Μιχάλης Παπαδημητράκης

Τμήμα Μαθηματικών,    Πανεπιστήμιο Κρήτης,

Λεωφόρος Κνωσσού, 714 09 Ηράκλειο,

Γραφείο: Γ 118,

E-mail: papadim AT math.uoc.gr,    Τηλέφωνο: 2810393840

Απειροστικός Λογισμός Ι (Μ1111 ή Μ102)

$$\frac{d}{dx}\int f(x) dx=f(x)\qquad\qquad \int\frac{d f(x)}{dx} dx=f(x)+c$$

Φθινόπωρο 2010-11

Περιεχόμενα

• 1 Περιεχόμενο του μαθήματος.
• 2 Τμήματα, αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.
• 3 Σημειώσεις.
• 4 Προηγούμενες γνώσεις.
• 5 Βαθμολόγηση.
• 6 Οι πρόοδοι.
  • 6.1 Πρώτη πρόοδος.
  • 6.2 Δεύτερη πρόοδος.
  • 6.3 Τρίτη πρόοδος.
  
  
• 7 Ημερολόγιο μαθήματος.
  • 7.1 Δευτέρα, 20-9-2010.
  • 7.2 Τετάρτη, 22-9-10.
  • 7.3 Δευτέρα, 27-9-10.
  • 7.4 Τετάρτη, 29-9-10.
  • 7.5 Δευτέρα, 4-10-2010.
  • 7.6 Τετάρτη, 6-10-2010.
  • 7.7 Δευτέρα, 11-10-2010.
  • 7.8 Τετάρτη, 13-10-2010.
  • 7.9 Δευτέρα, 18-10-10.
  • 7.10 Τετάρτη, 20-10-10.
  • 7.11 Κυριακή, 24-10-10.
  • 7.12 Δευτέρα, 25-10-10.
  • 7.13 Τετάρτη, 27-10-10.
  • 7.14 Δευτέρα, 1-11-10.
  • 7.15 Τετάρτη, 3-11-10.
  • 7.16 Δευτέρα, 15-11-10.
  • 7.17 Δευτέρα, 22-11-10.
  • 7.18 Τετάρτη, 24-11-10.
  • 7.19 Δευτέρα, 29-11-10.
  • 7.20 Τετάρτη, 1-12-10.
  • 7.21 Πέμπτη, 2-12-10.
  • 7.22 Δευτέρα, 6-12-10.
  • 7.23 Τετάρτη, 8-12-10.
  • 7.24 Τρίτη, 14-12-10.
  • 7.25 Τετάρτη, 15-12-10.
  • 7.26 Δευτέρα, 10-1-11.
  • 7.27 Τρίτη, 11-1-11.
  
  
• 8 Ολοήμερο Εργαστήριο Προβλημάτων.
• 9 Σεμινάριο Απειροστικού Λογισμού.
  • 9.1 Τετάρτη, 27-10-10.
  • 9.2 Πέμπτη, 4-11-10.

1 Περιεχόμενο του μαθήματος.

Όρια ακολουθιών (ιδιότητες, μονότονες ακολουθίες, ο αριθμός $e$).

Όρια συναρτήσεων (ιδιότητες, όρια συναρτήσεων και ακολουθίες, όρια ρητών συναρτήσεων, όρια δυνάμεων, όρια εκθετικών, λογαριθμικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όρια μονότονων συναρτήσεων).

Συνεχείς συναρτήσεις (ιδιότητες, είδη ασυνεχειών, συνέχεια και ακολουθίες, τα θεωρήματα φραγμένης συνάρτησης, μέγιστης - ελάχιστης τιμής και ενδιάμεσης τιμής, σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης, συνέχεια αντίστροφης συνάρτησης).

Παράγωγοι (ιδιότητες, εφαπτόμενες ευθείες, παράγωγος δύναμης, παράγωγοι εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης, θωρήματα του Fermat και του Rolle, θεωρήματα μέσης τιμής, παράγωγοι και μονοτονία, παράγωγος και μέγιστα - ελάχιστα, παράγωγοι ανώτερης τάξης, δεύτερη παράγωγος και κυρτότητα, υπολογισμός απροσδιόριστων μορφών, τάξη μεγέθους, ασυμπτωτική ισότητα).

Ολοκληρώματα Riemann (ιδιότητες, εμβαδά, ολοκληρωσιμότητα συνεχών και μονότονων συναρτήσεων, αντιπαράγωγοι και αόριστα ολοκληρώματα, το θεμελιώδες θεώρημα, ολοκλήρωση κατά μέρη και κατά παράγοντες, ολοκληρώματα ρητών, τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών και αλγεβρικών συναρτήσεων, γενικευμένα ολοκληρώματα).

Σειρές (ιδιότητες, σειρές μη αρνητικών όρων, δεκαδικά αναπτύγματα, κριτήρια σύγκλισης, δυναμοσειρές, σειρές Taylor).

2 Τμήματα, αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Τα μαθήματα γίνονται Δευτέρα και Τετάρτη 9:15-11:00 στο αμφιθέατρο ΒΞ. Τα μαθήματα του τμήματος με διδάσκοντα τον κ. Μήτση γίνονται τις ίδιες ώρες και ημέρες στο αμφιθέατρο ΣΠ. Το ονομαστικό μοίρασμα στα δυο τμήματα δεν ισχύει. Και τα δυο τμήματα θα καλύψουν την ίδια ύλη και θα έχουν τα ίδια θέματα στις εξετάσεις, οπότε μπορείτε να συμμετέχετε στο τμήμα που σας ικανοποιεί περισσότερο.

Το γραφείο μου είναι στο Γ118 και οι ώρες γραφείου μου είναι Δευτέρα και Τρίτη 12:00-14:00. Αν δεν μπορείτε να έρθετε στις ώρες γραφείου μου, επικοινωνήστε μαζί μου για να κανονίσουμε συνάντηση κάποια άλλη ώρα.

Εκτός από τις διαλέξεις καλό θα ήταν να συμμετέχετε και στο Ολοήμερο Εργαστήριο Προβλημάτων που γίνεται κάθε Τετάρτη στις αίθουσες Θ201 και Θ207 11:15-15:00. Εκεί θα λύνετε ασκήσεις (από τα μαθήματα Απειροστικός Λογισμός 1 και Επίπεδο και Χώρος) με τη βοήθεια των καθηγητών και μεταπτυχιακών φοιτητών. Κάθε εβδομάδα, στο τέλος του Ολοήμερου Εργαστηρίου θα γράφετε ένα σύντομο τεστ (τη μια εβδομάδα πάνω στον Απειροστικό Λογισμό 1 και την άλλη πάνω στο Επίπεδο και Χώρος) το οποίο θα βαθμολογείται.

3 Σημειώσεις.

Σε λίγες ημέρες (θα σας ειδοποιήσω πότε) θα πάρετε φωτοτυπημένες τις σημειώσεις μου. Μέχρι τότε μπορείτε να τις κατεβάσετε από εδώ. Επειδή το αρχείο είναι αρκετά μεγάλο και υπάρχει περίπτωση να σας δυσκολέψει, μπορείτε, αν θέλετε, να κατεβάσετε προσωρινά μόνο τα δυο πρώτα κεφάλαια (και εν τω μεταξύ μπορεί να έχουν ετοιμαστεί οι φωτοτυπημένες σημειώσεις).

ΠΡΟΣΟΧΗ: Από τις 13-10-2010 αρχίζει η διανομή των σημειώσεων. Παρακαλώ, περάστε από το γραφείο μου να πάρετε ένα αντίγραφο των σημειώσεων.

4 Προηγούμενες γνώσεις.

Εδώ θα βρείτε μια λίστα μαθηματικών θεμάτων τα οποία πρέπει να σας είναι οικεία από το λύκειο και τα οποία θα σας βοηθήσουν να προχωρήσετε πιο άνετα σ' αυτό το μάθημα. Όλα αυτά τα θέματα (και μερικά ακόμη) περιέχονται στο πρώτο και στο τρίτο κεφάλαιο των σημειώσεών μου.

Προσέξτε: Δεν χρειάζεται να γνωρίζετε τίποτα για όρια συναρτήσεων, συνέχεια συναρτήσεων, παραγώγους και ολοκληρώματα.

5 Βαθμολόγηση.

Θα γίνουν τρεις πρόοδοι (διαγωνίσματα) καθεμιά από τις οποίες θα καλύπτει το αντίστοιχο ένα τρίτο της ύλης του μαθήματος. Η πρώτη πρόοδος θα γίνει την Κυριακή 24 Οκτωβρίου, η δεύτερη την Κυριακή 5 Δεκεμβρίου και η τρίτη θα γίνει μέσα στην εξεταστική περίοδο του Ιανουαρίου.

Αν $E_1$, $E_2$, $E_3$ είναι οι βαθμοί των τριών προόδων και αν $T$ είναι ο βαθμός των τεστ του Ολοήμερου Εργαστηρίου Προβλημάτων, τότε ο τελικός βαθμός $F$ του μαθήματος θα προκύψει από τον τύπο

$$F=\max\Big\{\frac{E_1+E_2+E_3}3 , \frac 8{10} \frac{E_1+E_2+E_3}3+\frac 2{10} T\Big\}.$$

Επιτυχία στο μάθημα σημαίνει:

$$F\geq 5,\qquad \min\{E_1 , E_2 , E_3\}\geq 3.$$

Επομένως, προσέξτε: Για να περάσετε το μάθημα πρέπει ο βαθμός σας σε καθεμιά από τις τρεις προόδους να είναι τουλάχιστον 3.

6 Οι πρόοδοι.

6.1 Πρώτη πρόοδος.

Αποτελέσματα πρώτης προόδου εδώ. Επιτυχία στην πρώτη πρόοδο σημαίνει: βαθμός $\geq 4$ (στα $14$).

6.2 Δεύτερη πρόοδος.

Αποτελέσματα δεύτερης προόδου εδώ. Επιτυχία στην δεύτερη πρόοδο σημαίνει: βαθμός $\geq 4$ (στα $12$).

ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι φοιτητές με ΑΜ 4193 και 4286 να επικοινωνήσουν με εμένα ή με τον κύριο Μήτση.

6.3 Τρίτη πρόοδος.

Αποτελέσματα τρίτης προόδου εδώ. Επιτυχία στην τρίτη πρόοδο σημαίνει: βαθμός $\geq 4$ (στα $12$).

7 Ημερολόγιο μαθήματος.

Εδώ θα αναρτώ σε περίληψη όσα διδάσκονται στις διαλέξεις, πιθανόν επιπλέον ασκήσεις, καθώς και διάφορες ανακοινώσεις (αλλαγές ώρας, έκτακτα μαθήματα, βαθμούς διαγωνισμάτων κλπ). Επομένως, θα πρέπει να ενημερώνεστε από αυτό το σημείο τουλάχιστον δυο φορές κάθε εβδομάδα.

7.1 Δευτέρα, 20-9-2010.

Ορίσαμε την έννοια της ακολουθίας. Ακολουθία (αριθμών) είναι μια (οποιαδήποτε) άπειρη επιλογή αριθμών με συγκεκριμένη σειρά επιλογής:

$$x_1 , x_2 , x_3 , \ldots , x_n , \ldots$$

Οι αριθμοί $x_1$, $x_2$, κλπ ονομάζονται όροι της ακολουθίας και ο $n$ ονομάζεται δείκτης και διατρέχει το σύνολο $\mathbf{N}$. Συμβολίζουμε μια ακολουθία και ως

$$(x_n).$$

Παραδείγματα: Οι ακολουθίες

$$(0)$$   ή$$\quad 0, 0, 0, \ldots , 0, \ldots$$

$$(-1)$$   ή$$\quad -1, -1, -1, \ldots , -1, \ldots$$

(τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται σταθερές ακολουθίες)

$$(n)$$   ή$$\quad 1, 2, 3, \ldots , n, \ldots$$

$$\Big(\frac 1n\Big)$$   ή$$\quad 1, \frac 12 , \frac 13 , \ldots , \frac 1n , \ldots$$

$$\big((-1)^{n-1}\big)$$   ή$$\quad 1, -1, 1, \ldots , (-1)^{n-1} , \ldots$$

$$\Big(\frac 1{2^n}\Big)$$   ή$$\quad \frac 12 , \frac 14 , \frac 18 , \ldots , \frac 1{2^n} , \ldots$$

$$(\sqrt{n})$$   ή$$\quad 1, \sqrt{2} , \sqrt{3} , \ldots , \sqrt{n} , \ldots$$

Μια ακολουθία χαρακτηρίζεται αύξουσα (φθίνουσα) αν

$$x_n\leq x_{n+1}\quad (x_n\geq x_{n+1})\qquad (n\in\mathbf{N}).$$

Αν οι παραπάνω ανισότητες γίνουν γνήσιες, τότε η ακολουθία χαρακτηρίζεται γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα). Μια ακολουθία χαρακτηρίζεται (γνησίως) μονότονη αν είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα.

Ορίσαμε την έννοια του ορίου ακολουθίας. Λέμε ότι η $(x_n)$ συγκλίνει στον αριθμό $x$ ή τείνει στον $x$ ή έχει όριο τον $x$ και συμβολίζουμε

$$\lim_{n\to+\infty}x_n=x$$   ή$$\quad \lim x_n=x$$   ή$$\quad x_n\to x$$

αν οι αποστάσεις $\vert x_n-x\vert$ γίνονται μικρότερες από κάθε θετικό αριθμό ή, ισοδύναμα, αν για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει κάποιος $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε οι $\vert x_{n_0}-x\vert$, $\vert x_{n_0+1}-x\vert$, $\vert x_{n_0+2}-x\vert$,... να είναι όλες $<\epsilon$ ή, ισοδύναμα, αν για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε να ισχύει $\vert x_n-x\vert<\epsilon$ για κάθε $n\geq n_0$.

Γεωμετρικά: το ότι η $(x_n)$ συγκλίνει στον $x$ σημαίνει ότι, καθώς ο δείκτης $n$ μεγαλώνει απεριόριστα, τα σημεία $x_n$ $(n\in\mathbf{N})$ της πραγματικής ευθείας πλησιάζουν απεριόριστα το σημείο $x$.

Είδαμε αναλυτικά τα εξής παραδείγματα.

$$\lim_{n\to+\infty}c=c,\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac 1n=0.$$

Όταν θέλουμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό για να αποδείξουμε ένα όριο $\lim_{n\to+\infty}x_n=x$ παίρνουμε έναν οποιονδήποτε $\epsilon>0$ και ανάγουμε την σχέση $\vert x_n-x\vert<\epsilon$ σε μια σχέση της μορφής $n>a$ (με κάποιον $a$ ο οποίος εξαρτάται από τον $\epsilon$). Η αναγωγή αυτή έχει την εξής έννοια: η σχέση $n>a$ πρέπει να συνεπάγεται την $\vert x_n-x\vert<\epsilon$. Κατόπιν σκεφτόμαστε ως εξής: οι $n\in\mathbf{N}$ οι οποίοι ικανοποιούν την $n>a$ είναι ακριβώς οι $n\in\mathbf{N}$ οι οποίοι ικανοποιούν την

$$\begin{cases}n\geq 1, &a<0, n\geq[a]+1, &a\geq 0.\end{cases}$$

Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε τον φυσικό αριθμό

$$n_0=\begin{cases}1, &a<0, \big[a\big]+1, &a\geq 0\end{cases}$$

και τότε για κάθε $n\in\mathbf{N}$ που ικανοποιεί την $n\geq n_0$ συνεπάγεται $n>a$ συνεπάγεται $\vert x_n-x\vert<\epsilon$.

Βάσει αυτών των γενικών, στο παράδειγμα $\lim_{n\to+\infty}c=c$ για κάθε $\epsilon>0$ ο αντίστοιχος $n_0$ είναι ο $n_0=1$ και στο παράδειγμα $\lim_{n\to+\infty}\frac 1n=0$ είναι $n_0=\big[\frac 1{\epsilon}\big]+1$.

7.2 Τετάρτη, 22-9-10.

Συνεχίσαμε με τα παραδείγματα

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{2n+1}=\frac 32 ,\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac n{n^2+1}=0.$$

Στο παράδειγμα $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{2n+1}=\frac 32$ είναι

$$n_0=\begin{cases}1, &\epsilon>\frac 52, \big[\frac 5{4\epsilon}-\frac 12\big]+1, &0<\epsilon\leq\frac 52,\end{cases}$$

και στο παράδειγμα $\lim_{n\to+\infty}\frac n{n^2+1}=0$ είναι

$$n_0=\begin{cases}1, &\epsilon>\frac 12, \big[\frac{1+\sqrt{1-4\epsilon^2}}{2\epsilon}\big]+1, &0<\epsilon\leq\frac 12.\end{cases}$$

Ορίσαμε τα άπειρα όρια. Λέμε ότι η $(x_n)$ αποκλίνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ ή τείνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ ή έχει όριο το $+\infty$ $(-\infty)$ και συμβολίζουμε

$$\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty (-\infty)$$   ή$$\quad \lim x_n=+\infty (-\infty)$$   ή$$\quad x_n\to +\infty (-\infty)$$

αν οι όροι $x_n$ γίνονται μεγαλύτεροι (μικρότεροι) από κάθε θετικό (αρνητικό) αριθμό ή, ισοδύναμα, αν για κάθε $M>0$ υπάρχει κάποιος $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε οι $x_{n_0}$, $x_{n_0+1}$, $x_{n_0+2}$,... να είναι όλοι $>M$ $(<-M)$ ή, ισοδύναμα, αν για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε να ισχύει $x_n>M$ $(x_n<-M)$ για κάθε $n\geq n_0$.

Γεωμετρικά: το ότι η $(x_n)$ αποκλίνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ σημαίνει ότι, καθώς ο δείκτης $n$ μεγαλώνει απεριόριστα, τα σημεία $x_n$ $(n\in\mathbf{N})$ της πραγματικής ευθείας απομακρύνονται απεριόριστα προς τα δεξιά (αριστερά).

Όπως και στην περίπτωση που το όριο είναι αριθμός, όταν θέλουμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό για να αποδείξουμε ένα όριο $\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty$ $(-\infty)$ παίρνουμε έναν οποιονδήποτε $M>0$ και ανάγουμε την σχέση $x_n>M$ $(x_n<-M)$ σε μια σχέση της μορφής $n>a$ (με κάποιον $a$ ο οποίος εξαρτάται από τον $M$). Η αναγωγή αυτή έχει την έννοια: η σχέση $n>a$ πρέπει να συνεπάγεται την $x_n>M$ $(x_n<-M)$. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε τον φυσικό αριθμό

$$n_0=\begin{cases}1, &a<0, \big[a\big]+1, &a\geq 0\end{cases}$$

και τότε για κάθε $n\in\mathbf{N}$ που ικανοποιεί την $n\geq n_0$ συνεπάγεται $n>a$ συνεπάγεται $x_n>M$ $(x_n<-M)$.

Είδαμε αναλυτικά το παράδειγμα

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n+1}=+\infty.$$

Εδώ, παίρνουμε οποιονδήποτε $M>0$ και βλέπουμε ότι, αν θεωρήσουμε τον φυσικό $n_0=\big[\frac{M+\sqrt{M^2+4M}}2\big]+1$, τότε ισχύει $\frac{n^2}{n+1}>M$ για κάθε $n\geq n_0$.

Τέλος, αποδείξαμε τα πιο θεωρητικά παραδείγματα

$$\lim_{n\to+\infty}n^a=\begin{cases}0, &a<0, 1, &a=0, +\infty, &a>0,\end{cases}$$

$$\lim_{n\to+\infty}\log_a n=\begin{cases}+\infty, &a>1, -\infty, &0<a<1.\end{cases}$$

Τα παραδείγματα αυτά αποτελούν μέρος της θεωρίας.

Προσοχή: Στο σημείο αυτό πρέπει να γίνει μια επανάληψη των ιδιοτήτων των δυνάμεων και των λογαρίθμων, διότι μερικές από αυτές είναι χρήσιμες στις αποδείξεις των παραπάνω ορίων.

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 2.1, 2.2 και 2.3 από τις σημειώσεις.

Ασκήσεις: Προσπαθήστε τις ασκήσεις Α1-5, Β1-3 της ενότητας 2.1, όλες τις ασκήσεις της ενότητας 2.2 (από την άσκηση 4 κυρίως τα δέκα πρώτα όρια) και όλες τις ασκήσεις της ενότητας 2.3 (από την άσκηση 5 κυρίως τα έξι πρώτα όρια).

7.3 Δευτέρα, 27-9-10.

Ένα ακόμη θεωρητικό παράδειγμα είναι η γεωμετρική πρόοδος με λόγο $a$, δηλαδή η ακολουθία $(a^n)$ ή

$$a, a^2 , a^3 , \ldots , a^n , \ldots$$

Αποδείξαμε ότι είναι

$$\lim_{n\to+\infty}a^n=\begin{cases}+\infty, & a>1, 1, & a=1, 0, & -1<a<1,\end{cases}$$

και ότι το όριο δεν υπάρχει στην περίπτωση $a\leq -1$.
Εκτός από τις περιπτώσεις $a>1$, $a=1$ και $-1<a<1$, όπου αποδείξαμε τα αντίστοιχα όρια, είδαμε ότι στην περίπτωση $a\leq -1$ δεν υπάρχει το όριο διότι άπειροι όροι της ακολουθίας (οι όροι με τους άρτιους δείκτες) είναι $\geq 1$ και άπειροι όροι της (οι όροι με τους περιττούς δείκτες) είναι $\leq -1$.

Κατόπιν, αρχίσαμε να αναφέρουμε, χωρίς αυστηρά μαθηματικές αποδείξεις, τις βασικές ιδιότητες των ορίων ακολουθιών. Αναλύσαμε το ((διαισθητικό)) περιεχόμενο όλων σχεδόν των παρακάτω ιδιοτήτων καθώς και των απροσδιόριστων μορφών (όπου αυτές εμφανίζονται).

Πρώτη ιδιότητα: Αν οι όροι δυο ακολουθιών ταυτίζονται από κάποιους δείκτες και πέρα, τότε είτε και οι δυο ακολουθίες δεν έχουν όριο είτε οι δυο ακολουθίες έχουν το ίδιο όριο.

Δεύτερη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ έχει όριο, τότε και η $(-x_n)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(-x_n)=-\lim_{n\to+\infty}x_n .$$

Τρίτη ιδιότητα: Αν οι $(x_n)$, $(y_n)$ έχουν όριο και το άθροισμα των ορίων τους δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή, τότε και η $(x_n+y_n)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(x_n+y_n)=\lim_{n\to+\infty}x_n+\lim_{n\to+\infty}y_n .$$

Οι απροσδιόριστες μορφές του αθροίσματος είναι οι

$$(+\infty)+(-\infty),\qquad (-\infty)+(+\infty).$$

Τέταρτη ιδιότητα: Αν οι $(x_n)$, $(y_n)$ έχουν όριο και η διαφορά των ορίων τους δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή, τότε και η $(x_n-y_n)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=\lim_{n\to+\infty}x_n-\lim_{n\to+\infty}y_n .$$

Οι απροσδιόριστες μορφές της διαφοράς είναι οι

$$(+\infty)-(+\infty),\qquad (-\infty)-(-\infty).$$

Πέμπτη ιδιότητα: Αν οι $(x_n)$, $(y_n)$ έχουν όριο και το γινόμενο των ορίων τους δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή, τότε και η $(x_ny_n)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(x_ny_n)=\lim_{n\to+\infty}x_n\lim_{n\to+\infty}y_n .$$

Οι απροσδιόριστες μορφές του γινομένου είναι οι

$$(\pm\infty)0,\qquad 0(\pm\infty).$$

Έκτη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ έχει όριο και το αντίστροφο του ορίου της δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή, τότε και η $\big(\frac 1{x_n})$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}\frac 1{x_n}=\frac 1{\lim_{n\to+\infty}x_n} .$$

Η απροσδιόριστη μορφή του αντιστρόφου είναι η

$$\frac 10 .$$

Έβδομη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ έχει όριο 0 και όλοι οι όροι της είναι θετικοί (αρνητικοί), τότε η $\big(\frac 1{x_n})$ έχει όριο $+\infty$ $(-\infty)$.

Δηλαδή, αν όλοι οι όροι της ακολουθίας έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε η $\frac 10$ δεν είναι απροσδιόριστη μορφή.

7.4 Τετάρτη, 29-9-10.

Αναφέραμε μερικά πορίσματα των προηγούμενων ιδιοτήτων.

1. Αν η $(x_n)$ έχει όριο και ο $c$ είναι αριθμός, τότε η $(cx_n)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(cx_n)=c\lim_{n\to+\infty}x_n .$$

(Αν το δεξιό μέλος είναι απροσδιόριστη μορφή, δηλαδή αν $c=0$ και $\lim_{n\to+\infty}x_n=\pm\infty$, τότε είναι $\lim_{n\to+\infty}(0x_n)=\lim_{n\to+\infty}0=0$.)

2. Αν η $(x_n)$ έχει όριο και ο $k$ είναι φυσικός, τότε η $(x_n{}^k)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}(x_n{}^k)=(\lim_{n\to+\infty}x_n)^k .$$

3. Όρια πολυωνυμικών παραστάσεων του $n$.

$$\lim_{n\to+\infty}(a_Nn^N+a_{N-1}n^{N-1}+\cdots+a_1n+a_0)=a_N\lim... ...}n^N=a_N(+\infty)=\begin{cases}+\infty, & a_N>0, -\infty, & a_N<0.\end{cases}$$

Όγδοη ιδιότητα: Αν οι $(x_n)$, $(y_n)$ έχουν όριο και ο λόγος των ορίων τους δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή, τότε και η $\big(\frac{x_n}{y_n}\big)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim_{n\to+\infty}x_n}{\lim_{n\to+\infty}y_n} .$$

Οι απροσδιόριστες μορφές του λόγου είναι οι

$$\frac x0 ,\qquad \frac{\pm\infty}0 ,\qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty} ,\qquad \frac{\pm\infty}{\mp\infty} .$$

Ένα πόρισμα των μέχρι τώρα ιδιοτήτων είναι σχετικό με τα όρια ρητών παραστάσεων του $n$.

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_Nn^N+a_{N-1}n^{N-1}+\cdots+a_1n+a_0}{b_... ...y, & N>M, \frac{a_N}{b_M}<0, \frac{a_N}{b_M} , & N=M, 0, & N<M.\end{cases}$$

Ένατη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ έχει όριο, τότε η $(\vert x_n\vert)$ έχει όριο και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}\vert x_n\vert=\big\vert\lim_{n\to+\infty}x_n\big\vert.$$

Όλες οι προηγούμενες ιδιότητες σχετίζονται με αλγεβρικές πράξεις. Οι επόμενες ιδιότητες έχουν σχέση με ανισότητες.

Δέκατη ιδιότητα: Έστω $x_n\leq y_n$ για κάθε $n$. Αν $\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty$, τότε $\lim_{n\to+\infty}y_n=+\infty$. Αν $\lim_{n\to+\infty}y_n=-\infty$, τότε $\lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty$.

Στην δέκατη ιδιότητα βασίζεται ο εξής ((πρακτικός)) κανόνας. Αν έχουμε μια ακολουθία $(y_n)$ και θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\lim_{n\to+\infty}y_n=+\infty$ αλλά ο τύπος του $y_n$ είναι αρκετά περίπλοκος, τότε δημιουργούμε μια νέα ακολουθία $(x_n)$ (ο τύπος του $x_n$ πολλές φορές προκύπτει με κατάλληλη απλοποίηση του $y_n$) έτσι ώστε να είναι $x_n\leq y_n$ και $\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty$. Ομοίως, αν έχουμε μια ακολουθία $(x_n)$ και θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty$ αλλά ο τύπος του $x_n$ είναι αρκετά περίπλοκος, τότε δημιουργούμε μια νέα ακολουθία $(y_n)$ έτσι ώστε να είναι $x_n\leq y_n$ και $\lim_{n\to+\infty}y_n=-\infty$.

Ενδέκατη ιδιότητα: Έστω $x_n\leq y_n$ για κάθε $n$. Αν $\lim_{n\to+\infty}x_n=x$ και $\lim_{n\to+\infty}y_n=y$, τότε $x\leq y$.

Προσοχή: Έστω $x_n<y_n$ για κάθε $n$. Αν $\lim_{n\to+\infty}x_n=x$ και $\lim_{n\to+\infty}y_n=y$, τότε δεν προκύπτει (ως γενικό συμπέρασμα) ότι $x<y$. Ως γενικό συμπέρασμα προκύπτει (από την ενδέκατη ιδιότητα) ότι $x\leq y$. Πράγματι, είδαμε παράδειγμα ακολουθιών όπου είναι $x_n<y_n$ για κάθε $n$, $\lim_{n\to+\infty}x_n=x$, $\lim_{n\to+\infty}y_n=y$ και $x=y$.

Δωδέκατη ιδιότητα: Έστω $x_n\leq y_n\leq z_n$ για κάθε $n$. Αν $\lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}z_n=\rho$, τότε $\lim_{n\to+\infty}y_n=\rho$.

Η δωδέκατη ιδιότητα ονομάζεται ιδιότητα παρεμβολής.

Δέκατη τρίτη ιδιότητα: 1. Έστω $\lim_{n\to+\infty}x_n<u$. Τότε ισχύει $x_n<u$ από κάποιον δείκτη και πέρα (δηλαδή υπάρχει $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε να είναι $x_n<u$ για κάθε $n\geq n_0$).
2. Έστω $\lim_{n\to+\infty}x_n>l$. Τότε ισχύει $x_n>l$ από κάποιον δείκτη και πέρα (δηλαδή υπάρχει $n_0\in\mathbf{N}$ ώστε να είναι $x_n>l$ για κάθε $n\geq n_0$).

Δέκατη τέταρτη ιδιότητα: 1. Έστω ότι ισχύει $x_n\geq u$ για άπειρους δείκτες $n$. Αν υπάρχει το $\lim_{n\to+\infty}x_n$, τότε ισχύει $\lim_{n\to+\infty}x_n\geq u$.
2. Έστω ότι ισχύει $x_n\leq l$ για άπειρους δείκτες $n$. Αν υπάρχει το $\lim_{n\to+\infty}x_n$, τότε ισχύει $\lim_{n\to+\infty}x_n\leq l$.

Δέκατη πέμπτη ιδιότητα: Έστω ότι ισχύει $x_n\geq u$ για άπειρους δείκτες $n$ και ότι ισχύει $x_n\leq l$ για άπειρους δείκτες $n$. Αν $l<u$, τότε δεν υπάρχει το $\lim_{n\to+\infty}x_n$.

Μια ακολουθία $(x_n)$ χαρακτηρίζεται άνω φραγμένη αν υπάρχει αριθμός $u$ ώστε να είναι $x_n\leq u$ για κάθε $n$. Μια ακολουθία $(x_n)$ χαρακτηρίζεται κάτω φραγμένη αν υπάρχει αριθμός $l$ ώστε να είναι $l\leq x_n$ για κάθε $n$. Μια ακολουθία $(x_n)$ χαρακτηρίζεται φραγμένη αν είναι άνω φραγμένη και κάτω φραγμένη, δηλαδή αν υπάρχουν αριθμοί $u$ και $l$ ώστε να είναι $l\leq x_n\leq u$ για κάθε $n$.

Δέκατη έκτη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ συγκλίνει (δηλαδή έχει όριο και το όριό της είναι αριθμός), τότε είναι φραγμένη.

Προσοχή: Το αντίστροφο της ιδιότητας αυτής δεν ισχύει: υπάρχουν ακολουθίες που είναι φραγμένες αλλά δεν συγκλίνουν. Για παράδειγμα, η $\big((-1)^{n-1}\big)$.

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 2.4 από τις σημειώσεις.

Ασκήσεις: Λύστε όλες τις ασκήσεις της ενότητας 2.4.

7.5 Δευτέρα, 4-10-2010.

Δέκατη έβδομη ιδιότητα: Αν η $(x_n)$ αποκλίνει στο $+\infty$ $(-\infty)$, τότε είναι κάτω (άνω) φραγμένη αλλά όχι άνω (κάτω) φραγμένη.

Στη συνέχεια αναφέραμε μερικά ζητήματα άξια προσοχής.

1. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου το όριο $\lim_{n\to+\infty}(x_n+y_n)$ υπάρχει χωρίς να υπάρχει κανένα από τα $\lim_{n\to+\infty}x_n$, $\lim_{n\to+\infty}y_n$. Για παράδειγμα, όταν $x_n=(-1)^{n-1}$ και $y_n=-(-1)^{n-1}$. Το ίδιο ισχύει και για το όριο του γινομένου.

2. Παρουσιάζονται συχνά όρια όπως το $\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$. Ο κανόνας διαφοράς δεν δουλεύει διότι καταλήγει στην απροσδιόριστη μορφή $(+\infty)-(+\infty)$. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της "συζυγούς παράστασης", δηλαδή γράφουμε

$$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$

και καταλήγουμε στο όριο $\frac 1{(+\infty)+(+\infty)}=0$.

3. Αποδείξαμε το όριο των γεωμετρικών αθροισμάτων, δηλαδή ότι

$$\lim_{n\to+\infty}(1+a+a^2+\cdots+a^n)=\begin{cases}+\infty, &a\geq 1, \frac 1{1-a}, &-1<a<1 \end{cases}$$

και ότι το όριο δεν υπάρχει αν $a\leq -1$.

4. Είδαμε ότι όρια όπως το

$$\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac 1n+\frac 1n+\cdots+\frac 1n+\frac 1n\Big)$$

(με $n$ όρους) ή όπως το

$$\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac 1{n+1}+\frac 1{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac 1{n+\sqrt{n-1}}+\frac 1{n+\sqrt{n}}\Big)$$

δεν υπολογίζονται με την "λογική" ότι ((κάθε όρος του αθροίσματος τείνει στο 0, οπότε το άθροισμα τείνει στο 0)). Η "λογική" αυτή εδώ δεν ισχύει διότι το πλήθος των όρων δεν είναι σταθερό. Για το πρώτο όριο γράφουμε $(\frac 1n+\frac 1n+\cdots+\frac 1n)=n\cdot\frac 1n=1$ και $\lim_{n\to+\infty}1=1$ και για το δεύτερο όριο χρησιμοποιούμε την ιδιότητα παρεμβολής, αφού πρώτα δούμε ότι

$$n\cdot\frac 1{n+\sqrt{n}}\leq\frac 1{n+1}+\frac 1{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac 1{n+\sqrt{n-1}}+\frac 1{n+\sqrt{n}}\leq n\cdot\frac 1{n+1} .$$

Κατόπιν, αναφέραμε το βασικό θεώρημα για μονότονες ακολουθίες.

Αν η $(x_n)$ είναι αύξουσα, τότε έχει όριο. Πιο συγκεκριμένα:
$(i)$ αν η $(x_n)$ δεν είναι άνω φραγμένη, τότε αποκλίνει στο $+\infty$.
$(ii)$ αν η $(x_n)$ είναι άνω φραγμένη, τότε συγκλίνει σε αριθμό και το όριό της είναι το μικρότερο από τα άνω φράγματά της.

Φυσικά, ισχύει και το ((συμμετρικό)) θεώρημα για φθίνουσες ακολουθίες.

Αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, ότι η ακολουθία $\big((1+\frac 1n)^n\big)$ είναι αύξουσα και άνω φραγμένη (για παράδειγμα, από το 4) και, επομένως, συγκλίνει. Το όριο αυτής της ακολουθίας είναι ένας πολύ σημαντικός αριθμός (γνωστός και από το λύκειο) και τον συμβολίζουμε με το γράμμα e. Δηλαδή

$$e=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+\frac 1n\Big)^n .$$

Αναφέραμε ένα παράδειγμα ακολουθίας που ορίζεται με αναδρομικό τύπο, συγκεκριμένα το

$$x_1=1,\qquad x_{n+1}=\sqrt{x_n+2} .$$

Αποδείξαμε ότι η ακολουθία αυτή είναι αύξουσα και άνω φραγμένη, οπότε συγκλίνει και το όριό της είναι ο αριθμός 2.

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 2.5.

Ασκήσεις: Λύστε όλες τις ασκήσεις της ενότητας 2.5.

7.6 Τετάρτη, 6-10-2010.

Ορίσαμε την έννοια του ορίου συνάρτησης.

Γράφουμε

$$\lim_{x\to\xi}f(x)=\eta$$

και διαβάζουμε το $f(x)$ συγκλίνει στον $\eta$ ή το $f(x)$ τείνει στον $\eta$ ή το $f(x)$ έχει όριο $\eta$ όταν ο $x$ τείνει στον $\xi$ αν: η απόσταση $\vert f(x)-\eta\vert$ θα γίνει μικρότερη από οποιονδήποτε $\varepsilon>0$ όταν η απόσταση $\vert x-\xi\vert$ γίνει μικρότερη από κάποιον κατάλληλο $\delta>0$ και είναι θετική (δηλαδή είναι $x\neq\xi$) και ο $x$ ανήκει, φυσικά, στο πεδίο ορισμού της $f$. Ισοδύναμα: αν για οποιονδήποτε $\varepsilon>0$ υπάρχει κάποιος κατάλληλος $\delta>0$ ώστε να είναι $\vert f(x)-\eta\vert<\varepsilon$ αν είναι $0<\vert x-\xi\vert<\delta$ και ο $x$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$. Ισοδύναμα: αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει κατάλληλος $\delta>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$0<\vert x-\xi\vert<\delta\quad\Longrightarrow\quad \vert f(x)-\eta\vert<\varepsilon.$$

Όπως και με τα όρια ακολουθιών, για να αποδείξουμε κάποιο όριο συνάρτησης θεωρούμε έναν αυθαίρετο $\varepsilon>0$ και πρέπει να βρούμε κάποιον κατάλληλο $\delta>0$ (κάποιον κατάλληλο $n_0\in\mathbf{N}$ στην περίπτωση των ακολουθιών).

Αναλύσαμε διεξοδικά το παράδειγμα

$$\lim_{x\to 2}\frac{4x^2-9x+2}{x-2}=7,$$

όπου είδαμε ότι πρέπει να επιλέξουμε $0<\delta\leq\frac{\varepsilon}4$ (ώστε από το $0<\vert x-2\vert<\delta$ να συνεπάγεται $\vert\frac{4x^2-9x+2}{x-2}-7\vert<\varepsilon$) και το παράδειγμα

$$\lim_{x\to 1}(x^2+2)=3,$$

όπου είδαμε ότι πρέπει να επιλέξουμε $0<\delta\leq\sqrt{1+\varepsilon}-1$ (ώστε από το $0<\vert x-1\vert<\delta$ να συνεπάγεται $\vert(x^2+2)-3\vert<\varepsilon$).
Επίσης, αναφέραμε το όριο σταθερής συνάρτησης

$$\lim_{x\to\xi}c=c$$

και αποδείξαμε το

$$\lim_{x\to\xi}\vert x-\xi\vert^a=0\qquad (a>0).$$

Μελέτη: Διαβάστε προσεκτικά την ενότητα 4.1.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 4.1.

7.7 Δευτέρα, 11-10-2010.

Γράφουμε

$$\lim_{x\to\xi}f(x)=+\infty$$

και διαβάζουμε το $f(x)$ αποκλίνει στο $+\infty$ ή το $f(x)$ τείνει στο $+\infty$ ή το $f(x)$ έχει όριο $+\infty$ όταν ο $x$ τείνει στον $\xi$ αν: για κάθε $M>0$ υπάρχει κατάλληλος $\delta>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$0<\vert x-\xi\vert<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M.$$

Ομοίως, γράφουμε

$$\lim_{x\to\xi}f(x)=-\infty$$

και διαβάζουμε το $f(x)$ αποκλίνει στο $-\infty$ ή το $f(x)$ τείνει στο $-\infty$ ή το $f(x)$ έχει όριο $-\infty$ όταν ο $x$ τείνει στον $\xi$ αν: για κάθε $M>0$ υπάρχει κατάλληλος $\delta>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$0<\vert x-\xi\vert<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M.$$

Αποδείξαμε το

$$\lim_{x\to\xi}\vert x-\xi\vert^{-a}=+\infty\qquad (a>0).$$

Κατόπιν, ορίσαμε τα πλευρικά όρια

$$\lim_{x\to\xi+}f(x)=\eta$$   ή$$\quad +\infty$$   ή$$\quad -\infty,$$

όπου ο $x$ τείνει στον $\xi$ από τα δεξιά του, και τα

$$\lim_{x\to\xi-}f(x)=\eta$$   ή$$\quad +\infty$$   ή$$\quad -\infty,$$

όπου ο $x$ τείνει στον $\xi$ από τα αριστερά του. Η διατύπωση του ορισμού του $\lim_{x\to\xi+}$ είναι ίδια με τη διατύπωση του ορισμού του $\lim_{x\to\xi}$ εκτός από το ότι αντικαθιστούμε την σχέση $0<\vert x-\xi\vert<\delta$ με την $0<x-\xi<\delta$. Ομοίως, στην διατύπωση του ορισμού του $\lim_{x\to\xi-}$ χρησιμοποιούμε την σχέση $-\delta<x-\xi<0$.

Παρατηρήσαμε ότι η σχέση $0<\vert x-\xi\vert<\delta$ σημαίνει ότι το $x$ ανήκει στην ένωση $(\xi-\delta,\xi)\cup(\xi,\xi+\delta)$, δηλαδή είτε στο $(\xi-\delta,\xi)$ είτε στο $(\xi,\xi+\delta)$. Η σχέση $0<x-\xi<\delta$ σημαίνει ότι το $x$ ανήκει μόνο στο διάστημα $(\xi,\xi+\delta)$ ενώ η σχέση $-\delta<x-\xi<0$ σημαίνει ότι το $x$ ανήκει μόνο στο $(\xi-\delta,\xi)$.

Αναφέραμε και αιτιολογήσαμε τις εξής δυο προτάσεις για τη σχέση ανάμεσα στο όριο και στα πλευρικά όρια.

Έστω ότι η $y=f(x)$ είναι ορισμένη τουλάχιστον σε δυο διαστήματα αριστερά και δεξιά του $\xi$. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο $\xi$, τότε υπάρχουν και τα δυο πλευρικά όριά της στο $\xi$ και ισχύει η ισότητα

$$\lim_{x\to\xi+}f(x)=\lim_{x\to\xi-}f(x)=\lim_{x\to\xi}f(x).$$

Αντιστρόφως, αν υπάρχουν τα δυο πλευρικά όρια της συνάρτησης στο $\xi$ και είναι ίσα, τότε υπάρχει και το όριο της συνάρτησης στο $\xi$ και ισχύει η προηγούμενη ισότητα.

Έστω ότι η $y=f(x)$ είναι ορισμένη σε κάποιο διάστημα δεξιά (αριστερά) του $\xi$ αλλά σε κανένα σημείο κάποιου διαστήματος αριστερά (δεξιά) του $\xi$. Τότε η έννοια του δεξιού (αριστερού) πλευρικού ορίου της συνάρτησης στο $\xi$ ταυτίζεται με την έννοια του ορίου της στο $\xi$, οπότε

$$\lim_{x\to\xi+(-)}f(x)=\lim_{x\to\xi}f(x).$$

Ένα χρήσιμο άμεσο πόρισμα της πρώτης πρότασης είναι το εξής. Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη τουλάχιστον σε δυο διαστήματα αριστερά και δεξιά του $\xi$ και αν δεν υπάρχει ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όριά της στο $\xi$ ή αν υπάρχουν και τα δυο αλλά είναι διαφορετικά, τότε δεν υπάρχει το όριό της στο $\xi$. Και είδαμε δυο παραδείγματα:

$$\lim_{x\to 0+}\frac{\vert x\vert}x=\lim_{x\to 0+}1=1,\qquad \lim_{x\to 0-}\frac{\vert x\vert}x=\lim_{x\to 0-}(-1)=-1,$$

οπότε το $\lim_{x\to 0}\frac{\vert x\vert}x$ δεν υπάρχει.

$$\lim_{x\to\xi+}\frac 1{x-\xi}=+\infty,\qquad \lim_{x\to\xi-}\frac 1{x-\xi}=-\infty,$$

οπότε το $\lim_{x\to\xi}\frac 1{x-\xi}$ δεν υπάρχει.

Τέλος, ορίσαμε και τα όρια στο $+\infty$ και στο $-\infty$.

Γράφουμε

$$\lim_{x\to+\infty (-\infty)}f(x)=\eta$$

και διαβάζουμε το $f(x)$ συγκλίνει στο $\eta$ ή το $f(x)$ τείνει στο $\eta$ ή το $f(x)$ έχει όριο $\eta$ όταν ο $x$ τείνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ αν: για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει κατάλληλος $N>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$x>N (x<-N)\quad\Longrightarrow\quad \vert f(x)-\eta\vert<\varepsilon.$$

Γράφουμε

$$\lim_{x\to+\infty (-\infty)}f(x)=+\infty (-\infty)$$

και διαβάζουμε το $f(x)$ αποκλίνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ ή το $f(x)$ τείνει στο $+\infty$ $(-\infty)$ ή το $f(x)$ έχει όριο $+\infty$ $(-\infty)$ όταν ο $x$ τείνει στο $+\infty$ ($-\infty$) αν: για κάθε $M>0$ υπάρχει κατάλληλος $N>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$x>N (x<-N)\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M (f(x)<-M).$$

Αναλύσαμε διεξοδικά το παράδειγμα

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x+1}=1,$$

όπου είδαμε ότι πρέπει να επιλέξουμε

$$N \begin{cases}\geq\frac 1{\varepsilon}-1 , & 0<\varepsilon<1, >0, & \varepsilon\geq 1,\end{cases}$$

(ώστε από το $x>N$ να συνεπάγεται $\vert\frac{x+2}{x+1}-1\vert<\varepsilon$).

Αναφέραμε τα όρια της σταθερής συνάρτησης

$$\lim_{x\to\pm\infty}c=c$$

και αποδείξαμε τα όρια

$$\lim_{x\to+\infty}x^a=+\infty\quad (a>0),\qquad \lim_{x\to+\infty}x^{-a}=0\quad (a>0).$$

Είδαμε ποιες ((εικόνες)) γραφημάτων αντιστοιχούν στα διάφορα όρια.

Είπαμε ότι μια κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση $x=\xi$ χαρακτηρίζεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της $y=f(x)$ αν ισχύει έστω και ένα από τα τέσσερα όρια $\lim_{x\to\xi\pm}f(x)=\pm\infty$.

Μελέτη: Να επιμείνετε στην ενότητα 4.1 και διαβάστε και την ενότητα 4.2.

7.8 Τετάρτη, 13-10-2010.

Είπαμε ότι μια ευθεία με εξίσωση $y=\mu x+\nu$ χαρακτηρίζεται πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ $(-\infty)$ της $y=f(x)$ αν ισχύει

$$\lim_{x\to+\infty (-\infty)}(f(x)-\mu x-\nu)=0.$$

Αποδείξαμε ότι οι τύποι υπολογισμού των συντελεστών $\mu$ και $\nu$ είναι

$$\mu=\lim_{x\to +\infty (-\infty)}\frac{f(x)}x , \qquad \nu=\lim_{x\to+\infty (-\infty)}(f(x)-\mu x).$$

Ασχοληθήκαμε με διάφορες ιδιότητες των ορίων.

Πρώτη ιδιότητα: Αν υπάρχουν τα $\lim f(x)$ και $\lim g(x)$ και το άθροισμά τους δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε υπάρχει και το $\lim(f(x)+g(x))$ και είναι

$$\lim (f(x)+g(x))=\lim f(x)+\lim g(x).$$

Σ' αυτήν, αλλά και στις άλλες ιδιότητες παρακάτω, όταν γράφουμε $\lim$ εννοούμε ότι η ιδιότητα ισχύει σε κάθε περίπτωση: $x\to\xi$, $x\to\xi+$, $x\to\xi-$, $x\to+\infty$, $x\to-\infty$.

Δεύτερη ιδιότητα: Αν υπάρχουν τα $\lim f(x)$ και $\lim g(x)$ και η διαφορά τους δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε υπάρχει και το $\lim(f(x)-g(x))$ και είναι

$$\lim (f(x)-g(x))=\lim f(x)-\lim g(x).$$

Τρίτη ιδιότητα: Αν υπάρχουν τα $\lim f(x)$ και $\lim g(x)$ και το γινόμενό τους δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε υπάρχει και το $\lim(f(x)g(x))$ και είναι

$$\lim (f(x)g(x))=\lim f(x)\lim g(x).$$

Τέταρτη ιδιότητα: Αν υπάρχει το $\lim f(x)$ και το αντίστροφό του δεν είναι απροσδιόριστη μορφή (δηλαδή, αν $\lim f(x)\neq 0$), τότε υπάρχει και το $\lim\frac 1{f(x)}$ και είναι

$$\lim\frac 1{f(x)}=\frac 1{\lim f(x)} .$$

Πέμπτη ιδιότητα: Αν $\lim f(x)=0$ και ισχύει $f(x)>0$ $(f(x)<0)$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του, τότε είναι

$$\lim\frac 1{f(x)}=+\infty (-\infty).$$

Έκτη ιδιότητα: Αν υπάρχουν τα $\lim f(x)$ και $\lim g(x)$ και ο λόγος τους δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε υπάρχει και το $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ και είναι

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} .$$

Εφαρμογή της τρίτης ιδιότητας είναι το εξής. Αν υπάρχει το $\lim f(x)$ και ο $k$ είναι φυσικός, τότε

$$\lim (f(x))^k=\big(\lim f(x)\big)^k .$$

Ειδικές περιπτώσεις:

$$\lim_{x\to\xi}x^k=\xi^k\qquad (k\in\mathbf{N})$$

$$\lim_{x\to+\infty}x^k=+\infty\qquad (k\in\mathbf{N})$$

$$\lim_{x\to-\infty}x^k=\begin{cases}+\infty, & k=2m, m\in\mathbf{N}, -\infty, & k=2m-1, m\in\mathbf{N}.\end{cases}$$

$$\lim_{x\to\xi+}\frac 1{(x-\xi)^k}=+\infty\qquad (k\in\mathbf{N})$$

$$\lim_{x\to\xi-}\frac 1{(x-\xi)^k}=\begin{cases}+\infty, & k=2m, m\in\mathbf{N}, -\infty, & k=2m-1, m\in\mathbf{N}.\end{cases}$$

Βάσει αυτών των ορίων και της πρώτης και της τρίτης ιδιότητας, αποδείξαμε ότι, αν $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ είναι ένα πολυώνυμο (με $a_n\neq 0$), τότε

$$\lim_{x\to\xi}p(x)=p(\xi)$$

$$\lim_{x\to+\infty}p(x)=a_n\cdot(+\infty)=\begin{cases}+\infty, & a_n>0, -\infty, & a_n<0.\end{cases}$$

$$\lim_{x\to-\infty}p(x)=a_n\cdot(-\infty)^n=\begin{cases}a_n\cdot(... ...n=2m, m\in\mathbf{N}, a_n\cdot(-\infty), & n=2m-1, m\in\mathbf{N}.\end{cases}$$

Χρησιμοποιώντας και την έκτη ιδιότητα, μελετήσαμε τα όρια ρητών συναρτήσεων $r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, όπου $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ και $q(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0$ (με $a_n\neq 0,b_m\neq 0$).

$$\lim_{x\to+\infty}r(x)=\begin{cases}\frac{a_n}{b_m}\cdot(+\infty), & n>m, \frac{a_n}{b_m}, & n=m, 0, & n<m.\end{cases}$$

$$\lim_{x\to-\infty}r(x)=\begin{cases}\frac{a_n}{b_m}\cdot(+\infty)... ...), & n-m=2k-1, k\in\mathbf{N}, \frac{a_n}{b_m}, & n=m, 0, & n<m.\end{cases}$$

$$\lim_{x\to\xi}r(x)=r(\xi),$$   αν$$q(\xi)\neq 0.$$

Επίσης, περιγράψαμε με ποιο τρόπο βρίσκουμε αν υπάρχει και, στην περίπτωση που υπάρχει, την τιμή του $\lim_{x\to\xi}r(x)$ όταν ισχύει $q(\xi)=0$.

Έβδομη ιδιότητα: Έστω ότι ορίζεται η σύνθεση $g(f(x))$. Τότε

$$\lim g(f(x))=\begin{cases}\lim_{y\to\eta}g(y), & f(x)\to\eta, ... ...}g(y), & f(x)\to+\infty, \lim_{y\to-\infty}g(y), & f(x)\to-\infty.\end{cases}$$

Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται ιδιότητα αλλαγής μεταβλητής: στο όριο $\lim_{x\to} g(f(x))$ αντικαθιστούμε την μεταβλητή $x$ με την μεταβλητή $y=f(x)$ και συγχρόνως αντικαθιστούμε το $\lim_{x\to}$, στο οποίο αναφέρεται το όριο της μεταβλητής $x$, με το $\lim_{y\to}$, στο οποίο αναφέρεται το όριο της μεταβλητής $y=f(x)$.
Προσέξτε: Για να εφαρμόσουμε την ιδιότητα αυτή πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι, στην περίπτωση που το όριο της $y=f(x)$ είναι αριθμός $\eta$, οι τιμές της $y=f(x)$ πρέπει να είναι $\neq\eta$, τουλάχιστον για τα $x$ που είναι κοντά στο όριο του $x$.

Μελέτη: Διαβάστε προσεκτικά την ενότητα 4.3, ακόμη και όσα δεν είπαμε στο μάθημα.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 4.2 και τις ασκήσεις Α, Β και Γ της ενότητας 4.3.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Από τις 13-10-2010 αρχίζει η διανομή των σημειώσεων. Παρακαλώ, περάστε από το γραφείο μου να πάρετε ένα αντίγραφο των σημειώσεων.

7.9 Δευτέρα, 18-10-10.

Συνεχίσαμε με τις ιδιότητες των ορίων.

Όγδοη ιδιότητα: Έστω ότι ισχύει $f(x)\leq g(x)$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του. Αν $\lim f(x)=+\infty$, τότε $\lim g(x)=+\infty$. Αν $\lim g(x)=-\infty$, τότε $\lim f(x)=-\infty$.

Ένατη ιδιότητα: Έστω ότι ισχύει $f(x)\leq g(x)$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του. Αν $\lim f(x)=\eta$ και $\lim g(x)=\zeta$, τότε $\eta\leq\zeta$.

Δέκατη ιδιότητα: Έστω ότι ισχύει $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του. Αν $\lim f(x)=\lim h(x)=\eta$, τότε $\lim g(x)=\eta$.

Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται ιδιότητα παρεμβολής.

Είδαμε τα εξής παραδείγματα.

(1) Επειδή ισχύει $x-1<[x]$ για κάθε $x$ και επειδή $\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$, συνεπάγεται $\lim_{x\to+\infty}[x]=+\infty$. Στο σημείο αυτό μας δόθηκε η ευκαιρία να αναφέρουμε την συνάρτηση $y=[x]$, όπου $[x]$ είναι το ακέραιο μέρος του $[x]$ (και, επομένως, ισχύει $[x]\leq x<[x]+1$ για κάθε $x$), και να ζωγραφίσουμε την γραφική της παράσταση.
(2) Επειδή ισχύει $[x]\leq x$ για κάθε $x$ και επειδή $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$, συνεπάγεται $\lim_{x\to-\infty}[x]=-\infty$.
(3) Από την $x-1<[x]\leq x$ συνεπάγεται $1-\frac 1x<\frac{[x]}x\leq 1$ για κάθε $x>0$ και επειδή $\lim_{x\to+\infty}(1-\frac 1x)=\lim_{x\to+\infty}1=1$, συνεπάγεται $\lim_{x\to+\infty}\frac{[x]}x=1$.
(4) Από την $-\frac 1{\vert x\vert}\leq\frac{\sin x}x\leq\frac 1{\vert x\vert}$ για κάθε $x\neq 0$ και επειδή $\lim_{x\to\pm\infty}(-\frac 1{\vert x\vert})=\lim_{x\to\pm\infty}\frac 1{\vert x\vert}=0$, συνεπάγεται $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin x}x=0$.

Ενδέκατη ιδιότητα: Αν είναι $\lim f(x)<u$, τότε ισχύει $f(x)<u$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του. Αν είναι $\lim f(x)>l$, τότε ισχύει $f(x)>l$ για κάθε $x$ κοντά στο όριό του.

Κατόπιν, μελετήσαμε τη σχέση ανάμεσα σε όριο συνάρτησης και σε όρια ακολουθιών.

Έστω ότι οι όροι της ακολουθίας $(x_n)$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $y=f(x)$. Τότε

$$\lim f(x_n)=\begin{cases}\lim_{x\to\xi}f(x), & x_n\to\xi, x_n... ...ty}f(x), & x_n\to+\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x), & x_n\to-\infty.\end{cases}$$

Προσέξτε: Για να εφαρμόσουμε την ιδιότητα αυτή πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι, στην περίπτωση που το όριο της $(x_n)$ είναι αριθμός $\xi$, οι όροι $x_n$ πρέπει να είναι $\neq\xi$.

Ένα χρήσιμο πόρισμα είναι το εξής. Αν βρούμε μια τουλάχιστον ακολουθία $(x_n)$ τέτοια ώστε να είναι $x_n\to\xi$ και $x_n\neq\xi$ για κάθε $n$ αλλά η ακολουθία $(f(x_n))$ να μην έχει όριο, τότε συμπεραίνουμε ότι το $\lim_{x\to\xi}f(x)$ δεν υπάρχει. Το αντίστοιχο ισχύει σε κάθε άλλη περίπτωση ορίου: $x\to\xi\pm$, $x\to\pm\infty$.

Ως εφαρμογή του τελευταίου πορίσματος, αποδείξαμε ότι τα όρια $\lim_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}$ και $\lim_{x\to 0+}\sin\frac 1x=\lim_{t\to+\infty}\sin t$ δεν υπάρχουν.

Κατόπιν, μελετήσαμε όρια συγκεκριμένων συναρτήσεων (αφού έχουμε ήδη μιλήσει για όρια πολυωνυμικών και ρητών συναρτήσεων).

1. Αν ο $n$ είναι περιττός φυσικός, το πεδίο ορισμού της $y=\sqrt[n]{x}$ είναι το $(-\infty,+\infty)$ και αποδείξαμε ότι

$$\lim_{x\to\xi}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{\xi}$$

για κάθε $\xi$. Επίσης, αναφέραμε ότι

$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\sqrt[n]{x}=-\infty.$$

Αν ο $n$ είναι άρτιος φυσικός, το πεδίο ορισμού της $y=\sqrt[n]{x}$ είναι το $[0,+\infty)$ και αναφέραμε ότι

$$\lim_{x\to\xi}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{\xi}$$

για κάθε $\xi>0$ και ότι

$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0+}\sqrt[n]{x}=0.$$

2. Αν ο $a$ είναι άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού της $y=x^a$ είναι το $(0,+\infty)$ (μαζί με το 0 αν $a>0$) και αναφέραμε ότι

$$\lim_{x\to\xi}x^a=\xi^a$$

για κάθε $\xi>0$ και ότι

$$\lim_{x\to+\infty}x^a=\begin{cases}+\infty, & a>0, 1, & a=0, ... ...im_{x\to 0+}x^a=\begin{cases}0, & a>0, 1, & a=0, +\infty, & a<0.\end{cases}$$

3. Αν $a>0$, το πεδίο ορισμού της $y=a^x$ είναι το $(-\infty,+\infty)$. Αναφέραμε ότι

$$\lim_{x\to\xi}a^x=a^{\xi}$$

για κάθε $\xi$ και ότι

$$\lim_{x\to+\infty}a^x=\begin{cases}+\infty, & a>1, 1, & a=1, ... ...to-\infty}a^x=\begin{cases}0, & a>1, 1, & a=1, +\infty, & 0<a<1.\end{cases}$$

Μελέτη: Ολοκληρώστε πολύ προσεκτικά το διάβασμα της ενότητας 4.3 (ακόμη και όσα δεν είπαμε στο μάθημα) και συνεχίστε με τις ενότητες 4.4-4.7.

Ασκήσεις: Λύστε όλες τις ασκήσεις της ενότητας 4.3 καθώς και τις ασκήσεις των ενοτήτων 4.4-4.7.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Την Κυριακή 24-10-10 θα γίνει η πρώτη πρόοδος του μαθήματος. Θα είναι στα αμφιθέατρα ΒΞ, ΣΠ και ΣΟ και στις αίθουσες Θ201, Θ202 και θα διαρκέσει μιάμιση ώρα, αρχίζοντας στις 11:00.
Αν θέλετε να δείτε πώς θα είναι το διαγώνισμα και να εξασκηθείτε, δοκιμάστε εδώ. (Σε λίγο θα ανακοινωθούν και οι σωστές απαντήσεις. Επίσης, στο θέμα 3 απάντηση (3) διαβάστε: είναι $-5$.)

7.10 Τετάρτη, 20-10-10.

Συνεχίσαμε με όρια συγκεκριμένων συναρτήσεων.

4. Αν $0<a<1$ ή $a>1$, το πεδίο ορισμού της $y=\log_ax$ είναι το $(0,+\infty)$. Αποδείξαμε ότι

$$\lim_{x\to\xi}\log_ax=\log_a\xi$$

για κάθε $\xi>0$ και αναφέραμε ότι

$$\lim_{x\to+\infty}\log_ax=\begin{cases}+\infty, & a>1, -\infty,... ...im_{x\to 0-}\log_ax=\begin{cases}-\infty, & a>1, +\infty, & 0<a<1.\end{cases}$$

5. Αποδείξαμε (γεωμετρικά) την ανισότητα

$$\vert\sin x\vert\leq\vert x\vert,$$

η οποία ισχύει για κάθε $x$ και, χρησιμοποιώντας τις ισότητες $\sin x-\sin\xi=2\sin\frac{x-\xi}2\cos\frac{x+\xi}2$ και $\cos x-\cos\xi=-2\sin\frac{x-\xi}2\sin\frac{x+\xi}2$, αποδείξαμε τα όρια

$$\lim_{x\to\xi}\sin x=\sin\xi,\qquad \lim_{x\to\xi}\cos x=\cos\xi.$$

Τώρα προκύπτουν τα

$$\lim_{x\to\xi}\tan x=\tan\xi,\qquad \lim_{x\to\xi}\cot x=\cot\xi.$$

Το πρώτο όριο ισχύει για $\xi\neq\frac{\pi}2+k\pi$ $(k\in\mathbf{Z})$ και το δεύτερο όριο ισχύει για $\xi\neq k\pi$ $(k\in\mathbf{Z})$.
Ειδικά, αν $\xi=\frac{\pi}2+k\pi$ $(k\in\mathbf{Z})$, τότε

$$\lim_{x\to\xi-}\tan x=+\infty,\qquad \lim_{x\to\xi+}\tan x=-\infty.$$

Τέλος, αποδείξαμε (γεωμετρικά) την ανισότητα

$$\vert x\vert\leq\vert\tan x\vert,$$

η οποία ισχύει για κάθε $x$ με $\vert x\vert<\frac{\pi}2$, και, σε συνδυασμό με την $\vert\sin x\vert\leq\vert x\vert$, αποδείξαμε το

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$$

και αναφέραμε το

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac 12 .$$

Κατόπιν, αφήνοντας τις συγκεκριμένες συναρτήσεις, μελετήσαμε τα όρια μονότονων συναρτήσεων και αναφέραμε το βασικό θεώρημα για μονότονες συναρτήσεις.

Αν η συνάρτηση $y=f(x)$ είναι αύξουσα στο διάστημα $(a,\xi)$, τότε έχει αριστερό πλευρικό όριο στο $\xi$. Πιο συγκεκριμένα:

$(i)$ αν η $y=f(x)$ είναι άνω φραγμένη στο $(a,\xi)$, τότε το $\lim_{x\to\xi-}f(x)$ υπάρχει και είναι αριθμός.

$(ii)$ αν η $y=f(x)$ δεν είναι άνω φραγμένη στο $(a,\xi)$, τότε $\lim_{x\to\xi}f(x)=+\infty$.

Τέλος, αναφέραμε και τις υπόλοιπες παρόμοιες περιπτώσεις: να είναι η συνάρτηση φθίνουσα στο $(a,\xi)$ (σε σχέση με το $\lim_{x\to\xi-}f(x)$) καθώς και το να είναι η συνάρτηση μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα) σε διάστημα $(\xi,b)$ (σε σχέση με το $\lim_{x\to\xi+}f(x)$).

Σε αντιδιαστολή με τα προηγούμενα για όρια μονότονων συναρτήσεων, μελετήσαμε λεπτομερώς την συνάρτηση

$$y=\sin\frac 1x$$

και σχεδιάσαμε το γράφημά της. Είδαμε ότι η συνάρτηση αυτή δεν είναι μονότονη σε κανένα διάστημα $(0,b)$ (όσο μικρό κι αν είναι το $b$) και το $\lim_{x\to 0+}\sin\frac 1x$ δεν υπάρχει.

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 4.8, 4.9.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις των ενοτήτων 4.8, 4.9.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο θέμα 4 του πρότυπου διαγωνίσματος σε όλες τις απαντήσεις ο εκθέτης του 10 πρέπει να είναι -2 αντί -3.

7.11 Κυριακή, 24-10-10.

Τα αποτελέσματα της πρώτης προόδου είναι εδώ. Επιτυχία στην πρώτη πρόοδο σημαίνει: βαθμός $\geq 4$ (στα $14$).

Δείτε εδώ μια ανακοίνωση για ένα εβδομαδιαίο σεμινάριο απειροστικού λογισμού που απευθύνεται σε εσάς. Πιθανόν να σας ενδιαφέρει.

7.12 Δευτέρα, 25-10-10.

Αναφέραμε το βασικό όριο

$$\lim_{x\to+\infty}\Big(1+\frac 1x\Big)^x=e$$

για την συνάρτηση $y=(1+\frac 1x)^x$ με πεδίο ορισμού το $(0,+\infty)$.

Κατόπιν, μπήκαμε στο τρίτο μέρος του μαθήματος, τις συνεχείς συναρτήσεις. (Τα δυο προηγούμενα μέρη ήταν τα όρια ακολουθιών και τα όρια συναρτήσεων.)

Είπαμε ότι μια συνάρτηση $y=f(x)$ χαρακτηρίζεται συνεχής στο $\xi$ αν

$$\lim_{x\to\xi}f(x)=f(\xi).$$

Για να ισχύει αυτό, προυποτίθεται ότι η συνάρτηση ορίζεται στο $\xi$ (για να έχει νόημα το $f(\xi)$) αλλά και τουλάχιστον σε κάποιο διάστημα $(a,\xi)$ αριστερά του $\xi$ ή σε κάποιο διάστημα $(\xi,b)$ δεξιά του $\xi$ (για να έχει νόημα το $\lim_{x\to\xi}f(x)$). Όμως, ακόμη κι αν η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κανένα σημείο κάποιου διαστήματος $(a,\xi)$ και σε κανένα σημείο κάποιου διαστήματος $(\xi,b)$ (οπότε δεν έχει νόημα το $\lim_{x\to\xi}f(x)$) αλλά ορίζεται στο $\xi$, τότε και πάλι η συνάρτηση χαρακτηρίζεται συνεχής στο $\xi$.

Αν η $f=f(x)$ δεν ορίζεται στο $\xi$, τότε δεν έχει νόημα να εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι ή όχι συνεχής στο $\xi$.

Αναφέραμε τις ανάλογες έννοιες της συνέχειας στο $\xi$ από αριστερά και από δεξιά. Αναφέραμε, επίσης, και σχολιάσαμε την διατύπωση του ορισμού της συνέχειας στο $\xi$ με τα $\epsilon$ και $\delta$: η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $\xi$ αν και μόνο αν: η απόσταση $\vert f(x)-\eta\vert$ θα γίνει μικρότερη από οποιονδήποτε $\varepsilon>0$ όταν η απόσταση $\vert x-\xi\vert$ γίνει μικρότερη από κάποιον κατάλληλο $\delta>0$ και ο $x$ ανήκει, φυσικά, στο πεδίο ορισμού της $f$. Ισοδύναμα: αν για οποιονδήποτε $\varepsilon>0$ υπάρχει κάποιος κατάλληλος $\delta>0$ ώστε να είναι $\vert f(x)-\eta\vert<\varepsilon$ αν είναι $\vert x-\xi\vert<\delta$ και ο $x$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$. Ισοδύναμα: αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει κατάλληλος $\delta>0$ ώστε (για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της $f$)

$$\vert x-\xi\vert<\delta\quad\Longrightarrow\quad \vert f(x)-\eta\vert<\varepsilon.$$

Μια συνάρτηση χαρακτηρίζεται συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Αναφέραμε τα συνήθη παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων: τις πολυωνυμικές και τις ρητές συναρτήσεις, τις δυνάμεις, τις εκθετικές, τις λογαριθμικές και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Αναφέραμε τις στοιχειώδεις ιδιότητες: το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και ο λόγος συναρτήσεων οι οποίες είναι συνεχείς στο $\xi$ είναι συνεχείς στο $\xi$. (Είδαμε την απόδειξη, ενδεικτικά, για το άθροισμα.)

Αναφέραμε και αιτιολογήσαμε τον κανόνα σύνθεσης: αν ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση $z=g(f(x))$ των $y=f(x)$ και $z=g(y)$, αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $\xi$ και η $z=g(x)$ είναι συνεχής στο $\eta=f(\xi)$, τότε η $z=g(f(x))$ είναι συνεχής στο $\xi$.

Αναφέραμε και αιτιολογήσαμε και την σχετική με τον κανόνα σύνθεσης τεχνική αλλαγής μεταβλητής για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων: αν ορίζεται η $z=g(f(x))$, αν υπάρχει το όριο $\lim f(x)=\eta$ και αν η $z=g(y)$ είναι συνεχής στο $\eta$, τότε υπάρχει το $\lim g(f(x))$ και είναι

$$\lim g(f(x))=g(\eta).$$

Στο ίδιο πλαίσιο είδαμε και το: αν κάθε όρος της ακολουθίας $(x_n)$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $y=f(x)$, αν $\lim_{n\to+\infty}x_n=\xi$ και αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $\xi$, τότε υπάρχει και το όριο της ακολουθίας $(f(x_n))$ και είναι

$$\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(\xi).$$

Είδαμε μερικά παραδείγματα και, είδικώτερα, το χρήσιμο όριο ακολουθίας

$$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a}=1,$$

όπου $a>0$.

Τέλος, αναφέραμε και σχολιάσαμε τα διάφορα είδη ασυνεχειών.

1. Λέμε ότι η $f=f(x)$ παρουσιάζει άρσιμη ασυνέχεια στο $\xi$ αν το $\lim_{x\to\xi}f(x)$ υπάρχει και είναι αριθμός και είναι $\neq f(\xi)$.

2. Λέμε ότι η $y=f(x)$ παρουσιάζει ασυνέχεια πρώτου είδους στο $\xi$ αν είτε $\lim_{x\to\xi}f(x)=\pm\infty$ είτε υπάρχουν τα $\lim_{x\to\xi+}f(x)$ και $\lim_{x\to\xi-}f(x)$ και είναι διαφορετικά (οπότε δεν υπάρχει το $\lim_{x\to\xi}f(x)$).

3. Λέμε ότι η $y=f(x)$ παρουσιάζει ασυνέχεια δεύτερου είδους ή ουσιώδη ασυνέχεια στο $\xi$ αν ένα τουλάχιστον από τα $\lim_{x\to\xi+}f(x)$, $\lim_{x\to\xi-}f(x)$ δεν υπάρχει (δηλαδή, είτε $(i)$ και τα δυο έχουν νόημα και δεν υπάρχουν είτε $(ii)$ και τα δυο έχουν νόημα και το ένα δεν υπάρχει ενώ το άλλο υπάρχει είτε $(iii)$ μόνο το ένα έχει νόημα και δεν υπάρχει).

7.13 Τετάρτη, 27-10-10.

Εξετάσαμε (χωρίς απόδειξη) τα τρία βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις. Πρώτο είναι το θεώρημα φραγμένης συνάρτησης:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $[a,b]$, τότε είναι και φραγμένη στο $[a,b]$, δηλαδή υπάρχει αριθμός $M\geq 0$ ώστε να ισχύει $\vert f(x)\vert\leq M$ για κάθε $x\in[a,b]$.

Δεύτερο είναι το θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $[a,b]$, τότε έχει μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή στο $[a,b]$, δηλαδή υπάρχουν $x_1,x_2\in[a,b]$ ώστε να είναι $f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)$ για κάθε $x\in[a,b]$.

Προφανώς, η $f(x_1)$ είναι η ελάχιστη τιμή και η $f(x_2)$ είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο $[a,b]$. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα $x_1$ στα οποία η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της και περισσότερα από ένα $x_2$ στα οποία παίρνει την μέγιστη τιμή της.

Τρίτο είναι το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $[a,b]$ και αν ο $c$ είναι αριθμός ανάμεσα στους $f(a)$, $f(b)$ (δηλαδή $f(a)\leq c\leq f(b)$ ή $f(b)\leq c\leq f(a)$), τότε ο $c$ είναι τιμή της συνάρτησης στο $[a,b]$, δηλαδή υπάρχει $\xi\in[a,b]$ ώστε να ισχύει $f(\xi)=c$ ή, ισοδύναμα, η εξίσωση $f(x)=c$ έχει τουλάχιστον μια λύση στο $[a,b]$.

Σχολιάσαμε ότι οι περιπτώσεις $c=f(a)$ και $c=f(b)$ δεν παρουσιάζουν ουσιαστικό ενδιαφέρον, διότι τότε η εξίσωση $f(x)=c$ έχει τις προφανείς λύσεις $\xi=a$ και $\xi=b$, αντιστοίχως. Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής λέει κάτι ουσιαστικό στην περίπτωση που υποθέτουμε ότι ο $c$ είναι γνησίως ανάμεσα στους $f(a)$, $f(b)$, (δηλαδή $f(a)<c<f(b)$ ή $f(b)<c<f(a)$), οπότε το συμπέρασμα είναι ότι ο $c$ είναι τιμή της συνάρτησης στο $(a,b)$, δηλαδή υπάρχει $\xi\in(a,b)$ ώστε να ισχύει $f(\xi)=c$ ή, ισοδύναμα, η εξίσωση $f(x)=c$ έχει τουλάχιστον μια λύση στο $(a,b)$.

Κατόπιν, αναφέραμε το θεώρημα του Bolzano:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $[a,b]$ και $f(a)f(b)<0$, τότε ο ${}0{}$ είναι τιμή της συνάρτησης στο $(a,b)$, δηλαδή υπάρχει $\xi\in[a,b]$ ώστε να ισχύει $f(\xi)=0$ ή, ισοδύναμα, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει τουλάχιστον μια λύση στο $[a,b]$.

Αποδείξαμε ότι το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και το θεώρημα του Bolzano είναι ισοδύναμα (δηλαδή, αν υποθέσουμε ότι το ένα από αυτά είναι αληθές, τότε αποδεικνύεται και το άλλο).

Μετά αποδείξαμε, από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, την ιδιότητα σταθερού προσήμου:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής σε διάστημα $I$ (οποιουδήποτε τύπου) και δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του $I$, τότε έχει σταθερό πρόσημο στο $I$, δηλαδή είτε είναι $f(x)>0$ για κάθε $x\in I$ είτε είναι $f(x)<0$ για κάθε $x\in I$.

Τέλος, μας απασχόλησαν μερικά θέματα σχετικά με το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης. Πρώτο αποτέλεσμα:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[a,b]$, τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα $[m,M]$, όπου $m$ και $M$ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο $[a,b]$.

Αυτό το αποτέλεσμα το αποδείξαμε διεξοδικά. Κατόπιν, αναφέραμε μερικά ακόμη αποτελέσματα στο ίδιο πλαίσιο αλλά με την επιπλέον υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι και γνησίως μονότονη:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[a,b]$ ή $(a,b)$ ή $(a,b]$ ή $[a,b)$, τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι, αντιστοίχως, το διάστημα $[f(a),f(b)]$ ή $(\lim_{x\to a+}f(x),\lim_{x\to b-}f(x))$ ή $(\lim_{x\to a+}f(x),f(b)]$ ή $[f(a),\lim_{x\to b-}f(x))$.

Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα (αντί γνησίως αύξουσα), τα άκρα των παραπάνω διαστημάτων (για το σύνολο τιμών) αλλάζουν διάταξη.

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 5.1 - 5.6.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις των ενοτήτων 5.1 - 5.6.

7.14 Δευτέρα, 1-11-10.

Αποδείξαμε μερικά από τα αποτελέσματα που είχαμε αναφέρει στο προηγούμενο μάθημα. Ειδικώτερα, το ((αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[a,b]$, τότε το σύνολο τιμών της είναι το $[f(a),f(b)]$)) είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου ((αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $[a,b]$, τότε το σύνολο τιμών της είναι το $[m,M]$, όπου $m$ και $M$ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο $[a,b]$)). Αποδείξαμε, όμως, και το ((αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $(a,b)$, τότε το σύνολο τιμών της είναι το $(\lim_{x\to a+}f(x),\lim_{x\to b-}f(x))$)). Η απόδειξη των δυο υπόλοιπων παρόμοιων αποτελεσμάτων είναι παρόμοια και γι αυτό δεν την κάναμε.

Κατόπιν, αποδείξαμε τα εξής δυο αποτελέσματα.

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $(a,b)$ και είναι $\lim_{x\to a+}f(x)=-\infty$ και $\lim_{x\to b-}f(x)=+\infty$ (ή $\lim_{x\to a+}f(x)=+\infty$ και $\lim_{x\to b-}f(x)=-\infty$), τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $(-\infty,+\infty)$.

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $(a,b)$ και είναι $\lim_{x\to a+}f(x)=+\infty$ και $\lim_{x\to b-}f(x)=+\infty$, τότε η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή, έστω $m$, στο $(a,b)$ και το σύνολο τιμών της είναι το $[m,+\infty)$. Ομοίως, αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $(a,b)$ και είναι $\lim_{x\to a+}f(x)=-\infty$ και $\lim_{x\to b-}f(x)=-\infty$, τότε η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή, έστω $M$, στο $(a,b)$ και το σύνολο τιμών της είναι το $(-\infty,M]$.

Ως πόρισμα των δυο αυτών αποτελεσμάτων είδαμε ότι αν μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι περιττού βαθμού, τότε το σύνολο τιμών της είναι το $(-\infty,+\infty)$ και ότι αν μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι άρτιου βαθμού και ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής της είναι θετικός (αρνητικός) τότε έχει ελάχιστη (μέγιστη) τιμή, έστω $m$ ($M$) και το σύνολο τιμών της είναι το $[m,+\infty)$ ( $(-\infty,M]$).

Αναφέραμε και αιτιολογήσαμε (γεωμετρικά) το εξής.

Αν η $y=f(x)$ είναι γνησίως μονότονη και συνεχής σε κάποιο διάστημα $I$, τότε το σύνολο τιμών της είναι (όπως είδαμε στα προηγούμενα) ένα διάστημα $J$ και η αντίστροφη συνάρτηση $x=f^{-1}(y)$ είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα $J$ με σύνολο τιμών το $I$.

Τέλος, ορίσαμε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Αν περιορίσουμε την $y=\sin x$ στο διάστημα $[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$, τότε είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα αυτό με σύνολο τιμών το διάστημα $[-1,1]$. Η αντίστροφη συνάρτηση, την οποία ονομάζουμε τόξο-ημίτονο και την συμβολίζουμε $x=\arcsin y$ ή $x=\sin^{-1}y$, είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο $[-1,1]$ και έχει σύνολο τιμών το $[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$:

$$\arcsin : [-1,1]\to\Big[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\Big].$$

Αν περιορίσουμε την $y=\cos x$ στο διάστημα $[0,\pi]$, τότε είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα αυτό με σύνολο τιμών το διάστημα $[-1,1]$. Η αντίστροφη συνάρτηση, την οποία ονομάζουμε τόξο-συνημίτονο και την συμβολίζουμε $x=\arccos y$ ή $x=\cos^{-1}y$, είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $[-1,1]$ και έχει σύνολο τιμών το $[0,\pi]$:

$$\arccos : [-1,1]\to[0,\pi].$$

Αν περιορίσουμε την $y=\tan x$ στο διάστημα $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$, τότε είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα αυτό με σύνολο τιμών το διάστημα $(-\infty,+\infty)$. Η αντίστροφη συνάρτηση, την οποία ονομάζουμε τόξο-εφαπτόμενη και την συμβολίζουμε $x=\arctan y$ ή $x=\tan^{-1}y$, είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο $(-\infty,+\infty)$ και έχει σύνολο τιμών το $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$:

$$\arctan : (-\infty,+\infty)\to\Big(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\Big).$$

Προσέξτε τις παρακάτω ισοδυναμίες

$$x=\arcsin y\quad \Leftrightarrow \quad y=\sin x, -\frac{\pi}2\leq x\leq\frac{\pi}2 ,$$

$$x=\arccos y\quad \Leftrightarrow \quad y=\cos x, 0\leq x\leq\pi,$$

$$x=\arctan y\quad \Leftrightarrow \quad y=\tan x, -\frac{\pi}2<x<\frac{\pi}2 .$$

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 5.6 και 5.7. Για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις διαβάστε τα σχετικά στο κεφάλαιο 3.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις των ενοτήτων 5.6 και 5.7.

7.15 Τετάρτη, 3-11-10.

Ορίσαμε την παράγωγο $f'(\xi)$ μιας συνάρτησης $y=f(x)$ στο $\xi$ ως το όριο

$$f'(\xi)=\lim_{x\to\xi}\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}h ,$$

αν το όριο υπάρχει. Εναλλακτικά σύμβολα: $Df(\xi)$, $\frac{df(x)}{dx}\big\vert _{x=\xi}$, $\frac{dy}{dx}\big\vert _{x=\xi}$.
Αν θεωρήσουμε τα πλευρικά όρια στο $\xi$, τότε ορίζονται οι αντίστοιχες πλευρικές παράγωγοι.
Η συνάρτηση $y=f(x)$ χαρακτηρίζεται παραγωγίσιμη στο $\xi$ αν η τιμή του $f'(\xi)$ είναι αριθμός (και όχι $\pm\infty$).

Είδαμε διάφορα παραδείγματα.

Η συνάρτηση $y=f(x)=\vert x\vert$ δεν έχει παράγωγο στο ${}0{}$. Είναι $f'_+(0)=1$, $f'_-(0)=-1$.

Η $y=f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ δεν έχει παράγωγο στο ${}0{}$. Είναι $f'_+(0)=+\infty$, $f'_-(0)=-\infty$.

Η $y=f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, & x>0, 0, & x=0, -\sqrt{-x}, & x<0,\end{cases}$ έχει $f'(0)=+\infty$, οπότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο ${}0{}$.

Η $y=f(x)=\begin{cases}x\sin\frac 1x, & x\neq 0, 0, & x=0,\end{cases}$ δεν έχει παράγωγο στο ${}0{}$ αλλά ούτε και πλευρικές παραγώγους στο ${}0{}$.

Κατόπιν, είδαμε (και αποδείξαμε) μερικά πιο τυποποιημένα παραδείγματα.

Για την σταθερή συνάρτηση $y=c$ ισχύει

$$\frac{dc}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=0.$$

Για την ταυτοτική συνάρτηση $y=x$ ισχύει

$$\frac{dx}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=1.$$

Αν $n\in\mathbf{N}$, $n\geq 2$, τότε

$$\frac{dx^n}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=nx^{n-1} .$$

Αν ο $a$ είναι ρητός, $a=\frac mn$ $(m,n\in\mathbf{Z}$), τότε

$$\frac{dx^a}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=a\xi^{a-1} .$$

Επίσης,

$$\frac{d\sin x}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=\cos\xi,\qquad \frac{d\cos x}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=-\sin\xi.$$

Είδαμε ότι η τιμή της παραγώγου $f'(\xi)$ είναι ίση με την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στο γράφημα της $y=f(x)$ στο σημείο $(\xi,f(\xi))$ και ότι η εξίσωση αυτής της εφαπτόμενης ευθείας είναι

$$y-f(\xi)=f'(\xi)(x-\xi).$$

Αποδείξαμε ότι, αν η $y=f(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $\xi$, τότε είναι συνεχής στο $\xi$. Το αντίστροφο δεν ισχύει: η $y=\vert x\vert$ είναι συνεχής στο ${}0{}$ αλλά δεν έχει καν παράγωγο στο ${}0{}$. Επίσης, είδαμε ότι, αν η συνάρτηση έχει παράγωγο στο $\xi$ αλλά η τιμή της είναι $\pm\infty$, τότε δεν συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\xi$. Για παράδειγμα, η $y=f(x)=\begin{cases}1, & x>0, 0, & x=0, -1, & x<0,\end{cases}$ έχει $f'(0)=+\infty$, αλλά δεν είναι συνεχής στο ${}0{}$.

Αναφέραμε τις αλγεβρικές ιδιότητες της παραγώγου:

$$(f+g)'(\xi)=f'(\xi)+g'(\xi),\quad (f-g)'(\xi)=f'(\xi)-g'(\xi),$$

$$(fg)'(\xi)=f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi),\quad \Big(\frac fg\Big)'(\xi)=\frac{f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)}{(g(\xi))^2} .$$

Βάσει αυτών των ιδιοτήτων υπολογίζονται οι παράγωγοι των πολυωνυμικών και των ρητών συναρτήσεων, καθώς και οι

$$\frac{d\tan x}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=\frac 1{(\cos\xi)^2} ,\quad \frac{d\cot x}{dx}\Big\vert _{x=\xi}=-\frac 1{(\sin\xi)^2} .$$

Τέλος, αποδείξαμε τον κανόνα της αλυσίδας ή κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Αν ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση $z=(g\circ f)(x)$ και αν η $y=f(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $\xi$ και η $z=g(y)$ είναι παραγωγίσιμη στο $\eta=f(\xi)$, τότε

$$(g\circ f)'(\xi)=g'(\eta)f'(\xi)=g'(f(\xi))f'(\xi).$$

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 6.1 - 6.5 (εκτός από την παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης).

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις των ενοτήτων 6.1 - 6.5. Ιδιαιτέρως: τις 2, 3, 4 στην ενότητα 6.2, τις 4, 5 στην ενότητα 6.3, τις 2, 4 - 10 στην ενότητα 6.4 και τις 5 - 12, 14 - 17 στην ενότητα 6.5.

7.16 Δευτέρα, 15-11-10.

Αποδείξαμε τον κανόνα εύρεσης παραγώγου αντίστροφης συνάρτησης. Συγκεκριμένα, έστω ότι η $y=f(x)$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα $I$, οπότε το σύνολο τιμών της είναι επίσης ένα διάστημα $J$ και η αντίστροφη συνάρτηση $x=f^{-1}(y)$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο $J$ με σύνολο τιμών το $I$. Αν η $\eta=f(\xi)$, $\xi=f^{-1}(\eta)$ και υπάρχει η $f'(\xi)$ (οπότε είναι είτε αριθμός $\geq 0$ είτε $+\infty$), τότε υπάρχει και η $(f^{-1})'(\eta)$ και είναι

$$(f^{-1})'(\eta)=\begin{cases}\frac 1{f'(\xi)} , & 0<f'(\xi)<+\infty, +\infty, & f'(\xi)=0, 0, & f'(\xi)=+\infty.\end{cases}$$

Φυσικά, αναφέραμε και την παραλλαγή του προηγούμενου στην περίπτωση που η συνάρτηση $y=f(x)$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Κατόπιν, αποδείξαμε τους τύπους των παραγώγων των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

$$\frac{d \arcsin x}{dx}=\frac 1{\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{d \arccos x}{dx}=-\frac 1{\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{d \arctan x}{dx}=\frac 1{1+x^2},$$

της λογαριθμικής συνάρτησης

$$\frac{d \log x}{dx}=\frac 1x$$

με την γενίκευση $\frac{d \log_ax}{dx}=\frac 1{x\log a}$, της εκθετικής συνάρτησης

$$\frac{d e^x}{dx}=e^x$$

με την γενίκευση $\frac{d a^x}{dx}=a^x\log a$ και της δύναμης με άρρητο εκθέτη

$$\frac{d x^a}{dx}=ax^{a-1} .$$

Ορίσαμε την έννοια του σημείου τοπικού ακροτάτου μιας συνάρτησης, το οποίο μπορεί να είναι εσωτερικό σημείο αλλά και άκρο διαστήματος στο οποίο είναι ορισμένη η συνάρτηση. Είδαμε διάφορα παραδείγματα και ειδικώτερα το

$$y=f(x)=\begin{cases}x\sin\frac 1x , & x>0, 0, & x=0,\end{cases}$$

όπου η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα $[0,+\infty)$ αλλά το άκρο 0 δεν είναι σημείο τοπικού ακροτάτου γι αυτήν.

Μετά από αυτό, αποδείξαμε το Θεώρημα του Fermat:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη σε διάστημα $I$, το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $I$ και σημείο τοπικού ακροτάτου της συνάρτησης, τότε είτε δεν υπάρχει η $f'(\xi)$ είτε υπάρχει η $f'(\xi)$ και είναι $=0$.

Το αντίστροφο του Θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει: η $y=x^3$ έχει παράγωγο $=0$ στο $x=0$, αλλά το $x=0$ δεν είναι σημείο τοπικού ακροτάτου της συνάρτησης.

Αναφέραμε και την παραλλαγή του Θεωρήματος του Fermat όταν το σημείο τοπικού ακροτάτου είναι άκρο του διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Την Κυριακή 21-11-10 θα γίνει επανάληψη της πρώτης προόδου του μαθήματος για τους φοιτητές/φοιτήτριες που (για κάποιον σοβαρό λόγο) δεν μπόρεσαν να δώσουν την πρώτη πρόοδο στις 24-10-10. Η πρόοδος θα είναι στο αμφιθέατρο ΒΞ και θα διαρκέσει μιάμιση ώρα, αρχίζοντας στις 11:00.

7.17 Δευτέρα, 22-11-10.

Αποδείξαμε το Θεώρημα του Rolle:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[a,b]$ και έχει παράγωγο στο $(a,b)$ και $f(a)=f(b)$, τότε υπάρχει $\xi\in(a,b)$ ώστε

$$f'(\xi)=0.$$

Μετά αποδείξαμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (του διαφορικού λογισμού) του Lagrange:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[a,b]$ και έχει παράγωγο στο $(a,b)$, τότε υπάρχει $\xi\in(a,b)$ ώστε

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .$$

Σχολιάσαμε την γεωμετρική ερμηνεία των δυο αυτών θεωρημάτων και αποδείξαμε ότι είναι ισοδύναμα.

Κατόπιν, αποδείξαμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (του διαφορικού λογισμού) του Cauchy:

Αν οι $y=f(x)$ και $y=g(x)$ είναι συνεχείς στο διάστημα $[a,b]$ και παραγωγίσιμες στο $(a,b)$, αν $g(b)\neq g(a)$ και δεν υπάρχει κανένα $x\in(a,b)$ ώστε $f'(x)=g'(x)=0$, τότε υπάρχει $\xi\in(a,b)$ ώστε

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} .$$

Αποδείξαμε το κριτήριο μονοτονίας συνάρτησης σε διάστημα:

Έστω ότι η $y=f(x)$ είναι συνεχής σε διάστημα $I$ και έχει παράγωγο στο εσωτερικό του $I$. Τότε η συνάρτηση
$(i)$ είναι σταθερή στο $I$ αν και μόνο αν $f'(x)=0$ για κάθε $x$ στο εσωτερικό του $I$.
$(ii)$ είναι αύξουσα στο $I$ αν και μόνο αν $f'(x)\geq 0$ για κάθε $x$ στο εσωτερικό του $I$.
$(iii)$ είναι φθίνουσα στο $I$ αν και μόνο αν $f'(x)\leq 0$ για κάθε $x$ στο εσωτερικό του $I$.

Είδαμε και το κριτήριο γνήσιας μονοτονίας, όπου, όμως, δεν ισχύουν οι προηγούμενες ισοδυναμίες, όπως δείχνει το παράδειγμα της $y=x^3$. Η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbf{R}$, αλλά δεν ισχύει ότι η παράγωγός της είναι $>0$ σε κάθε $x$. (Είναι, όμως, $\geq 0$ σε κάθε $x$.)

Τέλος, αναφέραμε ότι τα κριτήρια μονοτονίας χρησιμεύουν στην εύρεση των σημείων τοπικού ακροτάτου μιας συνάρτησης.

Μελέτη: Διαβάστε την παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης στην ενότητα 6.5 και τις ενότητες 6.6, 6.8 και 6.9. Η ενότητα 6.7 είναι προαιρετική (και δεν θα έκανε κακό να την διαβάσετε).

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις των ενοτήτων 6.6, 6.8 και 6.9. Οι ασκήσεις είναι πάρα πολλές, αλλά θα σας βοηθήσουν να αποκτήσετε ευχέρεια. Μερικές είναι δύσκολες!

7.18 Τετάρτη, 24-11-10.

Αναφέραμε, με παραδείγματα, ότι τα κριτήρια μονοτονίας που είδαμε στο προηγούμενο μάθημα δεν ισχύουν αν διατυπωθούν σε ενώσεις διαστημάτων (αντί σε ένα διάστημα): μια συνάρτηση μπορεί να ορίζεται στην ένωση δυο (ξένων) διαστημάτων, να έχει παράγωγο σταθερή μηδέν στην ένωση των δυο διαστημάτων, αλλά να μην είναι σταθερή στην ένωση των δυο διαστημάτων. (Θα είναι, όμως, σταθερή σε καθένα από τα δυο διαστήματα.)

Είδαμε, με παραδείγματα, πώς μπορούμε να αποδείξουμε ισότητες και ανισότητες με την βοήθεια των παραγώγων. Για παράδειγμα, αποδείξαμε την ισότητα

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}2$$

για κάθε $x\in[-1,1]$. Επίσης, αποδείξαμε ότι

$$\frac 1y<\frac 1{y-x}\log\frac yx<\frac 1x$$

για κάθε $x,y$ με $0<x<y$. Τέλος, είδαμε πώς μπορούμε να βρούμε τον τύπο της απόστασης δοσμένου σημείου από δοσμένη ευθεία.

Ορίσαμε την έννοια της παραγώγου ανώτερης τάξης. Σχολιάσαμε τις παραγώγους ανώτερης τάξης των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της εκθετικής συνάρτησης.

Αποδείξαμε το κριτήριο δεύτερης παραγώγου για σημείο τοπικού ακροτάτου:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη σε διάστημα $I$, το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $I$ και ισχύει $f'(\xi)=0$ και $f''(\xi)>0$ $(<0)$, τότε το $\xi$ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου (μεγίστου) της συνάρτησης.

Ορίσαμε με γεωμετρικό τρόπο τις έννοιες της κυρτότητας και της κοιλότητας συνάρτησης σε διάστημα και αποδείξαμε ότι μια συνάρτηση $y=f(x)$ είναι κυρτή στο διάστημα $I$ αν για κάθε $x_1,x_2\in I$ με $x_1<x_2$ και για κάθε $x\in[x_1,x_2]$ ισχύει

$$f(x)\leq\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1).$$

Αποδείξαμε ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι για κάθε $x_1,x_2\in I$ με $x_1<x_2$ και για κάθε $t\in[0,1]$ ισχύει

$$f((1-t)x_1+tx_2)\leq (1-t)f(x_1)+tf(x_2).$$

Για κοίλη συνάρτηση οι παραπάνω ανισότητες αλλάζουν φορά.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 6.10(Α). Μερικές είναι δύσκολες!

7.19 Δευτέρα, 29-11-10.

Το μάθημα δεν έγινε λόγω απεργίας στα πλοία που με βρήκε το βράδυ της Κυριακής στην Αθήνα. Το μάθημα θα αναπληρωθεί την Πέμπτη, 2-12-10, ώρα 11-13 στο αμφιθέατρο ΣΠ.

7.20 Τετάρτη, 1-12-10.

Αποδείξαμε ότι:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής σε διάστημα $I$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $I$, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο $I$ αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι αύξουσα στο εσωτερικό του $I$.

και το σχετικό:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής σε διάστημα $I$ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $I$, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή αν και μόνο αν η δεύτερη παράγωγός της είναι μη-αρνητική στο εσωτερικό του $I$.

Είδαμε παραδείγματα ανισοτήτων, όπως

$$e^{\frac{x_1+x_2}2}\leq\frac{e^{x_1}+e^{x_2}}2,\qquad \frac{\log x_1+\log x_2}2\leq\log\frac{x_1+x_2}2$$

οι οποίες σχετίζονται άμεσα με την έννοια της κυρτότητας.

Ορίσαμε την έννοια του σημείου καμπής. Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη σε διάστημα $I$ και το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $I$, τότε το $\xi$ ονομάζεται σημείο καμπής του γραφήματος της συνάρτησης στις εξής περιπτώσεις: $(i)$ αν $f'(\xi)=-\infty$, $(ii)$ αν $f'(\xi)=+\infty$ και $(iii)$ αν η $f'(\xi)$ είναι αριθμός και ισχύει $f(x)\leq f'(\xi)(x-\xi)+f(\xi)$ για $x>\xi$ κοντά στο $\xi$ και $f(x)\geq f'(\xi)(x-\xi)+f(\xi)$ για $x<\xi$ κοντά στο $\xi$ ή, ανάποδα, ισχύει $f(x)\geq f'(\xi)(x-\xi)+f(\xi)$ για $x>\xi$ κοντά στο $\xi$ και $f(x)\leq f'(\xi)(x-\xi)+f(\xi)$ για $x<\xi$ κοντά στο $\xi$.

Ειδικώτερα, αναφέραμε το:

Αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη σε διάστημα $I$ και το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $I$, τότε το $\xi$ είναι σημείο καμπής του γραφήματος της συνάρτησης αν η $f'(\xi)$ είναι αριθμός και η συνάρτηση είναι κυρτή σε διάστημα $(a,\xi]$ και κοίλη σε διάστημα $[\xi,b)$ ή, ανάποδα, κοίλη σε διάστημα $(a,\xi]$ και κυρτή σε διάστημα $[\xi,b)$.

Τέλος, είδαμε τους δυο κανόνες του l' Hopital (και αποδείξαμε τον πρώτο):

Πρώτος κανόνας. Έστω ότι οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα $(\xi,b)$, ότι ισχύει $g(x)\neq 0$ και $g'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in(\xi,b)$ και ότι $\lim_{x\to\xi+}f(x)=\lim_{x\to\xi+}g(x)=0$. Αν υπάρχει το $\lim_{x\to\xi+}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε υπάρχει και το $\lim_{x\to\xi+}\frac{f(x)}{g(x)}$ και τα δυο αυτά όρια είναι ίσα.

Ο κανόνας ισχύει και για διαστήματα $(a,\xi)$ με αριστερά πλευρικά όρια στο $\xi$ καθώς και για διαστήματα $(-\infty,b)$ με όρια στο $-\infty$ και για $(a,+\infty)$ με όρια στο $+\infty$.

Δεύτερος κανόνας. Έστω ότι οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα $(\xi,b)$, ότι ισχύει $g(x)\neq 0$ και $g'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in(\xi,b)$ και ότι $\lim_{x\to\xi+}g(x)=\pm\infty$. Αν υπάρχει το $\lim_{x\to\xi+}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε υπάρχει και το $\lim_{x\to\xi+}\frac{f(x)}{g(x)}$ και τα δυο αυτά όρια είναι ίσα.

Το σχόλιο για τον πρώτο κανόνα ισχύει και για τον δεύτερο.

Είδαμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού ορίων, όπως τα

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}=1,\qquad \lim_{x\to 0+}x\log x=0$$

και τα σημαντικά όρια

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^b}{a^x}=0\qquad (a>1, b>0),$$

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{(\log x)^b}{x^a}=0\qquad (a>0, b>0).$$

Τέλος, αποδείξαμε και το σημαντικό όριο ακολουθίας:

$$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1.$$

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 6.10 (εκτός από την υποενότητα για ευθείες στήριξης) και την ενότητα 6.11.

Ασκήσεις: Λύστε τις υπόλοιπες ασκήσεις της ενότητας 6.10 και τις ασκήσεις της ενότητας 6.11 (οι 18, 19, 20 είναι πιο δύσκολες).

ΠΡΟΣΟΧΗ: Για σοβαρούς τεχνικούς λόγους, η δεύτερη πρόοδος αναβάλλεται και, αντί να γίνει την Κυριακή 5-12-10, θα γίνει την Κυριακή 12-12-10.

7.21 Πέμπτη, 2-12-10.

Μετά από μια σύντομη αναφορά στο πρόβλημα του υπολογισμού εμβαδών, ορίσαμε την έννοια του ολοκληρώματος.

Μιλήσαμε για διαμερίσεις $\Delta=\{x_0=a,x_1,\ldots,x_{n-1},x_n=b\}$ διαστήματος $[a,b]$ και για αντίστοιχες επιλογές ενδιάμεσων σημείων $\Xi=\{\xi_1,\ldots,\xi_n\}$ καθώς και για τα αθροίσματα Riemann

$$\Sigma(f;a,b;\Delta;\Xi)=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$$

συνάρτησης $y=f(x)$ ορισμένης στο $[a,b]$. Το πλάτος$(\Delta)$ είναι το μέγιστο από τα μήκη των υποδιαστημάτων που ορίζονται από την διαμέριση $\Delta$.

Η $y=f(x)$ ονομάζεται ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ αν υπάρχει ένας αριθμός $I$ με την εξής ιδιότητα: αν το πλάτος$(\Delta)$ τείνει στο 0, τότε το $\Sigma(f;a,b;\Delta;\Xi)$ τείνει στον αριθμό $I$. Τότε ο αριθμός $I$ ονομάζεται ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο $[a,b]$ και συμβολίζεται

$$\int_a^bf(x) dx.$$

Αναφέραμε, χωρίς απόδειξη, δυο αρκετά γενικές κατηγορίες ολοκληρώσιμων συναρτήσεων:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής ή μονότονη στο $[a,b]$, τότε είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$.

Βάσει του ορισμού, δηλαδή με την μέθοδο του ορίου των αθροισμάτων Riemann, αποδείξαμε ότι

$$\int_a^bc dx=c\cdot(b-a),\qquad \int_a^bx dx=\frac{b^2-a^2}2 .$$

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 7.1, 7.2.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 7.2 (η 6 είναι πιο δύσκολη).

7.22 Δευτέρα, 6-12-10.

Αποδείξαμε ότι η λέγομενη συνάρτηση Dirichlet με τύπο

$$y=f(x)=\begin{cases}1, & x\in[0,1]\cap\mathbf{Q}, 0, & x\in[0,1]\setminus\mathbf{Q}\end{cases}$$

δεν είναι ολοκληρώσιμη στο $[0,1]$.

Αν πάρουμε $c\in[a,b]$ και θεωρήσουμε την συνάρτηση

$$y=f(x)=\begin{cases}1, & x=c, 0, & x\in[a,b]\setminus\{c\},\end{cases}$$

είδαμε (με μια πρόχειρη απόδειξη) ότι η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και ότι $\int_a^bf(x) dx=0$.

Κατόπιν, είδαμε διάφορες ιδιότητες των ολοκληρωμάτων, τις περισσότερες χωρίς απόδειξη.

Αν οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ είναι ολοκληρώσιμες στο $[a,b]$, τότε και η $y=f(x)+g(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και

$$\int_a^b(f(x)+g(x)) dx=\int_a^bf(x) dx+\int_a^bg(x) dx.$$

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και ο $\kappa$ είναι αριθμός, τότε και η $y=\kappa f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και

$$\int_a^b(\kappa f(x)) dx=\kappa\int_a^bf(x) dx.$$

Αν η $y=f(x)$ έχει τιμή 0 σε κάθε σημείο του $[a,b]$ εκτός από πεπερασμένου πλήθους σημείων του $[a,b]$, τότε είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και έχει $\int_a^bf(x) dx=0$.

Αν οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ έχουν ίσες τιμές σε κάθε σημείο του $[a,b]$ εκτός από πεπερασμένου πλήθους σημείων του $[a,b]$ και αν η μια από αυτές είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$, τότε και η άλλη είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και

$$\int_a^bf(x) dx=\int_a^bg(x) dx.$$

Αν οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ είναι ολοκληρώσιμες στο $[a,b]$, τότε και η $y=f(x)g(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$.

Προσέξτε: δεν υπάρχει τύπος που να συνδέει το ολοκλήρωμα της $y=f(x)g(x)$ με τα ολοκληρώματα των $y=f(x)$, $y=g(x)$.

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$, τότε είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα $[c,d]$ του $[a,b]$.

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στα γειτονικά διαστήματα $[a,b]$ και $[b,c]$, τότε είναι ολοκληρώσιμη και στο $[a,c]$ και

$$\int_a^cf(x) dx=\int_a^bf(x) dx+\int_b^cf(x) dx.$$

Αν οι $y=f(x)$, $y=g(x)$ είναι ολοκληρώσιμες στο $[a,b]$ και $f(x)\leq g(x)$ για κάθε $x\in[a,b]$, τότε

$$\int_a^bf(x) dx\leq \int_a^bg(x) dx.$$

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και $m\leq f(x)$ για κάθε $x\in[a,b]$ ή $f(x)\leq M$ για κάθε $x\in[a,b]$, τότε, αντιστοίχως,

$$m\cdot(b-a)\leq\int_a^bf(x) dx\qquad\qquad \int_a^bf(x) dx\leq M\cdot(b-a).$$

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$, τότε και η $y=\vert f(x)\vert$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$ και

$$\Big\vert\int_a^bf(x) dx\Big\vert\leq\int_a^b\vert f(x)\vert dx.$$

Αποδείξαμε, ως εφαρμογή του ολοκληρώματος, ότι το μήκος της καμπύλης που σχηματίζεται από το γράφημα της συνάρτησης $y=f(x)$ στο διάστημα $[a,b]$ είναι ίσο με

$$\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2} dx.$$

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 7.3 εκτός από την υποενότητα για την μέση τιμή συνάρτησης.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις Α, Β, Γ της ενότητας 7.3.

7.23 Τετάρτη, 8-12-10.

Ορίσαμε την μέση τιμή ολοκληρώσιμης συνάρτησης $y=f(x)$ σε διάστημα $[a,b]$: αυτή είναι ο αριθμός $\frac 1{b-a}\int_a^bf(x) dx$.

Αποδείξαμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού:

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο $[a,b]$, τότε υπάρχει $\xi\in[a,b]$ ώστε

$$\frac 1{b-a}\int_a^bf(x) dx=f(\xi).$$

Ορίσαμε την έννοια της αντιπαραγώγου. Λέμε ότι η $y=F(x)$ είναι αντιπαράγωγος της $y=f(x)$ στο διάστημα $I$ αν ισχύει $F'(x)=f(x)$ για κάθε $x\in I$.

Αποδείξαμε ότι, αν η $y=F(x)$ είναι αντιπαράγωγος της $y=f(x)$ στο διάστημα $I$, τότε οι αντιπαράγωγοι της $y=f(x)$ στο $I$ είναι οι συναρτήσεις $y=F(x)+c$, όπου $c$ είναι αυθαίρετη σταθερά, και καμιά άλλη (συνάρτηση).

Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$, ορίσαμε

$$\int_b^af(x) dx=-\int_a^bf(x) dx.$$

Επίσης, ορίσαμε

$$\int_a^af(x) dx=0.$$

Αποδείξαμε ότι, αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα με άκρα το $\min\{a,b,c\}$ και το $\max\{a,b,c\}$, τότε

$$\int_a^bf(x) dx+\int_b^cf(x) dx=\int_a^cf(x) dx.$$

Επίσης, αποδείξαμε ότι, αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα με άκρα $a, b$ και $\vert f(x)\vert\leq M$ για κάθε $x$ στο διάστημα αυτό, τότε

$$\Big\vert\int_a^bf(x) dx\Big\vert\leq M\vert b-a\vert.$$

Κατόπιν, ορίσαμε την έννοια του αόριστου ολοκληρώματος. Αν η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο υποδιάστημα του διαστήματος $I$ και $a\in I$, $c\in\mathbf{R}$, τότε η συνάρτηση $y=F(x)=\int_a^xf(t) dt+c$ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της $y=f(x)$ στο διάστημα $I$.

Αν η $y=F(x)$ είναι αόριστο ολοκλήρωμα της $y=f(x)$ στο διάστημα $I$, τότε τα αόριστα ολοκληρώματα της $y=f(x)$ στο $I$ είναι οι συναρτήσεις $y=F(x)+c$, όπου $c$ είναι αυθαίρετη σταθερά, και καμιά άλλη (συνάρτηση).

Το σύμβολο $\int f(x) dx$ συμβολίζει κάθε αόριστο ολοκλήρωμα της $y=f(x)$. Δηλαδή:

$$\int f(x) dx=\int_a^xf(t) dt+c$$

όπου $c$ είναι αυθαίρετη σταθερά.

Ισχύει

$$\int(f(x)+g(x)) dx=\int f(x) dx+\int g(x) dx,\qquad \int(\kappa f(x)) dx=\kappa\int f(x) dx\quad (\kappa\neq 0).$$

Αποδείξαμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού:

Έστω ότι η $y=f(x)$ είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο υποδιάστημα του διαστήματος $I$ και $a,x_0\in I$. Αν $F(x)=\int_a^xf(t) dt$ για κάθε $x\in I$ και η $y=f(x)$ είναι συνεχης στο $x_0$, τότε η $y=F(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και

$$F'(x_0)=f(x_0).$$

Ειδικώτερα, αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $I$, τότε η $y=F(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $I$ και ισχύει $F'(x)=f(x)$ για κάθε $x\in I$.

Κατόπιν, είδαμε διάφορα σημαντικά πορίσματα του Θεμελιώδους Θεωρήματος.

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $I$, τότε οι αντιπαράγωγοί της στο $I$ και τα αόριστα ολοκληρώματά της στο $I$ είναι οι ίδιες συναρτήσεις.

Αν η $y=f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $I$ και η $y=F(x)$ είναι αντιπαράγωγός της στο $I$, τότε

$$\int f(x) dx=F(x)+c,$$

όπου $c$ είναι αυθαίρετη σταθερά, και

$$\int_a^bf(x) dx=F(b)-F(a)$$

για κάθε $a,b\in I$.

Μελέτη: Διαβάστε το υπόλοιπο της ενότητας 7.3 και τις ενότητες 8.1, 8.2.

Ασκήσεις: Λύστε τις υπόλοιπες ασκήσεις της ενότητας 7.3 (η Δ3 είναι πιο δύσκολη) και τις ασκήσεις των ενοτήτων 8.1 και 8.2 (εκτός της 4). Οι ασκήσεις 15, 17, 19, 20, 21, 25 και 26 της ενότητας 8.2 είναι πιο δύσκολες.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Η δεύτερη πρόοδος θα γίνει την Κυριακή, 12-12-10, ώρα 11-12:30 στα Αμφιθέατρα ΣΠ, ΒΞ και Γ και στις αίθουσες Θ206, Θ207.

ΕΠΙΣΗΣ: Λόγω προσωπικού κωλύματος, το μάθημα της Δευτέρας, 13-12-10, θα γίνει την Τρίτη, 14-12-10, ώρα 9-11 στο Αμφιθέατρο Γ.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι φοιτητές με ΑΜ 4193 και 4286 να επικοινωνήσουν με εμένα ή με τον κύριο Μήτση.

7.24 Τρίτη, 14-12-10.

Χρησιμοποιώντας γνωστές αντιπαραγώγους διαφόρων συναρτήσεων, σχηματίσαμε τον παρακάτω χρήσιμο "κατάλογο" αόριστων ολοκληρωμάτων:

$$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+c\quad (a\neq -1),\qquad \int\frac 1x=\log\vert x\vert+c,$$

$$\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+c\quad (a>0, a\neq 1),$$

$$\int\cos x dx=\sin x+c,\qquad \int\sin x dx=-\cos x+c,$$

$$\int\frac 1{(\cos x)^2} dx=\tan x+c,$$

$$\int\frac 1{\sqrt{1-x^2}} dx=\arcsin x+c,\qquad \int\frac 1{1+x^2} dx=\arctan x+c.$$

Είπαμε ότι τα παραπάνω αόριστα ολοκληρώματα ισχύουν σε διαστήματα στα οποία οι εμπλεκόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς. Για παράδειγμα, το $\int\frac 1{(\cos x)^2} dx=\tan x+c$ ισχύει σε οποιοδήποτε διάστημα $(-\frac{\pi}2+k\pi,\frac{\pi}2+k\pi)$ $(k\in\mathbf{Z})$.

Επίσης, είπαμε ότι υπάρχουν και οι αντίστοιχοι τύποι για ορισμένα ολοκληρώματα (δηλαδή με συγκεκριμένα άκρα ολοκλήρωσης), όπου, όμως, πρέπει να προσέχουμε ώστε και τα δυο άκρα ολοκλήρωσης να ανήκουν στο ίδιο διάστημα στο οποίο οι εμπλεκόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς.

Κατόπιν, αναφέραμε και αποδείξαμε δυο μεθόδους αναγωγής ολοκληρωμάτων σε απλούστερα ολοκληρώματα.

Η πρώτη είναι η μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής μεταβλητής:

$$\int f(\phi(x))\phi'(x) dx=\int f(y) dy\big\vert _{y=\phi(x)} ,$$

$$\int_a^bf(\phi(x))\phi'(x) dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(y) dy.$$

Οι δυο αυτοί τύποι ισχύουν αν η $y=\phi(x)$ έχει συνεχή παράγωγο σε διάστημα $I$ και οι τιμές της ανήκουν σε διάστημα $J$ στο οποίο η $z=f(y)$ είναι συνεχής και (για τον δεύτερο τύπο) τα $a, b$ ανήκουν στο διάστημα $I$ (οπότε τα $\phi(a),\phi(b)$ ανήκουν στο διάστημα $J$).

Απλό παράδειγμα είναι το

$$\int e^{x^2}x dx=\frac 12\int e^{x^2}(x^2)' dx=\frac 12\int e^y... ...\Big\vert _{y=x^2}=\Big(\frac 12e^y+c\Big)\Big\vert _{y=x^2}=\frac 12e^{x^2}+c.$$

Μετά έχουμε την μέθοδο ολοκλήρωσης κατά μέρη ή κατά παράγοντες:

$$\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx,$$

$$\int_a^bf(x)g'(x) dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf'(x)g(x) dx.$$

Οι τύποι αυτοί ισχύουν αν οι δυο συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους σε διάστημα $I$ και (για τον δεύτερο τύπο) τα $a, b$ ανήκουν στο διάστημα $I$.

Απλό παράδειγμα είναι το

$$\int x\cos x dx=\int x\sin'x dx=x\sin x-\int x'\sin x dx=x\sin x-\int\sin x dx=x\sin x+\cos x+c.$$

Κατόπιν, περιγράψαμε μερικά απλά παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων, όπως τα

$$\int\frac 1{(x-\xi)^k} dx=-\frac 1{(k-1)(x-\xi)^{k-1}}+c\quad (k\in\mathbf{N}, k\geq 2),$$

$$\int\frac 1{x-\xi} dx=\log\vert x-\xi\vert+c.$$

Επίσης, περιγράψαμε λεπτομερώς τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων

$$\int\frac 1{ax^2+bx+c} dx$$

διακρίνοντας περιπτώσεις ανάλογα με το αν το τριώνυμο $ax^2+bx+c$ έχει δυο ή μια (διπλή) πραγματική ρίζα ή δυο μιγαδικές ρίζες.

Τέλος, (πάντα στο πλαίσιο των ρητών συναρτήσεων) αναφέραμε την μέθοδο διάσπασης σε απλά κλάσματα, περιοριζόμενοι στα δυο απλά παραδείγματα

$$\int\frac 1{(x-1)(x-3)(x+2)} dx,\qquad \int\frac 1{(x-1)(x^2+4x+6)} dx.$$

Για τις λεπτομέρειες στην γενική περίπτωση παραπέμψαμε στις σημειώσεις.

Αναφέραμε ότι για τον υπολογισμό μερικών ολοκληρωμάτων όπου εμφανίζονται οι συναρτήσεις $\sin$ και $\cos$ είναι χρήσιμη η αλλαγή μεταβλητής $u=\tan\frac x2$. Τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους $\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ και $\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$ καθώς και τον $dx=\frac 2{1+u^2} du$. Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων του $u$. Ως παράδειγμα είδαμε το

$$\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx.$$

Τέλος, αναφέραμε ότι για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων όπου εμφανίζεται η παράσταση $\sqrt{1-x^2}$ ή η παράσταση $\sqrt{x^2-1}$ είναι πολλές φορές χρήσιμη η αλλαγή μεταβλητής $x=\sin t$ ή, αντιστοίχως, η $x=\frac 1{\sin t}$. Ομοίως, για ολοκληρώματα με την παράσταση $\sqrt{x^2+1}$ χρησιμοποιούμε πολλές φορές την αλλαγή μεταβλητής $x=\tan t$.

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 8.3 (χωρίς να δώσετε ιδιαίτερη βαρύτητα στις λεπτομέρειες της υποενότητας Δ για τα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων).

Ασκήσεις: Λύστε όσο το δυνατό περισσότερες από τις ασκήσεις της ενότητας 8.3. Είναι σημαντικό να αποκτήσετε ευχέρεια υπολογισμού ολοκληρωμάτων.

7.25 Τετάρτη, 15-12-10.

Ορίσαμε τα γενικευμένα ολοκληρώματα

$$\int_a^{b-}f(x) dx,\quad\int_a^{+\infty}f(x) dx,\quad\int_{a+}^bf(x) dx,\quad\int_{-\infty}^bf(x) dx.$$

Για το πρώτο υποθέτουμε ότι η $y=f(x)$ είναι ορισμένη στο διάστημα $[a,b)$ και ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα $[a,c]$ $(a<c<b)$ και τότε ορίζουμε

$$\int_a^{b-}f(x) dx=\lim_{c\to b-}\int_a^cf(x) dx,$$

αν το όριο αυτό υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει και είναι αριθμός, λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει και ότι η τιμή του είναι αυτό το όριο. Αν το όριο υπάρχει και είναι $+\infty$ ή $-\infty$, λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει στο $+\infty$ ή $-\infty$, αντιστοίχως, και ότι η τιμή του είναι $+\infty$ ή $-\infty$, αντιστοίχως. Αν το όριο δεν υπάρχει, λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει και ότι δεν έχει τιμή. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα άλλα τρία γενικευμένα ολοκληρώματα.

Το γενικευμένο ολοκλήρωμα

$$\int_{a+}^{b-}f(x) dx$$

ορίζεται, αν η $y=f(x)$ είναι ορισμένη στο διάστημα $(a,b)$ και είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα $[c,d]$ $(a<c<d<b)$, ως εξής: παίρνουμε οποιοδήποτε $x_0\in(a,b)$, βρίσκουμε τα γενικευμένα ολοκληρώματα $\int_{a+}^{x_0}f(x) dx$ και $\int_{x_0}^{b-}f(x) dx$ και τα προσθέτουμε (αν δεν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή)

$$\int_{a+}^{b-}f(x) dx=\int_{a+}^{x_0}f(x) dx+\int_{x_0}^{b-}f(x) dx.$$

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα γενικευμένα ολοκληρώματα

$$\int_{a+}^{+\infty}f(x) dx,\quad \int_{-\infty}^{b-}f(x) dx,\quad\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx.$$

Είδαμε τα εξής παραδείγματα.

$$\int_1^{+\infty}\frac 1{x^p} dx=\begin{cases}\frac 1{p-1}, & p>1, +\infty, & p\leq 1.\end{cases}$$

$$\int_{0+}^1\frac 1{x^p} dx=\begin{cases}+\infty, & p\geq 1, \frac 1{1-p}, & p<1.\end{cases}$$

Επομένως, $\int_{0+}^{+\infty}\frac 1{x^p} dx=+\infty$ για κάθε $p$.

$$\int_0^{+\infty}\frac 1{1+x^2} dx=\frac{\pi}2 ,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{1+x^2} dx=\pi.$$

$$\int_0^{+\infty}e^{-tx} dx=\begin{cases}\frac 1t, & t>0, +\infty, & t\leq 0.\end{cases}$$

$$\int_0^{1-}\frac 1{\sqrt{1-x^2}} dx=\frac{\pi}2 ,\qquad \int_{-1+}^{1-}\frac 1{\sqrt{1-x^2}} dx=\pi.$$

Κατόπιν, αναφέραμε τους τύπους

$$\int_a^{+\infty}(f(x)+g(x)) dx=\int_a^{+\infty}f(x) dx+\int_a^{+\infty}g(x) dx,\quad \int_a^{+\infty}kf(x) dx=k\int_a^{+\infty}f(x) dx.$$

Ανάλογοι τύποι ισχύουν και για τα άλλα γενικευμένα ολοκληρώματα.
Αν ισχύει $f(x)\leq g(x)$ για κάθε $x\in[a,+\infty)$ και αν τα $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ και $\int_a^{+\infty}g(x) dx$ έχουν τιμή, τότε

$$\int_a^{+\infty}f(x) dx\leq\int_a^{+\infty}g(x) dx.$$

Ανάλογη πρόταση ισχύει και για τα άλλα γενικευμένα ολοκληρώματα.

Αναφέραμε ότι, αν η $y=f(x)$ είναι μη-αρνητική στο $[a,+\infty)$, τότε το $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ έχει τιμή η οποία είναι είτε αριθμός $\geq 0$ είτε $+\infty$.

Ανάλογη πρόταση ισχύει και για τα άλλα γενικευμένα ολοκληρώματα.

Τέλος, αναφέραμε ότι, αν ισχύει $\vert f(x)\vert\leq g(x)$ για κάθε $x\in[a,+\infty)$ και το $\int_a^{+\infty}g(x) dx$ συγκλίνει, τότε και το $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ συγκλίνει και

$$\Big\vert\int_a^{+\infty}f(x) dx\Big\vert\leq\int_a^{+\infty}g(x) dx.$$

Ανάλογη πρόταση ισχύει και για τα άλλα γενικευμένα ολοκληρώματα.

Μελέτη: Διαβάστε την ενότητα 8.4.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 8.4. Προσπαθήστε και τις 5, 6, 7.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Εκτός από τα μαθήματα της Δευτέρας 10-1-11 και Τετάρτης 12-1-11, θα γίνει ένα επιπλέον μάθημα την Τρίτη 11-1-11 (!!!), ώρα 9-11 στο Αμφ. ΣΠ.

7.26 Δευτέρα, 10-1-11.

Ορίσαμε την έννοια της σειράς αριθμών

$$\sum_{k=1}^{+\infty}x_k=x_1+x_2+x_3+\ldots .$$

Οι αριθμοί $x_n (n\in\mathbf{N})$ είναι οι όροι ή προσθετέοι της σειράς και τα πεπερασμένα αθροίσματα

$$s_n=\sum_{k=1}^nx_k\quad (n\in\mathbf{N})$$

είναι τα μερικά αθροίσματα της σειράς.

Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων $(s_n)$ συγκλίνει και το όριό της είναι ο αριθμός $s$, τότε λέμε ότι η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει και το $s$ είναι το άθροισμά της και γράφουμε

$$\sum_{k=1}^{+\infty}x_k=s.$$

Αν η ακολουθία $(s_n)$ αποκλίνει στο $\pm\infty$, λέμε ότι η σειρά αποκλίνει στο $\pm\infty$ και το $\pm\infty$ είναι το άθροισμά της και γράφουμε

$$\sum_{k=1}^{+\infty}x_k=\pm\infty.$$

Αν η $(s_n)$ δεν έχει όριο (δηλαδή αποκλίνει αλλά όχι στο $\pm\infty$), λέμε ότι η σειρά αποκλίνει και ότι δεν έχει άθροισμα.

Είδαμε το παράδειγμα της σειράς με σταθερούς προσθετέους $c$

$$\sum_{k=1}^{+\infty}c=\begin{cases}+\infty, & c>0, 0, & c=0, -\infty, & c<0.\end{cases}$$

και το παράδειγμα της γεωμετρικής σειράς με λόγο $a$

$$1+\sum_{k=2}^{+\infty}a^{k-1}=\begin{cases}\frac 1{1-a}, & \vert a\vert<1, +\infty, & a\geq 1.\end{cases}$$

Η γεωμετρική σειρά δεν έχει άθροισμα αν ο λόγος είναι $a\leq -1$.

Αποδείξαμε ότι

Αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει, τότε $x_k\to 0$.

Αποδείξαμε ότι

Αν οι σειρές $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ και $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ έχουν αθροίσματα και αν το άθροισμα των δυο αυτών αθροισμάτων δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε και η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}(x_k+y_k)$ έχει άθροισμα και

$$\sum_{k=1}^{+\infty}(x_k+y_k)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k+\sum_{k=1}^{+\infty}y_k .$$

Αν η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ έχει άθροισμα και το γινόμενο αυτού του αθροίσματος με τον αριθμό $\lambda$ δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, τότε και η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}(\lambda x_k)$ έχει άθροισμα και

$$\sum_{k=1}^{+\infty}(\lambda x_k)=\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}x_k .$$

Αν οι σειρές $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ και $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ έχουν αθροίσματα και αν ισχύει $x_k\leq y_k$ για κάθε $k\in\mathbf{N}$, τότε

$$\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\leq\sum_{k=1}^{+\infty}y_k .$$

Κατόπιν, αποδείξαμε ότι

Κάθε σειρά με μη αρνητικούς προσθετέους έχει άθροισμα το οποίο είναι είτε μη αρνητικός αριθμός είτε $+\infty$.

Επομένως, αν η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ έχει μη αρνητικούς προσθετέους (δηλαδή, $x_k\geq 0$ για κάθε $k$), τότε το να συγκλίνει η σειρά αυτή είναι ισοδύναμο με το να είναι $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k<+\infty$ και το να αποκλίνει η σειρά είναι ισοδύναμο με το να είναι $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k=+\infty$.

Για σειρές με μη αρνητικούς προσθετέους αποδείξαμε τα εξής δυο αποτελέσματα.

Αν $0\leq x_k\leq y_k$ για κάθε $k$, τότε

$$0\leq\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\leq\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$$

και, επομένως, αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ συγκλίνει τότε και η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει και αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ αποκλίνει τότε και η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ αποκλίνει.

Έστω $0\leq x_k$ και $0<y_k$ για κάθε $k$ και η ακολουθία $(\frac{x_k}{y_k})$ είναι φραγμένη (ή, ειδικώτερα, συγκλίνει). Αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ συγκλίνει τότε και η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει και αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ αποκλίνει τότε και η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ αποκλίνει.

Βάσει αυτών των αποτελεσμάτων αποδείξαμε ότι η σειρά

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k!}$$

συγκλίνει και σχετικά με το άθροισμά της αναφέραμε ότι

$$1+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k!}=e,$$

όπου ο αριθμός $e$ έχει ήδη ορισθεί ως το όριο $e=\lim_{n\to+\infty}(1+\frac 1n)^n$.

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 10.1 και 10.2 εκτός από το ολοκληρωτικό κριτήριο και το κριτήριο συμπύκνωσης.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις της ενότητας 10.1 και τις ασκήσεις 1, 3, 9 της ενότητας 10.2.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Την Παρασκευή 28-1-11 θα γίνει η τρίτη πρόοδος του μαθήματος. Θα είναι στα αμφιθέατρα ΒΞ, ΣΠ και ΣΟ και στις αίθουσες Θ201, Θ202, Θ206, Θ207 και Λ202 και θα διαρκέσει μιάμιση ώρα, αρχίζοντας στις 13:00.
Αν θέλετε να δείτε πώς θα είναι το διαγώνισμα και να εξασκηθείτε, δοκιμάστε εδώ.

7.27 Τρίτη, 11-1-11.

Αποδείξαμε το ολοκληρωτικό κριτήριο:

Έστω ότι η $(x_k)$ είναι φθίνουσα και ότι $x_k\geq 0$ για κάθε $k$. Επίσης, έστω ότι υπάρχει συνάρτηση $f(t)$ ορισμένη και φθίνουσα στο $[1,+\infty)$ τέτοια ώστε να ισχύει $f(k)=x_k$ για κάθε $k$. Τότε υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα $\int_1^{+\infty}f(t) dt$ και η τιμή του είναι είτε μη αρνητικός αριθμός είτε $+\infty$. Επίσης, η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει αν και μόνο αν $\int_1^{+\infty}f(t) dt<+\infty$ και η σειρά αποκλίνει στο $+\infty$ αν και μόνο αν $\int_1^{+\infty}f(t) dt=+\infty$. Τέλος, ισχύουν οι ανισότητες

$$\int_1^{n+1}f(t) dt\leq x_1+\cdots+x_n\leq x_1+\int_1^nf(t) dt\qquad (n\in\mathbf{N})$$

$$\int_1^{+\infty}f(t) dt\leq\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\leq x_1+\int_1^{+\infty}f(t) dt.$$

Κατόπιν, αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το κριτήριο συμπύκνωσης:

Έστω ότι η $(x_k)$ είναι φθίνουσα και ότι $x_k\geq 0$ για κάθε $k$. Τότε η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}2^kx_{2^k}$ συγκλίνει και η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ αποκλίνει στο $+\infty$ αν και μόνο αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}2^kx_{2^k}$ αποκλίνει στο $+\infty$.

Εφαρμόζοντας και τα δυο αυτά κριτήρια, αποδείξαμε ότι η σειρά

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^p}$$

συγκλίνει αν και μόνο αν $p>1$ και αποκλίνει στο $+\infty$ αν και μόνο αν $p\leq 1$.

Για παράδειγμα οι σειρές

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k , \qquad \sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{\sqrt{k}}$$

αποκλίνουν στο $+\infty$ ($p=1$ και $p=\frac 12$ αντιστοίχως), ενώ η σειρά

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^2}$$

συγκλίνει ($p=2)$. Οι δυο πρώτες σειρές είναι παραδείγματα σειρών $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ οι οποίες δεν συγκλίνουν παρά το ότι ισχύει $x_k\to 0$.

Αναφέραμε το κριτήριο εναλλασσόμενων προσήμων:

Έστω ότι η $(b_k)$ είναι φθίνουσα και συγκλίνει στο 0. Τότε η σειρά

$$\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}b_k$$

συγκλίνει.

Για παράδειγμα, η σειρά

$$1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\frac 15-\cdots$$

συγκλίνει.

Αναφέραμε το κριτήριο απόλυτης σύγκλισης:

Αν η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}\vert x_k\vert$ συγκλίνει, τότε και η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει και ισχύει

$$\Big\vert\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\Big\vert\leq\sum_{k=1}^{+\infty}\vert x_k\vert.$$

Αν η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}\vert x_k\vert$ συγκλίνει, τότε λέμε ότι η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει απολύτως.

Για παράδειγμα, η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}$ συγκλίνει απολύτως και, επομένως, συγκλίνει. Το ότι η σειρά αυτή συγκλίνει μπορούμε να το δούμε και με εφαρμογή του κριτηρίου εναλλασσόμενων προσήμων.

Προσέξτε: το αντίστροφο του κριτηρίου απόλυτης σύγκλισης δεν είναι εν γένει σωστό. Για παράδειγμα, η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k$ συγκλίνει (κριτήριο εναλλασσόμενων προσήμων) αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Αν $\vert x_k\vert\leq y_k$ για κάθε $k$, τότε

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\vert x_k\vert\leq\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$$

και, επομένως, αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ συγκλίνει τότε η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει απολύτως (και επομένως συγκλίνει).

Έστω $0<y_k$ για κάθε $k$ και η ακολουθία $(\frac{x_k}{y_k})$ είναι φραγμένη (ή, ειδικώτερα, συγκλίνει). Αν η $\sum_{k=1}^{+\infty}y_k$ συγκλίνει τότε η $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει απολύτως (και επομένως συγκλίνει).

Κατόπιν αναφέραμε το κριτήριο λόγου:

Έστω $x_k\neq 0$ για κάθε $k$ και ότι υπάρχει το όριο $\lim_{k\to+\infty}\Big\vert\frac{x_{k+1}}{x_k}\Big\vert$. Αν το όριο αυτό είναι $<1$, τότε η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει απολύτως, ενώ αν το όριο είναι $>1$, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν το όριο είναι $=1$, τότε δεν υπάρχει γενικό συμπέρασμα.

Εφαρμόζοντας το κριτήριο λόγου είδαμε ότι η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{3^k}{k!}$ συγκλίνει και ότι η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^k}{k!}$ αποκλίνει στο $+\infty$. Τέλος, η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k$ αποκλίνει και η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^2}$ συγκλίνει, αλλά και στις δυο σειρές το όριο που αναφέρεται στο κριτήριο λόγου είναι $=1$.

Τέλος αναφέραμε το κριτήριο ρίζας:

Έστω ότι υπάρχει το όριο $\lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{\vert x_k\vert}$. Αν το όριο αυτό είναι $<1$, τότε η σειρά $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ συγκλίνει απολύτως, ενώ αν το όριο είναι $>1$, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν το όριο είναι $=1$, τότε δεν υπάρχει γενικό συμπέρασμα.

Εφαρμόζοντας το κριτήριο ρίζας είδαμε ότι η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^2}{3^k}$ συγκλίνει και ότι η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2^k}{k^4}$ αποκλίνει στο $+\infty$. Τέλος, η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k$ αποκλίνει και η $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^2}$ συγκλίνει, αλλά και στις δυο σειρές το όριο που αναφέρεται στο κριτήριο ρίζας είναι $=1$.

Μελέτη: Διαβάστε τις ενότητες 10.2 και 10.4.

Ασκήσεις: Λύστε τις ασκήσεις 2, 4, 5, 10, 11 της ενότητας 10.2 και τις ασκήσεις 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 της ενότητας 10.4.

8 Ολοήμερο Εργαστήριο Προβλημάτων.

Εδώ θα αναρτώ τα φυλλάδια ασκήσεων (απειροστικού λογισμού) του Ολοήμερου Εργαστηρίου Προβλημάτων και τις λύσεις τους.

Τετάρτη, 29-9-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 6-10-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 13-10-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 20-10-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 27-10-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 3-11-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 24-11-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 1-12-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 8-12-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 15-12-2010. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

Τετάρτη, 12-01-2011. Ασκήσεις εδώ. Λύσεις εδώ.

9 Σεμινάριο Απειροστικού Λογισμού.

Δείτε εδώ την προγραμματική διακήρυξη!

Επειδή η ώρα 17:00-19:00 για το σεμινάριο δημιουργεί πρόβλημα σε όσους παρακολουθούν το μάθημα των αγγλικών, προτείνουμε ως ώρα του σεμιναρίου την

Τετάρτη 16:00-18:00 στην αίθουσα Ζ301 (αίθουσα σεμιναρίων του τμήματος).

Επομένως, ακυρώνεται η αυριανή (Τρίτη, 26-10-10) πρώτη συνάντηση του σεμιναρίου για να γίνει μεθαύριο Τετάρτη, 27-10-10, ώρα 16:00-18:00 στην αίθουσα Ζ301.

Στην πρώτη συνάντηση του σεμιναρίου προέκυψε ότι και η ώρα 16:00-18:00 της Τετάρτης δημιουργεί πρόβλημα σε κάποιους που παρακολουθούν το μάθημα των γαλλικών. Όλοι οι παρευρισκόμενοι συμφώνησαν ότι η μοναδική ώρα που φαίνεται να είναι εντάξει είναι Πέμπτη 9:00-11:00. Άρα η επόμενη συνάντηση την άλλη εβδομάδα θα γίνει

Πέμπτη 9:00-11:00 στην αίθουσα Γ104.

Ελπίζω αυτή να είναι η τελευταία αλλαγή.

9.1 Τετάρτη, 27-10-10.

Στην πρώτη συνάντηση είδαμε την Ιδιότητα Συνέχειας του $\mathbf{R}$ και με βάση αυτήν αποδείξαμε διάφορες ιδιότητες των αριθμών: το ότι το σύνολο $\mathbf{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο, την Αρχιμήδεια Ιδιότητα, την ύπαρξη ακέραιου μέρους κάθε αριθμού, την πυκνότητα του $\mathbf{Q}$ στο $\mathbf{R}$ και την ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας κάθε θετικού αριθμού.
Για περισσότερες λεπτομέρειες δείτε εδώ.

9.2 Πέμπτη, 4-11-10.

Στην δεύτερη συνάντηση είδαμε μια δεύτερη σημαντική ιδιότητα του $\mathbf{R}$: την Ιδιότητα Supremum. Αποδείξαμε ότι η Ιδιότητα Supremum και η Ιδιότητα Συνέχειας είναι ισοδύναμες. Τέλος, στο ίδιο κλίμα με την πρώτη συνάντηση, αποδείξαμε δυο σημαντικά θεωρήματα του απειροστικού λογισμού: το ότι κάθε αύξουσα ακολουθία έχει όριο και το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής για συνεχείς συναρτήσεις.
Εδώ θα βρείτε όλες τις λεπτομέρειες της πρώτης και της δεύτερης συνάντησης. Θα βρείτε, επίσης, και τις αποδείξεις των δυο άλλων βασικών θεωρημάτων για συνεχείς συναρτήσεις: του Θεωρήματος Φραγμένης Συνάρτησης και του Θεωρήματος Μέγιστης - Ελάχιστης Τιμής. Οι δυο αυτές αποδείξεις δεν αναφέρθηκαν στην συνάντηση.

Η τρίτη συνάντηση θα γίνει στις 18-11-10 με τον κύριο Μήτση.