Η δέκατη εβδομάδα είχε πολλή θεωρία και οι σημειώσεις είναι πολύ "βαριές".

11η εβδομάδα (4-8/12).

[9/12] Οι εικοσιδύο πρώτες διαλέξεις και το ενδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

12η εβδομάδα (11-15/12).

[16/12] Οι εικοσιτέσσερις πρώτες διαλέξεις και το δωδέκατο φυλλάδιο ασκήσεων.

[17/12] Στις σημειώσεις που ανήρτησα χτες πρόσθεσα σήμερα μερικές σελίδες όπου κάνω μια επισκόπηση πάνω στα επικαμπύλια και στα επιφανειακά ολοκληρώματα, με έμφαση στο ζήτημα του προσανατολισμού καμπυλών και επιφανειών, καθώς και πάνω στα θεωρήματα των Green, Stokes και Gauss. Ελπίζω η επισκόπηση αυτή να ξεκαθαρίσει κάποια σκοτεινά σημεία.

Η παρουσίαση της θεωρίας έχει τελειώσει. Την ερχόμενη, τελευταία, εβδομάδα θα κάνω μόνο ασκήσεις και στα τρία τρίωρα.

13η εβδομάδα (18-22/12).

[23/12] Το δέκατο τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων περιέχει μερικές επαναληπτικές ασκήσεις που έλυσα την τελευταία εβδομάδα.

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ!!

THE END.

[15/01/2018] Οι τελικοί βαθμοί του μαθήματος. Όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους ας έρθουν στο γραφείο μου 10-12 την Παρασκευή 19/01.

Παρακαλώ να περάσουν από το γραφείο μου οι ΑΜ 5449, 5464, 5239.

Να και το τελικό διαγώνισμα.

[25/01] Όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους και δεν ήρθαν την προηγούμενη Παρασκευή μπορούν να έρθουν 10-1 την Τετάρτη 31/01.

[18/09] Οι βαθμοί περιόδου Σεπτεμβρίου έχουν αναρτηθεί στο classweb. Όσοι θέλουν να δουν το γραπτό τους μπορούν να έρθουν 1-2:30 την Τετάρτη (19/09) και την Πέμπτη (20/09) στο γραφείο μου.


Mihalis Papadimitrakis 2018-09-18